數學中e為什麼叫自然對數,他到底是什麼?

e到底是什麼？

張英峰

e有時被稱為自然常數（Natural constant），是一個約等於2.71828182845904523536……的無理數。

以e為底的對數稱為自然對數（Natural logarithm），數學中使用自然（Natural）這個詞的還有自然數（Natural number）。這裡的「自然」並不是現代人所習慣的「大自然」，而是有點兒「天然存在，非人為」的意思。就像我們把食品分為天然食品和加工食品，天然食品就是未經人為處理的食品。

但這樣解讀「自然」這個詞太淺薄了！為了還原全貌，必須穿越到2500多年前的古希臘時代。（你也知道，穿越劇都很長(>﹏<)，不喜歡長篇大論的，可直接跳到後面看結論。）

「自然」的發明

我們知道，人類歷史上曾出現過很多輝煌的文明，例如大家熟知的四大文明：古巴比倫、古埃及、古印度河以及古代中國。

但是要說誰對現代文明的影響最大？對不起，四大文明誰都排不上！真正對現代文明影響最大的是古希臘文明，特別是古希臘的哲學、科學思想，是整個現代文明的源頭和基石。這裡並不是要貶低四大文明，現代文明也從各文明繼承了大量的文化遺產，只是相比古希臘要少很多。

現代人的基礎教育，無論是什麼國家、什麼社會制度、什麼民族，在教科書裡除了介紹自己的古代成就外（如四大發明），還會大篇幅的介紹古希臘的科學、哲學思想，來啟蒙學生的心智，這是跨越國界的共同做法。

大家都這樣做的原因，就是因為古希臘哲學家發明了科學的思維方法和「自然」（Natural）這個詞，在理論中用自然來取代具體的神靈，這是人類文明史上劃時代的發明。如果沒有這個發明，現代文明可能還會晚出現數千年，所以這是至關重要的進步。

在古希臘文明之外的古文明裡，人們解釋世間萬物的運行時，總是要引入神靈等超自然、擬人化的因素。例如，得病了就認為鬼神附體，洪水泛濫就認為天神發怒，石人一出天下就可以造反了，總有一個超自然的神靈在操縱萬物的運行。人們偏愛形象而戲劇化的解釋，擬人化的神靈恰恰具有形象、戲劇化的特點，最易於接受和傳播。現代喜歡希臘神話的人數，也遠多於喜歡希臘哲學的。電視裡最流行各種奇幻故事，例如狼人、吸血鬼什麼的。古代人也一樣，不同的是我們知道這是假的，古人則認為是真的，這成為他們理解世界運行的思維定勢。

直到公元前624年，泰勒斯的出現，才第一次用自然取代神靈的位置。

泰勒斯被稱為「科學和哲學之祖」、「科學之父」、「哲學史上第一人」！（還有比這更牛的稱號嗎？）

其實泰勒斯是個多神論者，他認為神是存在的，是神讓萬物有了自己內在的規律。但解釋萬物的運行，不能靠憑空的製造故事，要靠堅實的證據來發現這些規律，並用理性的方法解讀。這就是泰勒斯的最大貢獻，開創了一套認識世界的全新思維方法，他關注的是證據、規律、理性，而不是神。

儘管泰勒斯提出的理論現在看起來很粗糙。但是人們不再需要像宗教一樣，把舊理論看成是不可否定的權威結論。只要有堅實的新證據和理性的推理，舊理論可以被修改或推翻，更好的理論就可以建立起來。這是一種可靠的、可進化的理論體系。相反，宗教是停止進化的、只能膨脹的理論體系，例如你只能解讀聖經，但不能否定聖經。

後來的希臘哲學家不斷借鑑和發展泰勒斯的理論，建立了「自然」(φύσις)的概念，「自然」代表萬物因為本源而發生自然而然的變化。赫拉克利特還引入了邏各斯（希臘語：λόγος，英語：Logos）的觀點，用以說明萬物變化的規律性。邏各斯原來是指語言、演說、交談、故事、原則等，這裡的邏各斯則主要指一種尺度、大小、分寸，即數量上的比例關係。後來對數的發明人納皮爾就用Logos和arithmos（算法）創造了單詞Logarithm 來命名對數法，經過後人簡化變成了對數符號log。

