最講理的無理數e

e是一個數的代表符號，而我們要說的，便是e的故事。要想講清楚它，真的不容易，大家都記都高等數學裡的那個重要極限吧，就是

你知道它裡面蘊含著我們身邊哪些實用的規律嗎？

        e也是自然對數的底，什麼叫自然對數？下面我們就從自然講起。

一、自然與自然科學的誕生

我們知道，人類歷史上曾出現過很多輝煌的文明，例如大家熟知的四大文明：古巴比倫、古埃及、古印度河以及古代中國。
　　但是要說誰對現代文明的影響最大？對不起，四大文明誰都排不上！真正對現代文明影響最大的是古希臘文明，特別是古希臘的哲學、科學思想，是整個現代文明的源頭和基石。這裡並不是要貶低四大文明，現代文明也從各文明繼承了大量的文化遺產，只是相比古希臘要少很多。

其中最重要的原因是因為古希臘哲學家發明了科學的思維方法和「自然」（Natural）這個詞，在理論中用自然來取代具體的神靈，這是人類文明史上劃時代的發明。如果沒有這個發明，現代文明可能還會晚出現數千年，所以這是至關重要的進步。

人們在解釋世間萬物的運行時，總是要引入神靈等超自然、擬人化的因素。直到公元前624年，泰勒斯的出現，才第一次用自然取代神靈的位置。

泰勒斯被稱為「科學和哲學之祖」、「科學之父」、「哲學史上第一人」！其實泰勒斯是個多神論者，他認為神是存在的，是神讓萬物有了自己內在的規律。泰勒斯的最大貢獻，開創了一套認識世界的全新思維方法，他關注的是證據、規律、理性，而不是神。

儘管泰勒斯提出的理論現在看起來很粗糙。但這是一種可靠的、可進化的理論體系。後來的希臘哲學家不斷借鑑和發展泰勒斯的理論，建立了「自然」的概念，「自然」代表萬物因為本源而發生自然而然的變化。赫拉克利特還引入了邏各斯（英語：Logos）的觀點，用以說明萬物變化的規律性。邏各斯原來是指語言、演說、交談、故事、原則等，這裡的邏各斯則主要指一種尺度、大小、分寸，即數量上的比例關係。後來對數的發明人納皮爾就用Logos和arithmos（算法）創造了單詞Logarithm 來命名對數法，經過後人簡化變成了對數符號log。

古希臘的學者還給「自然」賦予美的含義，他們認為規律性就是一種和諧感，數學的比例是種超越肉體感官、只能靠心智才能領悟到的美。畢達哥拉斯就是其中最極端的代表，他對數學美的狂熱追求超過了偏執的程度，美像神一樣不可冒犯，畢達哥拉斯主義走向了科學的反面，成了宗教。

這種宗教的狂熱驅動他和信徒們不斷的去挖掘「自然」之美，並在數學之外的音樂、建築、雕刻、繪畫等領域發現了大量的比例關係，最有名的是畢達哥拉斯定理（中國叫勾股定理）。畢達哥拉斯認為所有圖形中，圓是最對稱的，所以圓是最完美的圖形。

古希臘時代是一個科學、哲學大爆炸的時代，原本黑暗的天空中突然爆發出無數的新星：赫拉克利特、畢達哥拉斯、德謨克利特、蘇格拉底、柏拉圖、亞里斯多德、阿基米德、歐幾裡得、希波克拉底等等，都因為得益於這套思維方法，發現了大量的自然規律，成為各學科領域裡開天闢地的先賢。

經過2500多年的不懈努力，終於在古希臘文明所鋪就的最穩固基石上，人類建立起了現代文明的宏偉大廈。

二、自然數中也有自然

古希臘認為像1、2、3這樣的數，是事物本身就有的屬性，可以用來描述日常事物的數量和順序，無需過多解釋，就是3歲小孩也能快速理解，所以這些數被稱為自然數（Natural number）。

