數學中的自然常數e有什麼來頭?

2021-03-01 怪羅

數學中有許多重要的常數，例如圓周率π和虛數單位i（等於根號負一）。但數學中還有一個同樣重要的常數，那就是自然常數e，儘管沒有圓周率那麼為人所熟知。這個常數經常出現在數學和物理學之中，但它從哪裡來？它究竟是什麼意思？

在18世紀初，數學大師萊昂哈德·歐拉（Leonard Euler）發現了這個自然常數e（又稱歐拉數）。當時，歐拉試圖解決由另一位數學家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在半個世紀前提出的問題。

伯努利的問題與複利有關。假設你在銀行裡存了一筆錢，銀行每年以100%的利率兌換這筆錢。一年後，你會得到（1 + 100%）^1 = 2倍的收益。

現在假設銀行每六個月結算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。在這種情況下，一年後的收益為（1+50%）^2=2.25倍。

而假設銀行每月提供8.3%（100%的1/12）複利息，或每周1.9%（100%的1/52）複利息。在這種情況下，一年後你會賺取投資的（1 + 1/12）^12 = 2.61倍和（1 + 1/52）^52 = 2.69倍。

根據這個規律，可以得到一條通式。如果假設n為利息複利的次數，那麼利率就是其倒數1/n。一年後的收益公式為（1 + 1/n）^n。例如，如果利息每年複利5次，那收益則為初始投資的（1 + 1/5）^5 = 2.49倍。

那麼，如果n變得很大，會怎樣？如果n變得無限大，那（1 + 1/n）^n是否也會變得無限大？這就是伯努利試圖回答的問題，但直到50年後才由歐拉最終獲得結果。原來，當n趨於無窮大時，（1 + 1/n）^n並非也變得無窮大，而是等於2.718281828459…。這是一個類似於圓周率的無限不循環小數（即無理數），用字母e表示，被稱為自然常數。

當然，e不僅僅只是一個隨意數字。事實上，它是數學中最有用的常數之一。如果繪製方程y = e^x，就會發現，對於曲線上任何點的斜率也是e^x，而從負無窮大到x的曲線下方面積也是e^x。e是唯一使y = n^x這個方程有如此奇特性質的數字。

在微積分中，可以想像e也是一個非常重要的數字。同時，自然常數e也是物理學中的一個重要數字，它通常出現在有關波（如光波、聲波和量子波）的方程之中。

此外，關於e還有一個非常著名的公式，即歐拉恆等式：e^(iπ) + 1 = 0，這個完美的公式把數學中最重要的數字都聯繫在一起了。

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  • 你知道自然常數e有多麼的無理嗎?
    自然常數e的性質有很多，首先它的無理性是當時數學家們首先要解決的，本篇就來談一談e是有多麼的無理，既然選擇了通向無理的徵程，就讓我們開始吧。如果你對1=0.999……這樣的數學知識非常感興趣，那你同樣對本篇即將要探索的無理性更感興趣。首先為了廣大讀者更好的理解，我們就從頭開始說起，首先如下眾所周知，e就等於其中我們高中已經學過了階乘的含義，例如5！
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