神奇的常數e的由來

2020-12-03 佟咚咚

我們知道圓周率π代表了圓的周長與直徑之比約等於3.14，可是數學中的常數e怎麼來的，它的含義是什麼呢？

在18世紀初，數學家歐拉發現了這個自然常數e。當時，歐拉試圖解決由另一位數學家雅各布·伯努利在半個世紀前提出的問題：假設在銀行存了 1 元， 而銀行提供的年利率是 100%, 也就是說1年後連本帶息，你會得到 2 塊錢。那麼現在假設半年就計算一次利息，半年利率為 50%即0.5，這種方案年中計息一次是本息一共1+1*0.5= 1.5 元， 然後下半年連本帶息年末就為（1+0.5）^2= 2.25元，這樣就是一年2.25 塊錢。那現在計算利率周期如果再短一些會怎麼？再來假設每個月結算一次，月利率為 1/12 ，本息計算（1+1/12）^12最終得到大約 2.61304 塊錢。看起來是利息的周期越短， 收益就更好。不過雅各布.伯努利發現隨著 n 趨於無窮，對於這樣的連續複利存在著一個極限值。

這個極限由 50 年後的萊昂哈德·歐拉計算出來小數點後 18 位 。2.71828182845904523，這就是描述增長率的自然常量 e 來歷。在微積分教程中有具體的計算過程，用到了二項式展開，以及極限的概念等。