幾乎和古希臘同一時代，春秋戰國時代的諸子百家也提出過一些相似的思想，例如老子的道。但很可惜，這種蓬勃發展的思想爆炸因為諸多原因戛然而止，只是曇花一現。但是限於篇幅，這裡不再展開，請到最後的推薦閱讀中了解。

「自然」與美 

古希臘的學者還給「自然」賦予美的含義，他們認為規律性就是一種和諧感，數學的比例是種超越肉體感官、只能靠心智才能領悟到的美。畢達哥拉斯就是其中最極端的代表，他對數學美的狂熱追求超過了偏執的程度，美像神一樣不可冒犯，畢達哥拉斯主義走向了科學的反面，成了宗教。

這種宗教的狂熱驅動他和信徒們不斷的去挖掘「自然」之美，並在數學之外的音樂、建築、雕刻、繪畫等領域發現了大量的比例關係，最有名的是畢達哥拉斯定理（中國叫勾股定理）。畢達哥拉斯認為所有圖形中，圓是最對稱的，所以圓是最完美的圖形。參見畢達哥拉斯學派美學思想（朱光潛）

「自然」思想的意義
雷軍說得好，「在風口上，豬都會飛」！就像賈伯斯開啟了移動網際網路時代，泰勒斯則開啟了古希臘哲學時代。

古希臘時代是一個科學、哲學大爆炸的時代，原本黑暗的天空中突然爆發出無數的新星：赫拉克利特、畢達哥拉斯、德謨克利特、蘇格拉底、柏拉圖、亞里斯多德、阿基米德、歐幾裡得、希波克拉底等等，都因為得益於這套思維方法，發現了大量的自然規律，成為各學科領域裡開天闢地的先賢。

古希臘人還把自然的概念引入社會領域，來分析社會中的現象和規律。例如亞里斯多德就曾經激烈的抨擊借貸，認為在所有賺錢方法中，利息是最不自然的。

以自然作為基礎，會比人為強制規定作為基礎更穩定和可靠。
例如：
英尺(foot)的長度就是根據人的腳長來人為規定，人的腳長差異太大，歷史上英尺發生過很多次變化，不穩定，這是不自然的。
而海裡的長度則接近自然，如下圖，海裡是根據地球周長計算的，是1角分的長度，變化就極小。

對比之下，宗教等理論體系的基石並不是自然的，靠的是強制手段來確立的權威，這是不穩定的。當強制手段不再有效時，就會使宗教分裂成各種教派。

自然思想不同於宗教，靠的是堅實的觀察證據和理性思維，任何人都可以反覆驗證，具有可證偽性。這樣打下的基礎就非常的穩固。正是這種穩定性和可靠性，古希臘思想被越來越多的人所接受，對後人產生了巨大的影響，幾乎奠定了現代所有科學領域的基礎。

經過2500多年的不懈努力，終於在古希臘文明所鋪就的最穩固基石上，人類建立起了現代文明的宏偉大廈。

自然數中的「自然」

古希臘認為像1、2、3這樣的數，是事物本身就有的屬性，可以用來描述日常事物的數量和順序，無需過多解釋，就是3歲小孩也能快速理解，所以這些數被稱為自然數（Natural number）。

但這種樸素的自然觀限制了數的範圍，無法解釋0，負數、分數、小數等數。古希臘人認為這些數並不自然，是人為了計算而發明出來的，不是自然的數。

畢達哥拉斯就非常厭惡無理數，無理數的不規律破壞了和諧美。他的門生希帕索斯Hippasus就是因為發現了√2並公布出去，居然被畢達哥拉斯以瀆神的罪名被淹死了，這被稱為數學史上的第一次數學危機。後人認為畢達哥拉斯也發現了黃金分割率，但因為也是無理數，所以一直秘而不宣。

現代我們知道，沒有受過基礎數學教育的人要想理解這些數，不僅需要了解更複雜的概念模型，還要熟悉加、減、乘、除等運算方法，只有這樣才能完全明白。而更複雜的數，例如無理數、代數數和超越數，也需要了解更複雜的運算。

我們的主角e，就是超越數，既然理解e的含義需要理解相關的運算，而這些運算最早都和利息有關，所以我們繼續穿越。從古希臘再往回穿越4000年，穿越到7000年前的蘇美爾文明時代。

