e為什麼叫自然對數?

高中數學裡講過，以e為底的對數稱為「自然對數」（natural logarithm）。我當時學到這裡的時候曾經困惑過：這東西為什麼叫自然對數？它跟以2為底，以10為底的對數有什麼區別呢？ 憑什麼專門給它一個特殊稱謂呢？那時候比較貪玩，也沒有去深究原因，直到大學之後才了解到其中的原委。

實際上，這裡的「自然」並不是現代人所習慣的「大自然」，而是有點「天然存在，非人為」的意思，就像食品分為天然食品和加工食品一樣。

在數學中還有一個名詞帶有「natural」，那就是我們熟悉的「自然數」了。但自然數中的自然其實並不那麼「自然」。古希臘人認為，像1、2、3這樣的數，是事物本身就有的屬性，可以描述日常事物的數量和順序，無需多做解釋，就是小孩子也能快速理解，因此這些數被稱為「自然數」。

但這種樸素的自然觀限制了數的範圍，無法解釋零、負數、分數、小數、無理數等等。實際上這些數並不自然，是人類為了計算而發明出來的，不是自然界中天然就有的數。

但e就不同了，雖然這個數是用字母「e」來指代的，但它具體的數值可不是人類自己發明出來的，而是發現的。就像牛頓發現了萬有引力定律，而不是牛頓發明了萬有引力定律一樣。

為了能更容易理解e的「自然」性，下面我來講一個小故事：

從前有個財主，他特別貪婪，喜歡放高利貸。放出去的債年利率為100%，也就是說你借他1塊錢，一年後要還給他2塊錢。有一天，這個財主想了個壞主意，要一年算兩次利息。

上半年50%，下半年50%，這樣上半年就有1*50%=0.5元的利息了，下半年再按上半年的本利合，也就是1.5元錢的50%來計利息，就有1.5*0.5=0.75元的利息，加起來一年一共是：上半年本利合1.5+下半年利息0.75=2.25元錢。用數學公式描述，就是(1+50%)(1+50%)=(1+1/2)^2=2.25元錢。

貪婪是沒有窮盡的，過了一段時間他又想，如果按季度算利息，一年算4次，豈不是更賺？那就是(1+1/4)^4=2.44141，果然更多了！他很高興，於是又想，那乾脆每天都算吧，這樣一年下來就是(1+1/365)^365≈2.714567482。哇，這真舒服啊，平白無故就從2塊錢變成2.714567482塊錢了。

不是一家人不進一家門，財主的媳婦更加喪心病狂。有一天晚上跟他說：咱們每秒都算一次利息吧，那豈不是能有更多更多錢了。1年一共31536000秒，利滾利的話就是（1+1/31536000）^31536000≈2.7182817813元。結果第二天財主的管家把他拉住了，說要再算下去別人都會瘋掉的。不過財主還是不死心，算了很多年終於算出來了，當計算利息的間隔越來越小的時候，比如1毫秒、1微妙、1皮秒計算一次，直到趨近極限的情況，也就是當x趨於無窮大的時候，(1+1/x)^x的極限值——它就是自然對數e的數值。這個時候財主莫名其妙變成了數學家~

但得到這個結果之後財主很鬱悶，NND，費了半天勁也沒多掙幾個錢啊！沒錯！1塊錢貸款1年，在年利率100%下，無論再怎麼利滾利，其終值總有一個無法突破的天花板，這個天花板就是e，有興趣的同學可以用科學計算器算一下。

看到了吧，這就是為什麼e如此「自然」的原因之一。它不隨人類的操縱而變化，不多不少，不大不小，仿佛是宇宙開天闢地的時候就已經規定好了的。

為了進一步理解，我們和同為上帝之數的圓周率π來做個對比：

換一種表述方法：

每個完美的圓，其周長都是π的倍數；

每個最理想的存款or貸款，其餘額都是e的倍數。

按照自然的觀點，如果圓是最美的，那最賺錢也是最理想的。

好了，這裡先停一停，你好好體會一下。接下來更精彩~

微積分中的e

有人說：我不懂微積分，估計看不懂！

沒關係！你可以這樣理解，積分是升維的過程，微分是降維的過程。

例如：

把一張張紙疊起來變成厚厚的詞典，這是從2維變成3維的升維，這是積分；

把一大塊羊肉，切成一片片羊肉片，就是從3維為變2維的降維，這是微分。

在微積分中，底數為e的指數函數ex，其導數還是這個函數本身，也就是不論求多少次導數，其導數就像一個常量一樣永遠是恆定的（ex）'=ex。不知道別人的感覺如何，反正我第一次知道時是很驚奇的。

