【思路分析】
直線的表示方法有很多，比如說：點斜式、斜截式、截距式、兩點式、一般式...然而，大家知道二元二次方程ax+bxy+cy+dx+ey+f=0也可以表示直線嗎？大家熟知二元二次方程可以表示圓錐曲線（非退化的二次曲線），但是當方程ax+bxy+cy+dx+ey+f=0可以被因式分解為（Ax+By+C）（Dx+Ey+F）=0時，它就退化為直線了，是不是很神奇呢？
原因很簡單：（Ax+By+C）（Dx+Ey+F）=0是一個不定方程，它的解（x，y）有無數個，並且它所有的解在平面直角坐標系中對應的點的集合就是這個方程所表示的圖像。那麼，這個方程怎麼解呢？很顯然我們需要分類討論，即Ax+By+C=0或Dx+Ey+F=0。我們發現Ax+By+C=0的解集在平面直角坐標系中的體現就是直線Ax+By+C=0，Dx+Ey+F=0的解集在平面直角坐標系中的體現就是直線Dx+Ey+F=0。
由此可見，不定方程（Ax+By+C）（Dx+Ey+F）=0表示兩條直線，分別是Ax+By+C=0和Dx+Ey+F=0。但是，這是有前提的！當這兩個二元一次方程對應係數之比不相等的時候，不定方程（Ax+By+C）（Dx+Ey+F）=0才能表示兩條直線。否則這個不定方程就可以寫成（Ax+By+C）=0，也就是說它只能表示一條直線，即Ax+By+C=0.
講完理論部分，我們回歸本題，將其應用於實踐之中。方程（y+4）a-2（xy+by+8）a+x+2bx+2b+12=0表示一條直線，那麼它一定能夠寫成（Ax+By+C）=0的形式，現在我們需要做的就是得到A、B、C這三個係數。仔細觀察這個複雜的方程，發現x的係數竟然是1，那麼易知A=1.我們還發現y的係數是a，那麼B=a或-a，這裡B取正或取負對之後的運算是沒有影響的，假設B=a吧。另外x的係數為2b，所以C=b。這樣，我們利用x2、y2和x的係數將題目中的二元二次方程寫成了（x+ay+b）=0.
題目要我們求二元函數f（a，b）的最大值，那麼我們必須找到a與b之間的關係。剛才，我們利用x、y和x的係數得到（x+ay+b）=0，將（x+ay+b）展開後自動生成常數項b，那麼這裡的常數項與題目所給的二元二次方程左邊多項式的常數項應該是相等的，即b=4a-16a+2b+12，整理可得（a-2）+b/4=1，這樣我們得到了a與b之間的關係。
根據a與b之間的關係，我們容易想到三角換元：令a=2+cosα，b=2sinα並代入f（a，b）=sqrt（a+b），不難得到一個關於α的新函數g（α）=sqrt（-3cosα+4cosα+8）。將根號內的式子看作一個關於cosα的二次函數，換句話說，令x=cosα∈[-1,1]，則y=-3cosα+4cosα+8=-3x+4x+8≤28/3（若且唯若x=2/3時取「=」）。那麼自然f（a，b）≤sqrt（28/3）=2sqrt（21）/3（若且唯若a=8/3，b=±2sqrt（5）/3時取「=」）。
親愛的讀者朋友們，數學是有趣的，我們不應該將它當作自己的一個負擔，而是要靜下心來細細品味與享受那美妙的過程。
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