利息的發明

7000年前，美索不達米亞的蘇美爾人因為發達的農業和貿易，建立起人類最早的文明和城市，參見《為什麼會有國家？》。

蘇美爾人也第一個發明了利息，一起通過一個虛構的小故事來理解利息的起源：

農民張三經常去城市賣糧食、換日常用品，他發現城裡人很喜歡羊奶，這是一個商機！

但是他自己沒有母羊，也買不起，於是他找到牧羊人王二小，想租借他的母羊。

張三想用大麥作為每年母羊的租金，但王二小想了想，不想把母羊租給他。

因為母羊每年都生羊羔，把母羊給張三，雖然有租金，但羊羔的收益就沒了。

張三明白了王二小的顧慮，就承諾他只用母羊產奶，如果母羊生下羊羔，羊羔還是歸王二小。

王二小認為這樣才比較划算，於是就答應了租借母羊。

張三和王二小到神廟，要在神的見證下訂立合同。

公證人用楔形文字把債務合同刻在了泥板上，並明確了租金和羊羔的歸屬。

羊羔收益成為租借者的應得利潤，這很公平，也很自然。

後來人們發現借錢也應該給羊羔收益，因為這筆錢如果用來買母羊，每年都會有羊羔收益。所以錢借給貸款者，他除了要歸還本金，還要歸還這筆錢本應獲得的羊羔收益。

這個羊羔收益就成為了後來我們熟知的利息，在蘇美爾文字中，利息的單詞mas原本是牲畜幼崽的意思，隨著時間的推移，利息的含義逐漸和牲畜沒有了關係。這和我們漢字中貨幣、寶貝、財產等詞中都含「貝」字是一樣，因為海貝就是3000多年前夏商時代流通的貨幣。

歷史上每次新能源的普及都會引發人類社會革命性的進步，利息就是一種革命性的新能源發明，只是這次驅動的不是機器，而是人。

利息的價值就在於其巨大的激勵作用，驅動人們把自己的資源拿出來，分享給其他人使用。利息的激勵模式也迅速在實物、糧食、金銀等資產借貸上得到普及。金融領域的第二大創新（第一是貨幣）就這樣誕生了。

4000多年前的《埃什嫩那法典》（The Law of Eshnunna）中就有了對利息的規定：

每1謝克爾<白銀>（180粒大麥）的利息是36粒大麥（即利率為20%）；

每300塞拉（sila）<穀物>的利息是100塞拉（即利率為33.33%）。

儘管利息能激勵交換，但人們對利息還是有著愛恨交加的複雜感情：當急需錢時，人們焦急的不惜一切代價籌錢；等到終於借到錢，需要還利息時，人們又開始憤憤不平。

柏拉圖就曾經主張，人們應該只還本金，不要歸還利息。參見古希臘的債務危機

他的學生亞里斯多德在《政治論》一書中也激烈的抨擊利息，認為在所有賺錢方法中，利息是最不自然的。

And this term interest, which means the birth of money from money, is appliedto the breeding of money because the offspring resembles the parent. Wherefore of an modes of getting wealth this is the most unnatural.

來源：http://classics.mit.edu/Aristotle/politics.1.one.html

每個時代的人們都有他們思想的天花板，亞里斯多德的天花板就是不能接受金錢可以像生命一樣增殖。他認為這是荒誕的、不是錢原來的屬性、是不自然的。但如果他知道利息的起源，明白利息在經濟系統中的推動作用，他可能會改變觀點，整個人類經濟和政治史都會徹底改寫了。

柏拉圖和亞里斯多德並不是第一個站出來抨擊利息的人，但是他們在歷代學者和政治精英中的巨大影響力，這些觀點後來成為了社會的主旋律，後世的社會現象，例如中世紀教會禁止收息放貸、猶太人被歧視迫害，以及馬克思的共產主義思想，都和柏拉圖、亞里斯多德有著一脈相承的關係。

好了，先從歷史裡出來一會兒，讓我們來看一下利息和e的關係。

利息中的e

e和圓周率π都是超越數，π的含義可以通過下圖的割圓術來很形象的理解。

假設等邊形的對角線長為1，只要等邊形的邊足夠多，算出來的周長就可以越來越接近圓周率π。

但是解釋e的含義卻很難找到這樣直觀的例子，阮一峰翻譯的文章《數學常數e的含義》說的很好，只是公式太多，並不直觀。
幸好我在原文《An Intuitive Guide To Exponential Functions & e》中找到了很直觀的圖，只要理解了這個例子，e的含義就明白了。