但這種樸素的自然觀限制了數的範圍，無法解釋0，負數、分數、小數等數。古希臘人認為這些數並不自然，是人為了計算而發明出來的，不是自然的數。

畢達哥拉斯就非常厭惡無理數，無理數的不規律破壞了和諧美。他的門生希帕索斯Hippasus就是因為發現了√2並公布出去，居然被畢達哥拉斯以瀆神的罪名被淹死了，這被稱為數學史上的第一次數學危機。後人認為畢達哥拉斯也發現了黃金分割率，但因為也是無理數，所以一直秘而不宣。

現代我們知道，沒有受過基礎數學教育的人要想理解這些數，不僅需要了解更複雜的概念模型，還要熟悉加、減、乘、除等運算方法，只有這樣才能完全明白。而更複雜的數，例如無理數、代數數和超越數，也需要了解更複雜的運算。

三、從e的定義中我看到了錢

首先給出e的計算公式

這個公式表達了什麼？

假設你在銀行存了1元錢（下圖藍圓），很不幸同時又發生了嚴重的通貨膨脹，銀行存款利率達到了逆天的100%！

銀行一般1年才付一次利息，根據下圖，滿1年後銀行付給你1元利息（綠圓），存款餘額=2元

此時用公式表示你的錢為

銀行發善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(紅圓)，1年存款餘額=2.25元.

此時用公式表示你的錢為

假設銀行超級實在，每4個月就付利息，利息生利息(下圖紅圓、紫圓)，年底的餘額≈2.37元

此時用公式表示你的錢為

假設銀行人品爆發，一年365天，願意天天付利息，這樣利滾利的餘額≈2.71456748202元.

此時用公式表示你的錢為

假設銀行喪心病狂的每秒付利息，你也喪心病狂的每秒都再存入，1年共31536000秒，利滾利的餘額≈2.7182817813元,這個數越來越接近於e了！

此時用公式表示你的錢為

對！1元存1年，在年利率100%下，無論怎麼利滾利，其餘額總有一個無

法突破的天花板，這個天花板就是什麼？

聯想到

所以這個天花板就是數e.

年利率為1（100%）的1元存款，利滾利的次數n趨於無窮，存款就無限接近e，即e是存款的最大值。

如果將年利率改為0.05,則有

如果將年利率改為2,則有

怎麼樣，看到這裡你還會認為重要極限沒有什麼實際用處嗎？

所以e是當增長率固定時單位時間內無限細分的增長的極限！

四、有一種增長叫自然增長

好！我們繼續談增長。

上例說明了當增長率不變時單位時間內增長的極限，如果增長率不變，那麼n個單位時間後增長了多少？

設利率仍為1,顯然第二年為2,第二年為4,於是n年後你的存款為2^n元，你知道這個規律意味著什麼嗎？

給你講個故事：

阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什麼獎賞？阿基米德對國王說：「我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六粒…按這個方法放滿整個棋盤就行．」國王以為要不了多少糧食，就隨口答應了，實際上若每人每天吃500g大米，則第64格的大米可供13億人吃971904年！

這就是指數式增長的威力！指數式增長就是自然增長，是大自然最基本的規律！

為什麼說指數式增長是最自然的一種增長方式？

我們存錢時有利息，第二年後把利息存進去利息再生利息，這叫複利；單細胞生物分裂後的新細胞再一段時間後也會分裂；這些都是復增長，也就是說增長的量與上一個周期新生成的增量有關，這就是指數式增長！

好，同樣是指數式增長，2^n與e^n之間有什麼關係？

根據前面所講，當1年內利率不變時，將1年分割成無數多個小時間單位存取，最後的極限存款為e,所以按照同樣的操作將n年也這樣劃分，n年後將得到的極限存款為e^n元!

