你知道數學中常數e的秘密嗎?它還可以幫你找對象

2021-01-10 清風課餘文化

小學課本裡有這樣一篇課文,叫《最大的麥穗》,說的是蘇格拉底讓弟子們走過麥地,並隨手去摘一棵麥穗,看看走出麥地時,誰摘到的麥穗最大,當然條件是只能往前走不能回頭。這在當時,甚至在現在都是個讓人困惑的哲學問題,從極端思想來說,第一個或者最後一個麥穗都是有可能是最大的。

那麼類比到婚姻問題,假設一個人的一生會遇到100位女人,你想選一個最合適的,從而讓自己更幸福,並且你會因為各種原因錯過每一位。那麼第幾個會是最適合你結婚的呢?與麥穗問題一樣,關鍵就是不確定一個可能的範圍。然而,在數學家眼裡,這個問題並不是無從下手的,他們會告訴你前37位是可以錯過的,從第38位開始,你就不要錯過與前37位中最好的那位相差不大的女性了,或者如果出現了一位比前面的所有人都好,請果斷下手。你也許會覺得可笑,說緣分問題怎麼可能會用數字說這麼準確。當然,這不是百分之百準確的,這只是個概率問題,表現出的是一個規律。而這個規律,就與e常數息息相關。

e

e常數是數學與物理中常用的數字之一,名為自然常數,與派一樣,也是個無理數。雖然這個數沒有派那麼廣為人知,但是可以從它的名字看出了,它確實是一個非常重要的常數。先不說它派生出了一系列指數對數函數,以及在所有函數中的唯一特殊性,e指數對于波的計算,比如機械波光波量子波,是極為重要的。那麼e指數是怎麼發現的呢?為什麼100個人裡面,可以確定37這個數字呢?這就要提到大數學家歐拉了。

歐拉

歐拉解決了雅各布伯努利提出的問題。這個雅各布伯努利就是歐拉的老師的哥哥,兒事實上,伯努利家族成員都是赫赫有名的物理數學家。1683年,數學家雅各布伯努利研究銀行存錢的複利問題,說的大概是這麼一個情況:往銀行存a元,年利率為100%,那麼一年後就算本息,就應該是a(1+100%),那如果半年結算一次,利率變成一半,一年後又是多少呢?那就是a(1+50%) (1+50%),三個月結一次,一年後就是a(1+25%) (1+25%) (1+25%) (1+25%)。那麼以此類推,就會得到高等數學裡一個重要的極限:

重要極限

那麼歐拉,就計算這個極限約等於2.71828,並用e表示。簡單地說,它就表示一定時間數量範圍內,個體增長的最大速率。舉個例子,比如1開1根號就等於1,2開2倍根號約等於1.414,3開3倍根號約等於1.442,那麼以此類推這個函數的最值在哪裡呢?告訴你就在e這裡,也就是e開e倍根號是這個函數的最大值。它之所以叫做自然常數,是因為在自然界中,e最能體現增長法則。比如生物的繁衍,拿細菌來說,問你開始一個細菌,1分鐘能分裂出兩個細菌,那麼問你分裂速率是多少?實際上,單位時間內,最多能得到2.71828個細胞,有興趣的朋友可以就相關問題在網上了解一下。再比如,貝殼的螺線圖形,DNA雙螺旋的角度,都是與e息息相關,就是說,當生物的某方面滿足某個e的方程時,最利於生物快速生長。

螺線

那麼戀愛中的那個37%法則又是怎麼回事呢?那時心理學家結合人的自然屬性和概率論的經驗公式的出來的,意思就是在一個平均分布的總體中,1/e後的個體具有總體代表性,1/e之一前的完全可以當作經驗數字方便去對比。那麼100乘以1/e就大概是37了。