假設你在銀行存了1元錢（下圖藍圓），很不幸同時又發生了嚴重的通貨膨脹，銀行存款利率達到了逆天的100%！

銀行一般1年才付一次利息，根據下圖，滿1年後銀行付給你1元利息（綠圓），存款餘額=2元。

銀行發善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(紅圓)，1年存款餘額=2.25元

假設銀行超級實在，每4個月就付利息，利息生利息(下圖紅圓、紫圓)，年底的餘額≈2.37元

假設銀行人品爆發，一年365天，願意天天付利息，這樣利滾利的餘額≈2.71456748202元

假設銀行喪心病狂的每秒付利息，你也喪心病狂的每秒都再存入，1年共31536000秒，利滾利的餘額≈2.7182817813元

這個數越來越接近於e了！

哎呀！費了半天勁也沒多掙幾個錢啊！對！1元存1年，在年利率100%下，無論怎麼利滾利，其餘額總有一個無法突破的天花板，這個天花板就是e，有興趣可以用這個網上計算器算一下。

我們和圓周率再做個對比：

換種表述方法：

每個完美的圓，其周長都是π的倍數；

每個理想的存款，其餘額都是e的倍數。

這裡停一停，你好好體會一下。

按照自然的觀點，如果圓是最美的，那最賺錢也是最理想的。

有人問了：為啥銀行不每秒返利息呢？這樣就不是100%回報率，而是171.8%了，還我的71.8%！
銀行哭到：臣妾做不到啊！！！

以上是意淫，銀行不會這樣發利息，洗洗睡吧！我們繼續分析。

對數發明的歷史

據說4000多年前，古巴比倫時代的人們就發明對數和對數表了，但因為我沒找到資料證實，只能從近代開始。

16、17世紀，英、法加入了大航海的行列，開始了美洲殖民地的開拓，遠洋貿易變得日益頻繁。那時的人們已經知道地球是球形，大海上船隻的位置靠經緯度來確定。

緯度測定很容易，幾千年前人們就知道，通過測量北極星的仰角，可以估算出船已經在南北方向航行了多遠。但是經度的測量不是一般的困難。在茫茫的大洋上，如果無法準確測定船隻的經度，代價會極為高昂。

1707年，四艘英國戰艦擊敗法國地中海艦隊回航，10多天的濃霧讓艦隊完全迷失，因為算錯經度，艦隊觸礁，兩千名士兵死亡。1714年英國懸賞2萬英鎊（相當於現代的2000多萬人民幣），尋求精確測得經度的方法。

對於商人來說，與市場上的同類對手競爭，誰的航海定位越準確，意味著風險越低、利潤越高。
對海軍也是，同樣的戰艦，定位越準確，航行的時間越短，在戰爭中速度往往是決勝的關鍵。

經度的精確測量問題直到18世紀才得到有效解決，這歸功於約翰·哈裡森發明了高精度機械鐘錶。這段歷史還被拍成了電影和記錄片，推薦一本精彩的書《經度：一個孤獨的天才解決他所處時代最大難題的真實故事》和羅輯思維的節目《擊潰牛頓的鐘表匠》。

但是在哈裡森之前的數百年裡，人們只能求助於天文學家來解決，因為天空就是人們最早、最精確的鐘表，太陽、月亮、星星等天體就是上面的錶針，讀懂這個鐘錶，就可以知道時間和經度了。

天文學家觀測天體，計算出運行的軌道，來預測未來幾年每個時間點上天體所在的精確位置，英國天文學家以格林尼治天文臺的時間為基準，再把時間和天體位置整理成詳細的表格，公開出版發行。這套星表可不便宜，星表加上六分儀售價約20英鎊，相當於現在2萬人民幣，即便這樣也經常脫銷。海上的人用六分儀測量天體，再去查那本高價天文表格，求得當地時間和格林尼治時間，知道兩地的時間差，就知道現在的經度了。

16世紀和17世紀之交，天文學家第谷和克卜勒通過大量的觀測，繪製了當時最精確的星圖，解決了天文學家天文數據精度不足的難題。有了高精度的星圖，全歐洲的數學家開始了天體軌道的計算競賽，很多科學家也因此獲得了商業和學術上的豐厚回報。那時的天文學家、數學家可不是像現代這麼冷門，更像當今那些IT、金融等熱門行業裡的精英一樣，享受著人人羨慕的不菲高薪。

