自然常數e到底是個什麼東西?

自然常數e，是一個無理數，也是超越數，其值為2.71828……

e被稱為歐拉數，以瑞士數學家歐拉；也被稱為納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進了對數。

第一次提到自然常數e，是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。

第一次把e看為常數的是雅各·伯努利。

第一次用到常數e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。

歐拉1727年開始用e來表示這常數；而e第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》。

我們知道圓周率π是圓周長與直徑的比值，值為3.14159265……但是e是怎麼來的呢？

e其實是計算複利時得出來的一個常數。

因此e的定義為：

第二種可以表述為級數式：

更為普遍的公式是e^x=Σ x^n/n!(n=0到∞)。

第三種可以表述為連分數：

第四種形式：

最早的指數函數指的就是e^x。

這也就是為什麼e常用作指數函數的底，從而經常用作對數函數的底，稱為自然對數。

以e為底的指數函數與其導數相等，即(e^x)'=e^x。

對指數函數和對數函數求導時，都要使用到自然對數。函數 y=a^x的導數為(a^x) ln a。函數 y=log (a ) x的導數為1/(x ln a ) 。

歐拉恆等式

歐拉恆等式被稱為最完美公式，包含了自然常數e、圓周率π、虛數單位i、還有0和1。

更普遍的公式是e^(iθ)=cosθ+isinθ，令θ=π，即是e^(iπ)=-1。

因為e=2.7182818284……，極為接近循環小數2.71828(1828循環)，那就把循環小數化為分數271801/99990，所以可以用271801/99990表示為e最接近的有理數約率，精確度高達99.9999999% 。

等角螺線

等角螺線在極坐標系(r, θ)中，這個曲線可以寫為

r=a e^(bθ)

或

θ=ln(r/a)/b

因此也叫做對數螺線

等角螺線是自我相似的，也即是說，等角螺線經放大後與原圖完全相同。