數學就是這樣,有著無窮的奧秘。當你細心去探索時,就可以體會它的魅力。不要害怕數字,不要害怕計算,數字會讓生活更美好。

相關焦點

  • 數學常數e的含義
  • 你知道自然常數e有多麼的無理嗎?
    自然常數e的性質有很多,首先它的無理性是當時數學家們首先要解決的,本篇就來談一談e是有多麼的無理,既然選擇了通向無理的徵程,就讓我們開始吧。本篇就像你不相信1=0.999……一樣神奇,就因為它的神奇才能激發我們的好奇心去探索更多的未知。如果你對1=0.999……這樣的數學知識非常感興趣,那你同樣對本篇即將要探索的無理性更感興趣。
  • 數學常數e
    自然常數e和圓周率π、黃金分割數φ一起被稱為「三大數學常數」。e作為重要數學常數之一,常出現於數學和物理學之中。
  • 數學中的自然常數e有什麼來頭?
    數學中有許多重要的常數,例如圓周率π和虛數單位i(等於根號負一)。
  • 除了值的大小,我們對常數e到底知道多少?
    · 對於e,我們似乎所知不多 在數學中,常數e一直是一個神奇的存在,似乎很常見,可我們對其又知道多少呢? 在眾多的數學書籍中都能找到描述常數e的語句,比如在維基百科中,是這樣解釋的: 「The mathematical constant e is the base of the natural logarithm.」 這種解釋看起來比較晦澀。
  • 最令人著迷的數學公式,又名上帝公式!你知道是它是誰嗎
    歐拉公式公元1748年發表的的這個數學公式,到底奇妙在哪兒呢?我們先來看看它長成啥樣。你現在看起來平淡無奇,並無特別之處?那你就大錯特錯了!它巧妙地把三角函數和複變函數結合了起來!我們來看看特殊情況,當你取 x = π 的時候,你算算結果。
  • 自然常數e為什麼這麼重要?
    我們知道,自然界有一些十分重要的常數,如0,1,i,π,e等,它們的存在很大程度上影響了我們的學習與生活,今天我們就來深度挖掘一下,自然常數e為什麼這麼重要?所以,e就是複利的極限,或者更廣義地說,應該是增長的極限。然而,即使明白了什麼是自然常數e,作為被高等數學期末考試和研究生考試虐得狼狽不堪的我,還是會冒出以下疑問:e不就是增長的極限嗎,你不好好考我求極限,淨考我關於ex和lnx的導數積分是什麼意思?
  • 自然常數 e 的故事
    請關注 [遇見數學] 今日頭條收看更多關於數學文章的資料和視頻!E(自然常數, 也稱為歐拉數)是自然對數函數的底數. 它是一個無理數, 就是說小數點後面無窮無盡, 永不重複. 與 Pi 和 sqrt(2) 不同, 它不是由幾何問題上探究而來的, 而是關於增長率和變化率的常數. 但是它為什麼和增長率有關呢?
  • 【數學】擴展知識:數字常數e的含義
    (高考中一般只需注意e是一個常數,大於1,且以e為底的對數通常寫成ln) 1.e是一個重要的常數,但是我一直不知道,它的真正含義是什麼。 它不像π。大家都知道,π代表了圓的周長與直徑之比3.14159,可是如果我問你,e代表了什麼。你能回答嗎? 維基百科說:「e是自然對數的底數。」
  • 怎麼會有常數這種東西,談談那些神秘的數學常數
    表示。不過,對於這個神秘的常數,人們了解的還是很少,除了它的精確值不容易求出之外,關於辛欽常數是否為無理數,到目前也還沒有人能證明。
  • 你知道納皮爾和自然對數的故事嗎?
    學習完指數函數和對數函數後的你,了解對數函數的發展史嗎?知道一張紙摺疊10次,有多高嗎?能說出地震的震級與它的破壞力有怎樣的關係嗎?你了解拿破崙大帝的無法兌現的諾言嗎?接下來的系列文章將會帶你解決這些疑惑。對數是由數學家納皮爾創造的。拉普拉斯曾說:「對數的發現,以其節省勞力而延長了天文學家的壽命」。一定程度上,對數的發現使現代化提前了至少200年。
