洞穿宇宙奧秘的常數——自然常數e

2020-11-09 證明數學

大家最為熟知的常數恐怕要數圓周率π了，但還有一個非常重要的常數，其重要性可以說和π不分伯仲。

這就是著名的自然常數 e，e的定義如下圖


π＝3.1415926……

e＝2.71828……


從命名方式上你就能夠感受到e身上那種自帶的王者氣質。

以e為底數的對數稱為自然對數，記作

log(e，N)＝ln(N)

自然對數函數的導數

[ln(x)]』＝1/x

以e為底的指數函數e^x的導數就是本身

(e^x)』＝e^x

這是除了0以外，唯一一個導數不變的函數。仿如一個隱居山林的高人，萬般皆變化，唯我守初心。

現在輪到泰勒大神登場了，在泰勒眼中，一切皆可展開，就連自然常數e也在劫難逃。

泰勒展開式


令f(x)＝e^x，則f(x)的任意階導數還是f(x)

令x0＝0，得到f(x)＝e^x的麥克勞林展開式

e^x＝1+x+x^2/2！+x^3/3！+x^4/4！+……

最後令x＝1，神一般的公式出現了


最後說一句，數學大魔王歐拉將e和π，實數0，1和虛數i統一起來，這就是震驚世界的歐拉公式，最終一統江湖！這個故事我們後面再講。

相關焦點

  • 自然常數e的意義
    | 有那麼一個數 |在高中數學裡有一個數一直搞特殊, 這個數就是自然常數
  • 自然常數 e 的故事
    E(自然常數, 也稱為歐拉數)是自然對數函數的底數. 它是一個無理數, 就是說小數點後面無窮無盡, 永不重複. 與 Pi 和 sqrt(2) 不同, 它不是由幾何問題上探究而來的, 而是關於增長率和變化率的常數. 但是它為什麼和增長率有關呢? 讓我們回到來 17 世紀, 看看發現 e 最初的問題與相關的兩位大數學伯努利和歐拉吧.
  • 與圓周率並肩的自然常數e,到底自然在哪裡?
    寫在前面自π以後，我們又學了一個很常見的無理數常數e，但是不同於圓周率我們的課本上還有明確的定義，而自然常數e我們的高中老師就直接讓我們記下來（阿拉丁最煩這樣了），那它到底是什麼東西，自然在哪裡呢？放射性物質的衰變是一個相當漫長的過程，這正是自然常數的倒數，隨著時間的流逝，放射性物質衰變速度越來越慢，對自然的影響是非常持久的。這樣看來自然常數e是不是越來越 「自然」 了呢？
  • 與圓周率並肩的自然常數e，到底自然在哪裡？
    但是不同於圓周率我們的課本上還有明確的定義，而自然常數e我們的高中老師就直接讓我們記下來（阿拉丁最煩這樣了），那它到底是什麼東西，自然在哪裡呢？在上了高中之後，又有一個新的夥伴走進了我們的生活——自然常數e。它也是一個無理數，而且大概等於2.71828...我們在學指數函數和對數函數的時候，它扮演著不可替代的作用，因為它的良好性質，使得出題人尤為鍾愛它。
  • 自然常數e:原來是這麼來的
    數學中有許多重要的常數，例如圓周率π和虛數單位i（等於根號負一）。但數學中還有一個同樣重要的常數，那就是自然常數e，儘管沒有圓周率那麼為人所熟知。這個常數經常出現在數學和物理學之中，但它從哪裡來？它究竟是什麼意思？在18世紀初，數學大師萊昂哈德?
  • 自然常數e為什麼這麼重要?
    我們知道，自然界有一些十分重要的常數，如0，1，i，π，e等，它們的存在很大程度上影響了我們的學習與生活，今天我們就來深度挖掘一下，自然常數e為什麼這麼重要？在回答自然常數e為什麼這麼重要之前，我們首先要問，自然常數e是什麼？簡單搜索一下可以發現，百度百科裡面是這麼解釋的：自然常數，是數學科的一種法則。
  • 自然常數e到底是個什麼東西?
    自然常數e，是一個無理數，也是超越數，其值為2.71828……e被稱為歐拉數，以瑞士數學家歐拉；也被稱為納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進了對數。第一次提到自然常數e，是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。第一次把e看為常數的是雅各·伯努利。第一次用到常數e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。
  • 數學常數e
    自然常數e和圓周率π、黃金分割數φ一起被稱為「三大數學常數」。e作為重要數學常數之一，常出現於數學和物理學之中。
  • 數學中的自然常數e有什麼來頭?
    數學中有許多重要的常數，例如圓周率π和虛數單位i（等於根號負一）。