這個單調增加的有界數列必有極限，這個極限就為e。

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相關焦點

  • 與圓周率並肩的自然常數e,到底自然在哪裡?
    寫在前面自π以後，我們又學了一個很常見的無理數常數e，但是不同於圓周率我們的課本上還有明確的定義，而自然常數e我們的高中老師就直接讓我們記下來（阿拉丁最煩這樣了），那它到底是什麼東西，自然在哪裡呢？自帶主角光環的它肯定有著不為人知的一面，下面就讓阿拉丁一層層揭開它神秘的面紗吧e的由來這是一個高等數學的問題，是一個非常簡單的極限式。沒錯我們高考一般來說大家都會還害怕導數大題對吧，而導數中考的最多的也是關於e。
  • 與圓周率並肩的自然常數e，到底自然在哪裡？
    但是不同於圓周率我們的課本上還有明確的定義，而自然常數e我們的高中老師就直接讓我們記下來（阿拉丁最煩這樣了），那它到底是什麼東西，自然在哪裡呢？在上了高中之後，又有一個新的夥伴走進了我們的生活——自然常數e。它也是一個無理數，而且大概等於2.71828...我們在學指數函數和對數函數的時候，它扮演著不可替代的作用，因為它的良好性質，使得出題人尤為鍾愛它。
  • 神奇的常數e——其超越性的證明
    歐拉數e是一個數學常數~2.718，定義如下：式1：歐拉數e的定義這個常數是由瑞士數學家雅各布·伯努利發現的。式2：唯一一個等於它自己的導數的函數。e的超越我們這篇文章的目的是證明e是一個超越數。這個證明的最初版本是由法國數學家查爾斯·埃爾米特提供的，但是這裡給出的版本是由德國數學家大衛·希爾伯特簡化的版本。圖2：法國數學家查爾斯·埃爾米特和德國數學家大衛·希爾伯特。
  • 數學常數e
    自然常數e和圓周率π、黃金分割數φ一起被稱為「三大數學常數」。e作為重要數學常數之一，常出現於數學和物理學之中。
  • 洞穿宇宙奧秘的常數——自然常數e
    大家最為熟知的常數恐怕要數圓周率π了，但還有一個非常重要的常數，其重要性可以說和π不分伯仲。這就是著名的自然常數 e，e的定義如下圖π＝3.1415926……e＝2.71828以e為底數的對數稱為自然對數，記作log(e，N)＝ln(N)自然對數函數的導數[ln(x)]』＝1/x以e為底的指數函數e^x的導數就是本身(e^x)』＝e^x這是除了0以外，唯一一個導數不變的函數
  • 數學常數e的含義
  • 自然常數e的意義
    " e "。在大多的運算裡, 用英文表示的都是未知數, 而" e "卻是一個有固定值的數—— 2.71828 18284.後邊無限位。第一次在高中接觸" e "的時候, 是做對數函數log運算, 搞特殊的" loge "直接寫成" ln ", 以自然常數為底。可是呢然後呢？高中數學並沒更多的解析。
  • 你知道自然常數e有多麼的無理嗎?
    自然常數e的性質有很多，首先它的無理性是當時數學家們首先要解決的，本篇就來談一談e是有多麼的無理，既然選擇了通向無理的徵程，就讓我們開始吧。本篇就像你不相信1=0.999……一樣神奇，就因為它的神奇才能激發我們的好奇心去探索更多的未知。如果你對1=0.999……這樣的數學知識非常感興趣，那你同樣對本篇即將要探索的無理性更感興趣。
  • 自然常數 e 的故事
    E(自然常數, 也稱為歐拉數)是自然對數函數的底數. 它是一個無理數, 就是說小數點後面無窮無盡, 永不重複. 與 Pi 和 sqrt(2) 不同, 它不是由幾何問題上探究而來的, 而是關於增長率和變化率的常數. 但是它為什麼和增長率有關呢? 讓我們回到來 17 世紀, 看看發現 e 最初的問題與相關的兩位大數學伯努利和歐拉吧.
  • Filecoin的共識機制的實現進化與自然常數e的關係
    自然常數 e，是一個神奇的數，在數學中又極為自然。本文講一講 Filecoin 的共識機制的實現進化與自然常數 e 的關係。內容提要一、自然常數 e二、初期預期共識空塊率過高：1/e三、預期共識的實現是一個不段發現的過程四、tipset區塊數預期提升（至5），安全性和效率的兼顧五、讓每一個字節都參與投票：優雅的密碼抽籤 + e【預警：數學、概率與分布】數學常數 ee 被成為自然常數，在數學家的眼裡，這個常數非常自然。
  • 除了值的大小,我們對常數e到底知道多少?
    · 對於e，我們似乎所知不多 在數學中，常數e一直是一個神奇的存在，似乎很常見，可我們對其又知道多少呢？從中文上看，大致是這麼個意思：「數學常數e是自然對數的基礎」。但，不幸的是，這裡又引出了另一個概念「自然對數」。
  • 從自然常數e到電容充電的遐想
    作者君前段時間看到了這樣一篇文章：講的是自然常數e的來源。簡而言之，其實e就是  這樣一個極限值。
  • 自然常數e:原來是這麼來的
    數學中有許多重要的常數，例如圓周率π和虛數單位i（等於根號負一）。但數學中還有一個同樣重要的常數，那就是自然常數e，儘管沒有圓周率那麼為人所熟知。這個常數經常出現在數學和物理學之中，但它從哪裡來？它究竟是什麼意思？在18世紀初，數學大師萊昂哈德?
  • 關於神奇的自然對數的底數——e
    自己求導看看，是不是左右變都沒變，是不是很神奇！我第一次嘗試的時候也覺得很神奇！那我令x=1，也就得到了常數e的計算方法之一：隨著n的越來越大，計算精度越來越高，當n取10的時候，值為2.718281相對誤差為1乘上10^(-8)還是很精確了！
  • 自然常數e為什麼這麼重要?
    我們知道，自然界有一些十分重要的常數，如0，1，i，π，e等，它們的存在很大程度上影響了我們的學習與生活，今天我們就來深度挖掘一下，自然常數e為什麼這麼重要？在回答自然常數e為什麼這麼重要之前，我們首先要問，自然常數e是什麼？簡單搜索一下可以發現，百度百科裡面是這麼解釋的：自然常數，是數學科的一種法則。
  • 自然常數e到底是個什麼東西?
    自然常數e，是一個無理數，也是超越數，其值為2.71828……e被稱為歐拉數，以瑞士數學家歐拉；也被稱為納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進了對數。第一次提到自然常數e，是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。第一次把e看為常數的是雅各·伯努利。第一次用到常數e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。
  • 自然數e指數的由來及定義
    自然數e指數的由來及定義                        於德浩
  • 數學中的自然常數e有什麼來頭?
    數學中有許多重要的常數，例如圓周率π和虛數單位i（等於根號負一）。
  • 自然常數e到底有多少秘密？數學家歐拉、高斯等也沒研究透徹
    定理中的兩個重要概念——質數與自然常數e，一個屬於數論範疇，另一個（lnx中的自然常數e）則隸屬於分析學。「質數定理」將兩個看似毫無關聯的數學分支—— 「數論與分析」緊密聯繫在了一起。自然常數e是如何被人們的發現的呢？
  • LabVIEW編程實例:如何求解自然常數e
    實例說明自然常數e，是數學中最重要的常數之一，是一個無限不循環小數，也是自然對數函數的底數，其值約為2.71828。它的一個經典的數學定義公式是：使用計算機計算e的值時，可以使用下面的公式近似計算：那麼在LabVIEW中如何編程實現求解這個公式即e的值呢？編程思路從上面的近似公式可以看出，e的值與n的階乘有關，可將上式分解為兩個步驟：求解n的階乘：n!=1×2×3×......