馭洋 曉查 發自 凹非寺量子位 出品 | 公眾號 QbitAI
3.1415926……
π和e這樣的基本常數在科學領域中無處不在，但計算它們的高精度近似值往往令人頭大。如今，機器學習或許能幫上大忙。
能算近似值，還能在數學計算中快速找出精準規律，機器學習表示 I can I up。
這就是以色列理工學院和谷歌一起開發的拉馬努金機器（Ramanujan Machine）。
拉馬努金，這位英年早逝的天才數學家，總能發現一些讓世人驚嘆的數學公式。由他發現的圓周率π的計算公式，只需計算第一項就能突破普通計算器的最高精度。
拉馬努金機器也有類似的奇效。面對各種奇怪複雜的數學常數，只要找出它的連分數表示，只需計算十幾步、幾毫秒就能快速收斂，得到精準答案。而且算法已經開源！
然而讓拉馬努金玩出花來的連分數可不是簡簡單單就能被找出來的，幾個世紀以來，與基本常數相關的新數學公式十分少見，畢竟奠基人是歐拉、高斯這樣堪稱「變態」的天才，想要繼承他們的事業，不僅要有豐富的知識積累，還要有敏銳的數學直覺。
而機器學習卻表示，無需先驗信息，我也能快速get新公式。
什麼是連分數
優美的歐拉公式將e和π兩個數學常數聯繫起來，但你知道這兩個無理數是怎麼算出來的嗎？
你可以用泰勒展開的方法計算：
實際上還有另一種計算方法，那就是連分數，它的分母無限延伸下去，結果就會越來越接近：
黃金分割比φ=0.618……有著幾乎最簡單的連分數形式，一組全是1表示的數：
其他的數學嘗試，包括自然對數的底e、圓周率π，還有黎曼猜想中黎曼Zeta函數ζ(3)的值。都可以用連分數來表示。
任意實數都可以用連分數來表示。
連分數有何用
你如果認為連分數是數學家們的奇技淫巧，那就大錯特錯了，發現連分數的某個表達式有著實際的用途。
各種數學常數的連分數是存在卻不是唯一的，如果找到一個合適的連分數，那麼計算結果的收斂速度會非常快，大大減少計算機的運算量。
但是找到連分數裡一組特殊的數卻並不是一件容易的事情，否則這套算法也不會叫做拉馬努金機器了。
△ 拉馬努金髮現的連分數，φ是黃金分割比
發現連分數裡那些特殊整數的規律，需要有長年數學知識的積累，更要有易於常人的直覺。
現在有了拉馬努金機器，可以用電腦代替人的思維去尋找特殊的連分數了。
有Reddit網友把拉馬努金機器找到的公式寫成Python代碼，各算了一遍e和π，分別用了15步和18步的迭代，就能達到float 64的精度，也就是小數點後15位。
拉馬努金機器不僅能算數學常數，如李維常數、辛欽常數，還能計算一些物理常數，如天文學計算中的拉普拉斯極限等等。
作者下一步的目標用它來做數學證明，發現數學常數的固有屬性。比如e和π，我們都已經能證明他們是無理數而且是超越數，其他常數是不是無理數呢？以後或許可以用計算機來證明了。
算法介紹
論文當中提到了兩種算法。
第一種是中間相遇法（The Meet-In-The Middle）。這個算法的思路非常簡單：
給定一個常數c（如 c=π），根據公式：
f1(x)=x，f2(x)=1/x ，……；GCF(α，β)代表 an=α(n)，bn=β(n)的連分數；α，β，γ，δ為整數多項式。
先計算出公式右邊一個精度較低的值，並將其存入哈希表，然後通過枚舉的方法來使公式左右兩邊的值相匹配，匹配上的值稱為「hits」，隨後增加hits的精度並重新比較，重複這個過程直到hits達到指定精度。這個最終的結果就提供了一個新的連分數。
有些hits值會產生誤報，針對這一點，研究人員提出通過計算任意精度的有理函數來減少誤報。
在這個算法當中，由於公式右邊的計算成本更高，所以將它的值以哈希表來存儲，以空間換時間。這個哈希表也可以保存下來重新服務於公式左邊的枚舉，從而大大減少未來的枚舉時間。
MITM-RF算法不需要任何關於基本常數的先驗信息，不過有許多基本常數的結構是可以推斷出來的，以此作為MITM-RF的先驗信息可以有效降低空間複雜度和計算複雜度。
不過，MITM-RF方法還是存在擴展性不佳的問題，於是研究者使用到了機器學習當中常用的梯度下降方法，他們稱其為Descent&Repel方法。
我們可以把優化問題描述成這個樣子：
這裡的最小值不是零維度點，而是（d-1）維的流形，其中d是給定的單一約束所預期的優化變量的數量。
研究者還觀察到所有的最小值都是全局的，並且它們的誤差為0，也就是說所有的梯度下降過程最後都會得到L=0的解。
這個優化問題起始於一個大的點的集合，在示例當中，所有初始條件被放置在一條線上。對每一個點迭代執行梯度下降，然後強制所有的點通過庫侖排斥彼此排斥。通過梯度下降步驟保證算法朝向整數格並趨向最小曲線，最後僅返回位於整數格上的解。
網友的質疑
有Reddit網友認為，連分數通過等效變換可以獲得無限多種組合這篇論文不是機器學習，它只是一種自動化查找新表達式的算法。
網友雖然反對將作者的結果稱為機器學習，但它仍然是一種吸引人的算法，最有趣的是使用梯度下降優化整數分數，以前從未見過有人這麼用過，因此是有創新性的。
對此，作者表示，是不是機器學習取決於你如何定義，文章中尋找新數學公式的算法是基於梯度下降的模型，因此可以看做是機器學習，今後他還將展示更直接地利用機器學習的其他結果。
至於發現新的連分數表達式，已經有前人的研究成果可供查詢，而作者用拉馬努金機器發現的很多結果已經被人類手工發現了。況且只要掌握了連分數的知識，就能發現各種表達式變體。
但這不正是拉馬努金機器的魅力所在嗎？如果你沒有過人的數學頭腦，就把特殊技巧交給計算機來做吧！
傳送門
論文地址：Arxiv號碼是1907.00205
原始碼：作者是AnonGit90210，項目名是RamanujanMachine
連分數查詢：oeis點org斜槓A003417