西瓜都切過吧？

無論你怎麼切一個實心球，其橫截面都是圓面，也就是從3維（球體）降到2維（圓面），還是和圓有關。

2維的圓面也是由無窮多個1維的同心圓（只算圓周）組成，也就是從2維降到1維，還是和圓有關。

如上所說，球被降維了兩次還是和圓有關，π這個常數你是甩不掉的。

ex也是這樣，而且比球體更厲害。無論如何降維，ex總是老樣子，一點兒都沒變。就好像你切掉孫悟空的一部分，你以為是一小片肉，睜眼一看，居然是另一個孫悟空，而且一樣大！

這種自相似或全息性太匪夷所思、太好玩兒了！

大劉！我好像知道怎麼化解《三體》裡歌者文明的降維攻擊了！

下面就是ex在直角坐標系中的樣子：

美妙的螺線

在上面的部分中，指數函數ex的美並沒有真正體現出來。

讓我們換一個視角看，你一定會大吃一驚。

我們知道二維坐標系除了直角坐標系外，還有一種常用的是極坐標系，如下圖：

當我們把指數函數ex換成極坐標，就變成了eθ，θ是點和原點的連線與極軸的夾角。

這時的指數函數就會變成下圖的樣子，這個螺線叫對數螺線，又叫等角螺旋線。之所以叫等角螺線，是因為在極坐標中，螺線和射線的夾角始終是一個固定夾角，如下圖所示，藍線每次穿過射線時，其夾角是固定的，也就是等角。

有人說：等等！我好想在哪裡見過這貨？ 

   

這就是人體曲線，啊不，是斐波那契螺線~

斐波那契數列就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……這樣的數列。

其特點是前兩個數加起來就是下一個數，例如

1+1=2

1+2=3

2+3=5

……

34+55=89

……

用這些數為半徑畫出來的半圓，可以拼接成下面的螺線形狀，這就是斐波那契螺線。

套用在美女圖片上就可以這樣玩，雖有過度解讀之嫌，但可以獲得極好的傳播效果。

很多科學家發現，對數螺線在自然界中是廣泛存在的。大到星系、颱風，小到花朵、海螺……宇宙中到處都是對數螺線的身影。

沒有辦法，就是這麼神奇~不得不說，數學工作就像破解大自然的密碼一樣，我們人類利用數學、物理這些思維工具竟然能破解大自然的各種奧秘，真的是很奇妙。

現在，你應該了解為什麼e被稱為「自然」對數了吧——因為e竟然以這種特殊的方式一直隱藏在自然之中啊！

能一直看到這裡，我表示十分感謝，那就再送給你一顆彩蛋吧：

為什麼自然界中存在這麼多的對數螺線呢？

因為對數螺線具有等角性，受環境影響，很多直線運動會轉變為等角螺線運動。

我們以飛蛾撲火為例。

億萬年來，夜晚活動的蛾子等昆蟲都是靠月光和星光來導航，因為光源天體距離很遠，這些光都可以看作是平行光，可以作為參照來做直線飛行。如下圖所示，注意，蛾子只要按照固定夾角飛行，就可以飛成直線，而按直線這樣飛是最節省能量的。

但自從該死的人類學會了使用火，這些人造光源比月光、星光距離蛾子近得多，也亮得多，所以光線呈中心放射線狀發散出去，可憐的蛾子就開始倒黴了。

蛾子們仍然以為按照與光線的固定夾角飛行就是直線運動，結果越飛越坑爹，飛成了等角螺線，最後直接飛到火裡去了。這種現象被人類稱為昆蟲的趨光性，而且還發明了一個成語叫「飛蛾撲火，自取滅亡」。

其實蛾子想說：

趨你妹的光啊，傻瓜才瞪著光飛，不知道會亮瞎眼啊？！！我們完全被人類誤導了，億萬年才演化出來的精妙直線導航方法，被人類的光汙染幹擾失效了

哈哈，多謝閱讀~