順便說一下，日心說之所以能取代地心說，也是因為日心說模型更簡潔，不僅計算起來更簡單，而且預測非常準確，可以很好的解釋行星逆行等現象，這是地心說完全做不到的。

即使這樣，要想預測天體的運行，其計算也是極其繁瑣和浩瀚的，在解決計算問題時，數學家們發明了大量嶄新的數學理論和計算工具，包括對數、解析幾何、微積分和牛頓力學等偉大的創新。可以說天文學是當時科學界最閃亮的寶石，是當時的高科技熱門產業。

其中，對數的發明人就是約翰·納皮爾。

納皮爾是天文學家、數學家，在計算軌道數據時，也被浩瀚的計算量所折磨。

"看起來在數學實踐中，最麻煩的莫過於大數字的乘法、除法、開平方和開立方，計算起來特別費事又傷腦筋，於是我開始構思有什麼巧妙好用的方法可以解決這些問題。"
--約翰·納皮爾，《奇妙的對數表的描述》（1614）

《e的故事：一個常數的傳奇 》

但納皮爾不是一般人，不想像IT民工一樣苦逼的重複勞動，於是用了20年的時間，進行了數百萬次的計算，發明了對數和對數表，堪稱學霸中的戰鬥機。

為了理解對數計算的優勢，我們通過案例來說明，下面的表格裡有兩個數列：

第1行是自然數，他們是等差的；
第2行是2的倍數，他們是等比的；
要計算第2行的等比數列中任意兩個數的乘積，例如16×4=64

先到第1行的等差數列，尋找對應的數，16對應4，64對應6；
然後做加法4+6=10，再查找10對應等比數列的1024；
得到計算結果就是16×64=1024；

藉助這個表，僅靠心算就可以用
同樣也可以進行除法變減法的運算，把1024÷128結果變成10-7=3把這個表變的更長，就可以計算數值更大的乘法，這個表就是極度簡化的對數表。

以上僅僅是對數的優點之一，對數的易於計算，大大減少了數學家、天文學家的計算量。
拉普拉斯認為「對數的發現，以其節省勞力而延長了天文學家的壽命」
伽利略說過「給我空間、時間及對數，我就可以創造一個宇宙。」

如果把對數表的數列設計成尺子，就成了計算尺。有興趣可以讀果殼網的《如果沒有計算器，我們就用計算尺吧》

把直尺掰彎了就成了柱狀算尺，像不像風水大師的道具？

微積分中的e
有人說：我不懂微積分，估計看不懂！

沒關係！你可以這樣理解，積分是升維的過程，微分是降維的過程。
例如
把一張張紙疊起來變成厚厚的詞典，這是從2維變成3維的升維，這是積分；
把一大塊羊肉，切成一片片羊肉片，就是從3維為變2維的降維，這是微分。

在微積分中，底數為e的指數函數

舉個例子：
西瓜都切過吧？
無論你怎麼切一個實心球，其橫截面都是圓面，也就是3維降2維，還是和圓有關。
2維的圓面也是有很多1維的同心圓組成，也就是2維降1維，還是和圓有關。
如上所說，球被降維了2次還是和圓有關，π這個常數你是甩不掉的。
這一點對更高維度的球也適用，參見n維球面。
ex無論如何降維，總是老樣子，一點兒都沒變！
就好像你切掉孫悟空的一部分，你以為是一小片肉，睜眼一看，居然是另一個孫悟空，而且一樣大！
這種自相似或全息性太匪夷所思、太好玩兒了！
大劉！我知道怎麼化解《三體》外星人的降維攻擊了！

下面就是ex圖像在直角坐標系中的樣子

美妙的螺線
在上面的部分中，指數函數ex的美並沒有真正的體現出來。讓我們換一個視角看，你一定會大吃一驚。

我們知道二維坐標系除了直角坐標系外，還有一種常用的是極坐標系，

如下圖

我們把指數函數 ex換成極坐標eθ，θ就變成了 是點與極軸的夾角。

這時的指數函數就會變成下圖的樣子，這個螺線叫對數螺線（Logarithmic spiral），又叫等角螺線。
之所以叫等角螺線，是因為在極坐標中，螺線和射線的夾角始終是一個固定夾角，如下圖所示，藍線每次穿過射線時，其夾角是固定的，也就是等角，我們在後面會用到這個等角特性。