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    定理中的兩個重要概念——質數與自然常數e,一個屬於數論範疇,另一個(lnx中的自然常數e)則隸屬於分析學。「質數定理」將兩個看似毫無關聯的數學分支—— 「數論與分析」緊密聯繫在了一起。>數學中很多重要的常數,如圓周率π,根號2等,但從定義上理解,自然常數e可能是最為耀眼的一個,因為它是第一個使用極限來定義的常數:
  • 自然常數e:原來是這麼來的
    數學中有許多重要的常數,例如圓周率π和虛數單位i(等於根號負一)。但數學中還有一個同樣重要的常數,那就是自然常數e,儘管沒有圓周率那麼為人所熟知。這個常數經常出現在數學和物理學之中,但它從哪裡來?它究竟是什麼意思?在18世紀初,數學大師萊昂哈德?
  • 谷歌造出拉馬努金機:幾毫秒求解數學常數,無需任何先驗信息
    馭洋 曉查 發自 凹非寺量子位 出品 | 公眾號 QbitAI3.1415926……π和e這樣的基本常數在科學領域中無處不在,但計算它們的高精度近似值往往令人頭大。如今,機器學習或許能幫上大忙。什麼是連分數優美的歐拉公式將e和π兩個數學常數聯繫起來,但你知道這兩個無理數是怎麼算出來的嗎?
  • 數學經典:歐拉告訴你自然常數e是如何被引入到數學中的 - 電子通信...
    歐拉在他的著作中詳細討論了自然常數e的來源和被發現的過程,主要是有二項式定理得出,這是一個非常巧妙的發現。不是無窮小時,就意味著ω不是無窮小,這說明了和ψ存是相互關聯的,這裡我們讓ψ=kω,就會得到當以a為底:得到如下對數形式我們將a^ω=1+kω變形得到如下形式將上式用牛頓二項式定理展開得到在這裡我們假設ω是無窮小,i是無窮大時,i*ω=z就等於一個常數
  • 神奇的常數e的由來
    我們知道圓周率π代表了圓的周長與直徑之比約等於3.14,可是數學中的常數e怎麼來的,它的含義是什麼呢?在18世紀初,數學家歐拉發現了這個自然常數e。當時,歐拉試圖解決由另一位數學家雅各布·伯努利在半個世紀前提出的問題:假設在銀行存了 1 元, 而銀行提供的年利率是 100%, 也就是說1年後連本帶息,你會得到 2 塊錢。那麼現在假設半年就計算一次利息,半年利率為 50%即0.5,這種方案年中計息一次是本息一共1+1*0.5= 1.5 元, 然後下半年連本帶息年末就為(1+0.5)^2= 2.25元,這樣就是一年2.25 塊錢。
  • 洞穿宇宙奧秘的常數——自然常數e
    大家最為熟知的常數恐怕要數圓周率π了,但還有一個非常重要的常數,其重要性可以說和π不分伯仲。這就是著名的自然常數 e,e的定義如下圖π=3.1415926……e=2.71828……從命名方式上你就能夠感受到e身上那種自帶的王者氣質。
  • 奇妙的聯繫——自然常數e與指數函數求導
    這是《機器學習中的數學基礎》系列的第12篇,也是微積分的第5篇。今天我們來關注指數函數的求導,不過在此之前,先來看一個工業界和設計界都會用到的自然常數e,它也和指數函數有著密切的聯繫。自然常數e那麼,什麼是自然常數e?它的定義如下:也就是說,當x趨於0時,上面式子的值就是自然常數e。
  • 與圓周率並肩的自然常數e,到底自然在哪裡?
    還記得老師第一次將無理數就是非完全平方數的平方根就是無理數,我們熟知的圓周率π也是無理數。在上了高中之後,又有一個新的夥伴走進了我們的生活——自然常數e。它也是一個無理數,而且大概等於2.71828...
  • 數學界有4個神奇的數字:除了圓周率和普朗克常數,你還知道幾個
    如果將科學比喻成皇冠,那數學就是上面最亮的寶石。不管科學劃分成多少個領域,數學始終都是學科的基礎。沒有裝備足夠的數學知識,你學不好物理,學不好天文學,離開了數學的學科是不會有成就的。和圓周率有關的知識有很多,它在微積分、計算機和物理學等領域,都有著應用。有的人為了培養自己的記憶力,專門去背誦圓周率。如果未來圓周率被證實可以算完,在多個領域都會迎來一場變革。普朗克常數不熟悉量子力學的人估計都沒有聽過這個名字,普朗克常數的作用是描述量子的大小。