為什麼能用常數變易法求解一階非齊次線性微分方程

記得在學高等數學微分方程這一章的時候，對於一階非齊次線性微分方程的計算，老師講過一種不用背公式的簡單算法——常數變易法。只需將通解中的常數項C換成待定函數C(x)然後回代，就能求出一階非齊次線性微分方程的解。這種方法很神奇，也意外的好用，但靜下心仔細想想，卻發現自己並不知道為什麼可以這樣做，只是在機械地套公式罷了。

為了不至於淪為考試機器，今天的內容，我將從源頭說起，說說常數變易法為什麼「行」。

什麼是常數變易法

在論證常數變易法為什麼「行」之前，我們先來回顧一下什麼是常數變易法。

對於一階非齊次線性微分方程：

變易為待定函數C(x)，即做變換： 

為了驗證上述方法的可行性，我們隨便找了一道例題來測試一下：

例：求方程 

解：

提取出與該微分方程相應的齊次線性微分方程：

常數變易法為什麼「行」

我們從最一般的思路來解決這個問題：

對於一階非齊次線性微分方程：

看到這裡，大家應該會有一種恍然大悟的感覺。其實在剛學這課的時候，我也和大多數人一樣，機械地套著公式，解出答案，完成考試，拿一個湊合著過得去的分數，然後忘掉這個公式，就像沒有學過這門課一樣。直到最近一些專業課重新用到了這些早已被我拋之腦後的公式，我才意識到自己數學功底的不足（*沒錯就是可靠性原理，做作業的時候我發現我連微分方程都不會解了）。很多公式，如果只是背出來而不知道蘊含在它背後的推導過程，是很容易忘記的；只有從根源出發，吃透每一個公式背後蘊含的推導過程，才能在需要用時不至於手足無措。

本期內容到這裡就結束了，如果對本文中所論述的解題方法有任何疑問，歡迎私戳我進行討論：

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