  • LabVIEW編程實例:如何求解自然常數e
    實例說明自然常數e，是數學中最重要的常數之一，是一個無限不循環小數，也是自然對數函數的底數，其值約為2.71828。它的一個經典的數學定義公式是：使用計算機計算e的值時，可以使用下面的公式近似計算：那麼在LabVIEW中如何編程實現求解這個公式即e的值呢？編程思路從上面的近似公式可以看出，e的值與n的階乘有關，可將上式分解為兩個步驟：求解n的階乘：n!=1×2×3×......
  • 奇妙的聯繫——自然常數e與指數函數求導
    今天我們來關注指數函數的求導，不過在此之前，先來看一個工業界和設計界都會用到的自然常數e，它也和指數函數有著密切的聯繫。自然常數e那麼，什麼是自然常數e？它的定義如下：也就是說，當x趨於0時，上面式子的值就是自然常數e。好，現在我們把上式做一個變形，得到：然後我們把1移到左邊，兩邊再同時除以x，得到：好，讓我們記住上面這個（1）式，一會求導要用到它。
  • 自然常數e，又叫歐拉數，即自然對數的底數的前世今生
    數學中有許多重要的常數，例如圓周率π和虛數單位i（等於根號負一）。但數學中還有一個同樣重要的常數，那就是自然常數e，儘管沒有圓周率那麼為人所熟知。這個常數經常出現在數學和物理學之中，但它從哪裡來？它究竟是什麼意思？
  • 數學常數e的含義
  • Filecoin的共識機制的實現進化與自然常數e的關係
    自然常數 e，是一個神奇的數，在數學中又極為自然。本文講一講 Filecoin 的共識機制的實現進化與自然常數 e 的關係。內容提要一、自然常數 e二、初期預期共識空塊率過高：1/e三、預期共識的實現是一個不段發現的過程四、tipset區塊數預期提升（至5），安全性和效率的兼顧五、讓每一個字節都參與投票：優雅的密碼抽籤 + e【預警：數學、概率與分布】數學常數 ee 被成為自然常數，在數學家的眼裡，這個常數非常自然。
  • 從自然常數e到電容充電的遐想
    作者君前段時間看到了這樣一篇文章：講的是自然常數e的來源。簡而言之，其實e就是  這樣一個極限值。
  • 自然常數e到底有多少秘密？數學家歐拉、高斯等也沒研究透徹
    定理中的兩個重要概念——質數與自然常數e，一個屬於數論範疇，另一個（lnx中的自然常數e）則隸屬於分析學。「質數定理」將兩個看似毫無關聯的數學分支—— 「數論與分析」緊密聯繫在了一起。自然常數e是如何被人們的發現的呢？
  • 神奇的常數e的由來
    我們知道圓周率π代表了圓的周長與直徑之比約等於3.14，可是數學中的常數e怎麼來的，它的含義是什麼呢？在18世紀初，數學家歐拉發現了這個自然常數e。2.71828182845904523，這就是描述增長率的自然常量 e 來歷。在微積分教程中有具體的計算過程，用到了二項式展開，以及極限的概念等。這個單調增加的有界數列必有極限，這個極限就為e。d
  • 談談:自然常數e與伽馬函數之間的美妙關係
    上篇文章談到《e與一元三次方程的根的關係》，為了證明e不是一元三次方程的根，必須了伽馬函數的本質原理，才能解答。本篇重點介紹自然常數e與伽馬函數之間的關係。總的來說，這個等式說的是n！等於函數x^n*e^(-x)與X軸圍城的面積，從x=0一直到無窮（這個等式根據前幾篇證明e是超越數和無理數的相關文章很容易得到，在此不做證明）例如n=2時函數圖形，橙色的面積等於2！n=4時函數圖形，橙色的面積等於4！
  • 你知道自然常數e有多麼的無理嗎?
    自然常數e的性質有很多，首先它的無理性是當時數學家們首先要解決的，本篇就來談一談e是有多麼的無理，既然選擇了通向無理的徵程，就讓我們開始吧。首先為了廣大讀者更好的理解，我們就從頭開始說起，首先如下眾所周知，e就等於其中我們高中已經學過了階乘的含義，例如5！
  • 歐拉公式的偉大之處在於整合了圓周率π和自然常數e
    如果讓我選一個世界上最偉大的數學公式，我一定會遠歐拉公式e^(πi)+1=0，無論物理還是數學，歐拉公式都如影隨形。歐拉把數學裡面最基本的五個常數用最簡單的方式整個在了一起。我們首先思考一個問題，古時候的人類，無論西方還是東方很早就開始計算圓周率的值，而更容易計算的自然常數e卻發現的很晚？我們先看圓周率，它等於圓的周長除以直徑。即π＝c/d，這是一個非常簡單的除法公式，在人類的發展歷史中，必定會經歷建築房屋、製作糧倉、製造工具等。我們的祖先很早就接觸了圓。西周時期數學家商高曾與周公討論過圓與方的關係。