數學經典:歐拉告訴你自然常數e是如何被引入到數學中的 - 電子通信...

2020-12-03 電子通信和數學

歐拉在他的著作中詳細討論了自然常數e的來源和被發現的過程，主要是有二項式定理得出，這是一個非常巧妙的發現。

當a>1時，a^ω隨a的增加而增加，因為a^0=1,所以當ω是無窮小時，a^ω會不斷趨於0，所以我們有

這裡的ψ是無窮小，當ψ不是無窮小時，就意味著ω不是無窮小，這說明了和ψ存是相互關聯的，這裡我們讓ψ=kω，就會得到

當以a為底：得到如下對數形式

我們將a^ω=1+kω變形得到如下形式

將上式用牛頓二項式定理展開得到

在這裡我們假設ω是無窮小，i是無窮大時，i*ω=z就等於一個常數，那麼ω=z/I,這裡我們替換上述展開式中的ω，所以就得到

很明顯k是一個依賴於a的數，兩者是相互關聯的，當i是無窮大時，也就是i遠遠大於任何一個給定的數值時，我們就很容易得到

那麼上述a^z的二項展開式就變成了

我們可以取Z=1，此時上式就變成了

這個公式進一步說明了k只取決於a，a和k是相互關聯的，當k=1時，就得到了大家熟悉的有關e的無窮級數形式，即a=e

那麼e^z的無窮級數形式就是

因為a=e，iω=z，k=1，i是無窮大，所以我們就得到

寫成現代數學形式就是

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