上篇文章談到《e與一元三次方程的根的關係》，為了證明e不是一元三次方程的根，必須了伽馬函數的本質原理，才能解答。本篇重點介紹自然常數e與伽馬函數之間的關係。
總的來說，這個等式說的是n！等於函數x^n*e^(-x)與X軸圍城的面積，從x=0一直到無窮
（這個等式根據前幾篇證明e是超越數和無理數的相關文章很容易得到，在此不做證明）
例如n=2時函數圖形，橙色的面積等於2！
n=4時函數圖形，橙色的面積等於4！，依次類推每一條曲線都是一個波，都會漸漸減少到0。
這個積分給e和整數之間搭上了橋梁，但它有什麼用呢？
讓我們把它搞的複雜一點，我們來插入一個整數系多項式P(X)
雖然看上去比較複雜，但是在展開後，這其實就是一堆的伽馬積分的和，所以這個含有多項式的積分也是個整數，而且展開後每個積分的X次方都至少是n。（這一句很容易理解哦）
所以整個積分的形式就是n！乘上一個整數
現在我們就有了進展了，記住我們先前講了多項式的係數A,B,C和D
這裡的P(X) 可以是任意整數的多項式，這樣就能使共同的分母A等於1/n!乘以這個積分（這一步比較容易得到，夥伴們開動下腦筋）
我們在上面的式子提到過，A肯定是整數，現在我們看看分子，讓我們看看e^3的狀況，變形得到，現在我們只需要知道，怎麼把e^3XA寫成一個幾乎為整數的數或者一個整數+一個很小的數（前面證明e是超越數文章已經得出）
我們把e^3放到積分A
整理得到
現在只要我們巧妙的選擇P(X)，我們就能讓第一個部分很小，如果n超大，那麼我們在分母上就有個超級大的n！，雖然積分裡面的X^n也會很大，但是這個積分只是在有限的區間0到3上的積分，雖然需要有嚴謹的步驟來證明，但學過微積分的朋友肯定知道X^n/n!的極限肯定是0
我們現在要證明如下為什麼等於整數，注意這個積分從X=3開始，說明我們把整個式子往左平移3個單位。
那麼我們就能看成一個新的積分，從X=0開始積分到無窮。這個平移也就是把X換成X+3
因為我們知道了任何整係數多項式xe^(-x)的積分都是整數。P(X)可以是任意多項式，所以P(X)可以寫成
帶入得到
X^n挪到前面去，藍色趨區域只不過是另一個多項式
所以D是個整數
所以得到自然常數e與伽馬函數之間的美妙關係。下一篇將繼續解答伽馬函數與證明e不是一元三次方程的根之間的關係。