除了值的大小,我們對常數e到底知道多少?

· 對於e，我們似乎所知不多

在數學中，常數e一直是一個神奇的存在，似乎很常見，可我們對其又知道多少呢？

在眾多的數學書籍中都能找到描述常數e的語句，比如在維基百科中，是這樣解釋的：

「The mathematical constant e is the base of the natural logarithm.」

這種解釋看起來比較晦澀。從中文上看，大致是這麼個意思：「數學常數e是自然對數的基礎」。但，不幸的是，這裡又引出了另一個概念「自然對數」。

照例，我們還可以從維基百科中得到解釋：

「The natural logarithm, formerly known as the hyperbolic logarithm, is the logarithm to the base e, where e is an irrational constant approximately equal to 2.718281828459.」

這個解釋是說：「自然對數，以前稱為雙曲對數，是以e為底的對數，其中e是一個無理常數，大約等於2.718281828459。」

這讓我們感覺到，冥冥之中，我們已經陷入到一個很好的循環引用之中。這種循環所帶給我們的痛苦是：它很正確，但卻沒有幫助。回想我們在中學的課本上，也只是直接的告訴了學生們類似的結論，卻同樣無法跳出循環解釋什麼。

對此，我表示十分理解。對於絕大多數的數學定義來說，由於要苛求嚴謹，就不可避免的使得數學定義往往都枯燥而正式，都帶有一種冷冰冰的高傲的氣質。但這種氣質，確實對一位初學者來說是十分不友好的。

今天，我就分享一些關於e的見解，讓他顯得更加平易近人。

· e不僅僅是一個數字

如果，僅僅簡單的把e描述為「一個常數，大約為2.71828…」，這就好比，把Pi描述為「一個無理數，大約等於3.1415…」。當然，這確實沒什麼不對，但就像之前所說，這樣的描述似乎可用之處也少得可憐。比起「他是多少」，我們更感興趣的是「他怎麼是的」。

這樣簡單的數值性描述，往往忽略了其背後所代表的客觀意義，但正是這種實際的意義才是我們理解其本質的核心。

Pi是所有圓的圓周和直徑之比。它是一個比值，是所有圓固有的基本比率。由於其與生俱來的屬性，這個比率會影響諸如：圓、球體、圓柱體等等一系列圖形的周長、面積、體積和表面積等相關的眾多計算，以及從圓導出的三角函數sin，cos，tan。

與此相類似，e應該被怎麼理解？

e是持續增長過程所具有的基本增長率。

有了它，我們就能很容易的得到各種連續複合增長的增長率。

簡單的說，當系統以指數級連續增長時，如人口、放射性衰變、利息計算等等，就可以用e估算。

就好比，每個數字都可以視為1（基本單位）的縮放版本，每個圓也都可以視為單位圓（半徑是1）的縮放版本，那麼，同樣的，每個增長率都可以被看作為，以e為單位增長的縮放版本。

所以，e不是一個晦澀模糊的，看似隨機的數字。e代表了一種思想，即所有不斷增長的系統都是以一個基本增長率的縮放版本。

· 指數增長

讓我們從一個基本系統開始，這個系統在一段時間後會翻倍。例如：

· 細菌可以每24小時加倍分裂

· 你選中了一支回報率100%的理財產品，你的錢每年翻倍

這些變化看起來大致應該像這樣：

上述的例子中，1變為2，2變為4，以此類推，可稱作裂變。在數學上可以這麼描述，當初始值進行了x次分裂，那麼，就相當於將初始值增加了倍。例如：分裂1次，就得到倍；分裂4次，就得到倍。

由此得到其一般增長公式為：

換句話說，成倍增長可以表示為100%的增長。那麼，增長公式就可以重新寫成：

我們可以看到，原公式中的2被寫成了1+100%。

當然，我們可以用新的回報率（50%，25%，200%）來代替現有的100%，這就得到了，在x個回報期，回報率為return，一般增長公式為：

· 進一步思考

上面我們所舉的例子，都是假設增長是分階段進行的。也就是說，細菌在等待，等待，然後爆炸，他們在最後一刻增加了一倍；利息收入神奇地出現在1年到期時。因此我們把上述的增長看作時斷時續的，結果是瞬間發生的，這樣就導致了上圖中綠點突然出現了，這就是一種離散系統。

顯然，真實的世界並不總是這樣。如果把圖放大，我們會發現細菌是隨著時間的推移而不斷的分裂：

綠點細菌開始是不存在的，之後它漸漸的從藍點細菌中生長出來。經過一個單位時間後，一個完整的綠點細菌被生長出來。

這顯然是一個連續系統過程，但我們只是在離散的觀察結果。但這樣會改變我們的方程式嗎？

當然不。在細菌的例子中，半形成的綠色細菌在完全生長並與藍色細菌分離之前，是毫無意義的。這個等式仍然成立。

· 金錢改變一切

那麼有沒有對連續系統的連續觀測結果呢？

我們可以考慮存錢理財的例子。一旦我們開始賺取利息，那麼錢就在不斷的自我複製，源源不斷的產生利息。不需要像之前的細菌那樣等到成熟時刻。

根據我們的舊公式，利息增長如下：

但同樣，上圖有一點並不完全正確：所有的利息都出現在最後一天。

讓我們放大一點，把這一年分成兩部分。我們每年賺100%的利息，或者每6個月賺50%的利息。所以，我們前6個月賺50美分，下半年再賺50美分：

但這仍然不夠細緻！當然，我們原來的美元（藍點）一年下來賺一美元。但6個月後，我們有了一個50美分的硬幣，此時我們千萬不要忽略了，那50美分可以自己掙錢：

因為我們的利率是每半年50%，那50美分本可以賺25美分（50%乘以50美分）。一年後我們就可以總共給我們2.25美元。我們從最初的1美元中獲利1.25美元，甚至比翻倍還要好！

