自然常數e的意義

2021-03-01 菌之名

| 有那麼一個數 |

在高中數學裡有一個數一直搞特殊, 這個數就是自然常數" e "。在大多的運算裡, 用英文表示的都是未知數, 而" e "卻是一個有固定值的數—— 2.71828 18284.後邊無限位。

第一次在高中接觸" e "的時候, 是做對數函數log運算, 搞特殊的" loge "直接寫成" ln ", 以自然常數為底。

可是呢然後呢？高中數學並沒更多的解析。

| 定義是什麼 |

先給大家講個🌰:

假設在年利率為100%的銀行存了1塊錢, 一年之後存款就變成 1x(1+100%)＝2。

如果利息是半年一付, 一年後存款將會變成 1x(1+100%/2)x(1+100%/2)=2.25。

如果利息按季度結算可以得到 1x(1+100%/4)x(1+100%/4)x(1+100%/4)x(1+100%/4)=2.37。

以此類推, 按月份結算將會得到2.61, 按天數結算將會得到2.714567。不難發現, 結算間隔越短, 收益越大。如果間隔縮短到極致, 會得到一個無限大的收益麼？

答案是即使有銀行做不到這麼快的利滾利啊...雖然還還真沒法無限大。

收益＝1x(1+100%/n)^n ( n無限接近正無窮 ), 而這個收益數值的極限便是自然常數" e "。

但是, 並沒有年利率是100%的銀行, 按照最高的年利率5%算, 其實得到的增長極限是e開20次方, 本質上還是跟e相關。

正所謂每個完美的圓都是派的倍數, 每個理想的存款都是e的倍數～

細胞分裂的速度上限也是2.718....倍～

| 飛蛾撲火並非自取滅亡 |

有說法是飛蛾撲火是為了愛情, 以死相要還是殉情沒說。有說法是飛蛾撲火是因為趨光性, 就愛盯著光的地方飛, 可能是在學章老師練火眼金睛。

一直以來, 昆蟲夜間的飛行都是月球的光線來判定方向的, 由於地月距離大約為38.4萬公裡, 以月球為中心折射而來的光線傳播到地球上是幾乎平行的。

昆蟲就是以這些平行的光束作為參照物來飛行的。只要保證飛行方向與月光所形成的夾角保持一致, 就能沿著直線飛行，就跟我們可以低著頭邊玩手機邊看著斑馬線過馬路一樣。

由於人類文明的發展,火,電燈等新光源的出現。幹擾了昆蟲的活動, 由於距離近, 燈光火光的光線不足以看成是平行的。加上昆蟲的大腦並不發達, 只能依靠天生的飛行習慣與每一束光保持相同的夾角, 並最終就化作一縷輕煙。

所以說如果排除其他一切因素, 昆蟲是可以慢慢繞到月球上歇腳的。

飛蛾撲火的路線便是函數y＝e的x次方在極坐標的圖像, 這一曲線在出現在大自然的各個地方。颱風中雲層流動的風眼處, 水中的漩渦, 葉片的生長, 鈣化外殼的生長, DNA的生長, 甚至高空俯拍整個銀河系。

這類曲線叫做"斐波那契螺旋線"。

e不帶特殊單位, 只反映倍數, 小到DNA的螺旋, 大到星辰分布, 都能從中發現規律。也是為何將e稱為自然常數。

| 身在e中 |

感受一下一個公式: 

這個是傅立葉變化的常用公式, 自然常數e是其重要的組成部分。

傅立葉變化的運用廣泛: 物理學、電子類學科、數論、組合數學、信號處理、概率論、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等。

例如將信號分解成幅值譜以顯示與頻率對應的幅值大小, 就是信號處理中的運用。

通過傅立葉變化, 拉普拉斯變化, 希爾伯特變化, IT產業才有了開始和發展。如果e不是精確等於2.718...這個數, 那麼很多結果都會積分計算都會失效。整個IT行業可能不復存在, 就沒有雞可以吃了！

| 高中的小朋友注意了 |

最後提一下高中數學與" e "相關的章節的知識點:

相關焦點

  • 與圓周率並肩的自然常數e,到底自然在哪裡?
    寫在前面自π以後，我們又學了一個很常見的無理數常數e，但是不同於圓周率我們的課本上還有明確的定義，而自然常數e我們的高中老師就直接讓我們記下來（阿拉丁最煩這樣了），那它到底是什麼東西，自然在哪裡呢？神秘的主角但是我們的老師卻對這個自然常數的來源閉口不提，那麼它到底有什麼特殊的意義？為什麼它就有這麼好的待遇有一個專屬的名稱——自然常數，而不像其他大多數無理數那樣統稱為無理數呢？
  • 與圓周率並肩的自然常數e，到底自然在哪裡？
    但是不同於圓周率我們的課本上還有明確的定義，而自然常數e我們的高中老師就直接讓我們記下來（阿拉丁最煩這樣了），那它到底是什麼東西，自然在哪裡呢？，那麼它到底有什麼特殊的意義？如果說圓周率π代表著一個完美的圓周，那麼這個自然常數e就代表著一個完美的增長，冥冥之中自有e境……但是同時無理數，自然常數e遠遠沒有π的名聲那麼響亮。這是因為圓周率發展到今天不僅有了獨特的名稱有了專屬的希臘字母表示，甚至有了獨特的節日3月14日圓周率日。與圓周率的「文體兩開花」不同，e還是很年輕，而且定義非常抽象，需要較高的知識儲備才能理解。
  • 洞穿宇宙奧秘的常數——自然常數e
    大家最為熟知的常數恐怕要數圓周率π了，但還有一個非常重要的常數，其重要性可以說和π不分伯仲。這就是著名的自然常數 e，e的定義如下圖π＝3.1415926……e＝2.71828以e為底數的對數稱為自然對數，記作log(e，N)＝ln(N)自然對數函數的導數[ln(x)]』＝1/x以e為底的指數函數e^x的導數就是本身(e^x)』＝e^x這是除了0以外，唯一一個導數不變的函數
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    我們知道，自然界有一些十分重要的常數，如0，1，i，π，e等，它們的存在很大程度上影響了我們的學習與生活，今天我們就來深度挖掘一下，自然常數e為什麼這麼重要？在回答自然常數e為什麼這麼重要之前，我們首先要問，自然常數e是什麼？簡單搜索一下可以發現，百度百科裡面是這麼解釋的：自然常數，是數學科的一種法則。
  • 自然常數e到底是個什麼東西?
    自然常數e，是一個無理數，也是超越數，其值為2.71828……e被稱為歐拉數，以瑞士數學家歐拉；也被稱為納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進了對數。第一次提到自然常數e，是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。第一次把e看為常數的是雅各·伯努利。第一次用到常數e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。
  • 數學中的自然常數e有什麼來頭?
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    今天我們來關注指數函數的求導，不過在此之前，先來看一個工業界和設計界都會用到的自然常數e，它也和指數函數有著密切的聯繫。自然常數e那麼，什麼是自然常數e？它的定義如下：也就是說，當x趨於0時，上面式子的值就是自然常數e。好，現在我們把上式做一個變形，得到：然後我們把1移到左邊，兩邊再同時除以x，得到：好，讓我們記住上面這個（1）式，一會求導要用到它。
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  • 歐拉公式的偉大之處在於整合了圓周率π和自然常數e
    如果讓我選一個世界上最偉大的數學公式，我一定會遠歐拉公式e^(πi)+1=0，無論物理還是數學，歐拉公式都如影隨形。歐拉把數學裡面最基本的五個常數用最簡單的方式整個在了一起。我們首先思考一個問題，古時候的人類，無論西方還是東方很早就開始計算圓周率的值，而更容易計算的自然常數e卻發現的很晚？我們先看圓周率，它等於圓的周長除以直徑。即π＝c/d，這是一個非常簡單的除法公式，在人類的發展歷史中，必定會經歷建築房屋、製作糧倉、製造工具等。我們的祖先很早就接觸了圓。西周時期數學家商高曾與周公討論過圓與方的關係。
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  • 談談:自然常數e與伽馬函數之間的美妙關係
    上篇文章談到《e與一元三次方程的根的關係》，為了證明e不是一元三次方程的根，必須了伽馬函數的本質原理，才能解答。本篇重點介紹自然常數e與伽馬函數之間的關係。總的來說，這個等式說的是n！等於函數x^n*e^(-x)與X軸圍城的面積，從x=0一直到無窮（這個等式根據前幾篇證明e是超越數和無理數的相關文章很容易得到，在此不做證明）例如n=2時函數圖形，橙色的面積等於2！n=4時函數圖形，橙色的面積等於4！
  • 數學常數e的含義
  • 你知道自然常數e有多麼的無理嗎?
    自然常數e的性質有很多，首先它的無理性是當時數學家們首先要解決的，本篇就來談一談e是有多麼的無理，既然選擇了通向無理的徵程，就讓我們開始吧。首先為了廣大讀者更好的理解，我們就從頭開始說起，首先如下眾所周知，e就等於其中我們高中已經學過了階乘的含義，例如5！
  • 神奇的常數e的由來
    我們知道圓周率π代表了圓的周長與直徑之比約等於3.14，可是數學中的常數e怎麼來的，它的含義是什麼呢？在18世紀初，數學家歐拉發現了這個自然常數e。2.71828182845904523，這就是描述增長率的自然常量 e 來歷。在微積分教程中有具體的計算過程，用到了二項式展開，以及極限的概念等。這個單調增加的有界數列必有極限，這個極限就為e。d