有人說：等等！我好想在哪裡見過這貨？

有人說：等等！我好想在哪裡見過這貨？

斐波那契數列就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……這樣的數列。
其特點是前兩個數加起來就是下一個數，例如
1+1=2
1+2=3
2+3=5
……
34+55=89
……
用這些數畫出來的半圓，可以拼接成下面的螺線形狀，這就是斐波那契螺線。

有趣的是這個數列還和黃金比例有關，例如55/34≈1.6176，接近黃金分割比例1.618，數列的數字越到後面，結果就越趨近於黃金分割這個無理數，如下圖

不過斐波那契螺線僅僅是對一種叫黃金螺線（Golden spiral）的近似，黃金螺線是一種內涵黃金分割比例的對數螺線，下圖紅色的才是黃金曲線，綠色的是「假黃金螺線」（斐波那契螺線），近似卻不重合。

為什麼自然界中存在這麼多的對數螺線呢？
因為對數螺線具有等角性，受環境影響，很多直線運動會轉變為等角螺線運動。

關於對數螺線還有一個小笑話。
對數螺線是笛卡兒在1638年發現的，雅各布·伯努利也做了研究，並發現了許多非常優美的特性，經過各種變換，結果還保持原來的樣子。
他十分驚嘆和欣賞這種美，要求死後自己的墓碑上一定要刻上對數螺線，以及墓志銘「縱使改變，依然故我」(eadem mutata resurgo)。
結果石匠同志誤將阿基米德螺線刻了上去，雅各布九泉有知一定會把棺材掀翻的！
（╯￣皿￣）╯︵┴─┴

阿基米德螺線是這樣的：

對數的底數
對數中最常用的底數是10、2和e

為什麼要以10為底數？
因為我們使用10進位，數量級和科學計數法也是10的倍數，例如阿伏伽德羅常數6.02×10^23所以10^x以10為底的對數 lg x最常用、最方便所以又稱常用對數。

10進位是數字表示法中最容易普及的，根源是我們有10個手指，人們初學數字時都喜歡藉助10個手指學習1、2、3……10。到了學加減運算時，更是喜歡藉助手指計算。不僅老師認為這樣教學直觀，學生也認為這樣練習方便。通過教育，這個強大的習慣，被最廣泛的傳播和固化下來。但如果是8個腕足的章魚發展出了文明，可能更喜歡8進位。

為什麼要以2為底數？
因為2倍或成倍式的增長，即2^x最簡單的指數式增長。我們經常說數量成倍、翻倍、翻番、翻兩番，都是2倍率的增長。
你可能也發現了，前面的存款例子實際上都是

雖然對數的底數2和10是人們使用體驗和認知體驗最好的對數，但是在數學中，這兩個數卻是不自然的，因為都是在方便人的需要。


為什麼e被稱為自然底數？
用e做底數的對數表達方式是 ln x

按照古希臘哲學家的自然思想，自然是指萬物的內在規律，就像自然數一樣，是事物本身的屬性，不以人的喜好而變化。

前面在講「利息中的e」時，曾拿π和e做過對比。

按照古希臘的自然思想來看：

而科學家們也發現，在做數學分析時，用e做底數的對數 ln x 做計算，其形式是最簡約的，用其他對數例如lg x 做計算，都會畫蛇添足的多一些麻煩。

ln x 就像美學上的「增之一分則太長，減之一分則太短」。

對數學家來說，最簡就是最美。這是一種純理性的美，通過感官是無法欣賞的，只有熟悉數學的人才能深刻的感受到。這種美令無數數學家為之痴迷，雖然不會像畢達哥拉斯那樣狂熱，但也終其一生孜孜以求。

結論

歷史上，"自然"是一種劃時代的思維方法，自然還有和諧、完美的內涵.

隨著利息、對數、指數的發明，人們發現了e的存在.

1元存1年，在年利率100%下，無窮次的利滾利就會達到e.

e和π一樣都是內在規律，反映了指數增長的自然屬性.

大自然中到處都有對數螺線.

其他底數都是發明出來方便人使用，只有e為底數是被發現的.

數學家發現以e為底數的對數是計算中最簡、最美、最自然的形式.

把e冠以自然底數、自然常數之名，把e為底數的對數稱為自然對數，是數學家們用自己的方式對e所進行的美學評價。

摘自知乎原創作者ID：張英鋒

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