一個排版小示例。利用常數變易法求解一個二階線性變係數非齊次微分方程。
\documentclass[UTF8]{ctexart}\usepackage{amsmath} % improve math presentation\usepackage{mathtools} \usepackage{mathabx}%直立積分號\usepackage[left=1.25in,right=1.25in,top=0.5in,bottom=1in]{geometry}%頁面設置\begin{document} \title{\lishu 常數變易法} \author{\kaishu 鄧志強} \date{\today} \maketitle{\kaishu 求解如下微分方程的通解：}$$r^2 R''(r)+rR'(r)-R(r)=-4r^3\mathrm{e}^{-r}. $$
\textbf{解} \quad先求解相應齊次方程的通解。作變換$r=\mathrm{e}^{t}$或$t=\ln r$，將自變量換成$t$,我們有\[\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}=\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}r}=\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}^2 R}{\mathrm{d} r^2}=\frac{1}{r^2}\left( \frac{\mathrm{d}^2 R}{\mathrm{d}t^2}-\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t} \right)\]齊次方程可化為\[\frac{\mathrm{d}^2 \tilde{R}}{\mathrm{d}t^2}+\tilde{R}=0, \]方程的特徵方程為$\alpha^2-1=0$,其根$\alpha=\pm 1$為兩個不相等的實根,因此所求齊次方程的通解為\[\tilde{R}=C_1 \mathrm{e}^t+C_2 \mathrm{e}^{-t}=C_1 r+\frac{C_2}{r} .\]現在利用常數變易法求解該方程的一個特解$R^*(r)$，令\[R^*(r)=r v_1(r)+\frac{v_2(r)}{r}， \]按照\[\left\{ \begin{lgathered} r v'_1(r)+\frac{v'_2(r)}{r}=0 \\ v'_1(r)-\frac{v'_2(r)}{r^2}=-4r \mathrm{e}^{-r}\end{lgathered}\right.\]可以解得\[\left\{ \begin{lgathered} v'_1(r)=-2r \mathrm{e}^{-r} \\ v'_2(r)=2r^3\mathrm{e}^{-r}\end{lgathered}\right.\]積分有\[v_1(r)=-2\int r \mathrm{e}^{-r}\mathrm{d}r=2(r+1)\mathrm{e}^{-r}+C_1, \]\[v_2(r)=2\int r^3\mathrm{e}^{-r}\mathrm{d}r=-2(r^3+3r^2+6r+6)\mathrm{e}^{-r}+C_2,\]故非齊次方程的特解為\begin{align*}R^*(r)=&2r(r+1)\mathrm{e}^{-r}+\frac{-2(r^3+3r^2+6r+6)\mathrm{e}^{-r}}{r} \\=&-4\left(r+3+\frac{3}{r}\right)\mathrm{e}^{-r}， \end{align*}非齊次方程的通解為\[R(r)=C_1 \mathrm{e}^r+C_2 \mathrm{e}^{-r}-4\left(r+3+\frac{3}{r}\right) .\]\end{document}