回報增長公式就可以寫成另外的樣子。在兩個半期中，均為50%的增長率，則：

· 連續複合增長

同樣的，把它分成3個增長33%的周期。將我們3個複合周期的增長率繪製成一幅有趣的圖畫：

12個月後的最終值為：1+1+0.33+0.04，約為2.37。

我們賺了1.37美元，比上次的1.25美元又好了！

· 我們能得到無限的錢嗎？

為什麼不用更短的時間？每個月，每一天，每小時，甚至每納秒呢？我們的回報會飛漲嗎？

如果嘗試在我們的增長公式中使用不同的n，由此得到的總回報，是會隨著n的增大而增大，但似乎又不是無限大下去，而這種趨勢會漸漸的慢下來。

數字會在2.718左右收斂。

等等，這看起來像不像常數e的值！

這時，讓我們引入極限的概念，再來看看這個公式。e被定義為極限增長率，繼續保持100%的複合回報率，那麼在越來越細分的周期內：

這個極限是收斂的，其值保持在2.718左右。

· 但這一切意味著什麼？

數字e（2.718…）是一個時間段內複合100%增長的最大可能結果。當然，你一開始希望從1增長到2（這是100%的增長，對吧？）。但隨著每一個微小的進步，你創造了一個小的紅利，開始自己增長。當一切都發生了，你最終在1個時間段的末尾得到的是e（2.718…），而不是2。e是最大值，當我們儘可能多的複合時會發生的極限。

所以，如果我們從1美元開始，以100%回報率連續複合，我們得到1e。如果我們從2美元開始，我們得到2e。如果我們從11.79美元開始，我們得到11.79e。

e就像一個速度限制（比如c，光速），它表示使用一個連續的過程，你可以增長多快。你可能不會總是達到速度極限，但這是一個參考點：你可以用這個普遍常數來得到其他的增長率。

值得注意的是，需要將增長與最終結果分開。1成為e（2.718…）意味著增長（增長率）為171.8%。就其本身而言，e是在考慮所有細分的增長後，得到的最終結果（原始值+增加值）。

· 不同的增長率呢？

如果我們以每年50%而不是100%的速度增長呢？我們還能用e嗎？

讓我們看看。50%的複合增長率如下所示：

50%是總回報，n是細分後的周期數。如果我們選擇n=50，也就是把增長分成50個1%利息的周期：

我們怎樣能知道這個式子的值呢？

就可以利用之前已經得到的極限公式。假設把100%的固定利率分成100個1%的部分：

我們通過簡單的對比，就可以發現：

這很有趣。

50/100=0.5，這是我們將e提升到的指數。一般來說，這似乎是有規律的：如果我們有300%的增長率，我們可以把它分成300個1%增長率的周期，最終的增長極限應該是。

儘管增長看起來像加法（+1%），但我們需要記住，它實際上是一個乘法（*1.01）。這就是為什麼我們使用指數（重複乘法）和平方根（表示變化的「一半」，即乘法次數的一半）。

雖然我們選擇了1%，但我們可以選擇任何一個小的增長單位（0.1%，0.0001%，甚至是無限小的數量！）。關鍵是，對於我們選擇的任何增長率，它只是e的一個新指數：

· 不同的時間周期呢？

假設我們2年內增長300%。我們可以將一年的增長率（）乘以他自己：

一般地：

· e到底怎麼自然了？

首先，我們需要知道e這個表示自然底數的符號是由瑞士數學和物理學家Leonhard Euler(萊昂納德·歐拉)命名的，取的正是Euler的首字母「e」。

但實際上，第一個發現這個常數的，並非歐拉本人，而是雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli）。

伯努利家族是17～18世紀瑞士的一個赫赫有名的家族，其中出了很多著名的數理科學家，雅可比·伯努利是約翰·伯努利（Johann Bernoulli）的哥哥，而約翰·伯努利則是歐拉的數學老師。總之，大佬們之間有著千絲萬縷的聯繫。

而他們發現常數e的方法，就是使用了我們之前所講述的「複利模型」。

雖然正常的銀行不會推出連續複利這種優惠政策，但在自然界中，大多數事物都處在一種「無意識的連續增長」狀態中。對於一個連續增長的事物，如果單位時間的增長率為100%，那麼經過一個單位時間後，其將變成原來的e倍。而生物的生長與繁殖過程，恰恰也類似於「利滾利」的過程。

有一種叫等角螺線，如果用極坐標可表示為：

這正是一個以自然常數e為底的指數函數。

在自然界中，就確實存在許多對應的實例。

例如，鸚鵡螺外殼切面就呈現優美的等角螺線：

溫帶低氣壓的外觀也像等角螺線：

就連旋渦星系的旋臂都像等角螺線：

或許，這些就是常數e被稱為自然常數的原因之一吧。