推廣到更一般的情況：

增長率為變是什麼意思？前面討論的是離散的情況，下面討論連續的情況：

設在時刻的初始量為f(0),t時刻的量為f(t),自然增長就是增長率與保有量成正比，即

由此推出其中一個解為f(t)=e^(kt),當k=1時，f(t)=e^t,這就是e所代表的自然增長規律中無限內分的一個極限值。

五、利息的逆運算

還是從一個虛構的故事開始：

有一土豪要去銀行存入大額存款，比如存1元。

銀行經理推薦他投資理財產品，因為年利率高達100%，按照指數運算，bla bla bla……

但土豪的數學只有小學水平，聽不懂有點煩，就問投資多長時間才能到10倍，100倍，1000倍？

經理有點懵，土豪不按常理出牌啊！

一般人都是根據存款時間問收益，例如收益第1年多少、第2年多少、第3年多少……

土豪居然逆向思維，根據收益問時間，多少年2倍，多少年5倍，多少年10倍！

不愧是老闆，不問過程，只問結果！

於是經理就從第1年開始算，把10年內每年的收益都算出來，列成一個收益列表，如下圖：

然後再找出收益最接近10倍，100倍，1000倍的年份指給土豪

土豪一看第4年、第7年、第10年就肯定超過預期收益，非常高興！

經理用這張表查找收益，再找到最接近收益的大體年份的過程，就是利息的逆運算，是最簡單的對數運算，這個表就是對數表的雛形。

其實這和我們根據加法表進行減法運算、根據乘法表進行除法運算是同一個道理。

例如知道了3x7=21，就可以很快知道21/3的除法逆運算結果了。

好了，放鬆一下大腦，繼續回來穿越歷史。

六、對數發明的歷史

據說4000多年前，古巴比倫時代的人們就發明對數和對數表了，但因為我沒找到資料證實，只能從近代開始。

16、17世紀，英、法加入了大航海的行列，開始了美洲殖民地的開拓，遠洋貿易變得日益頻繁。那時的人們已經知道地球是球形，大海上船隻的位置靠經緯度來確定。

緯度測定很容易，幾千年前人們就知道，通過測量北極星的仰角，可以估算出船已經在南北方向航行了多遠。但是經度的測量不是一般的困難。在茫茫的大洋上，如果無法準確測定船隻的經度，代價會極為高昂。

1707年，四艘英國戰艦擊敗法國地中海艦隊回航，10多天的濃霧讓艦隊完全迷失，因為算錯經度，艦隊觸礁，兩千名士兵死亡。1714年英國懸賞2萬英鎊（相當於現代的2000多萬人民幣），尋求精確測得經度的方法。

對於商人來說，與市場上的同類對手競爭，誰的航海定位越準確，意味著風險越低、利潤越高。

對海軍也是，同樣的戰艦，定位越準確，航行的時間越短，在戰爭中速度往往是決勝的關鍵。

經度的精確測量問題直到18世紀才得到有效解決，這歸功於約翰·哈裡森發明了高精度機械鐘錶。這段歷史還被拍成了電影和記錄片，推薦一本精彩的書《經度：一個孤獨的天才解決他所處時代最大難題的真實故事》和羅輯思維的節目《擊潰牛頓的鐘表匠》。

但是在哈裡森之前的數百年裡，人們只能求助於天文學家來解決，因為天空就是人們最早、最精確的鐘表，太陽、月亮、星星等天體就是上面的錶針，讀懂這個鐘錶，就可以知道時間和經度了。

天文學家觀測天體，計算出運行的軌道，來預測未來幾年每個時間點上天體所在的精確位置，英國天文學家以格林尼治天文臺的時間為基準，再把時間和天體位置整理成詳細的表格，公開出版發行。這套星表可不便宜，星表加上六分儀售價約20英鎊，相當於現在2萬人民幣，即便這樣也經常脫銷。海上的人用六分儀測量天體，再去查那本高價天文表格，求得當地時間和格林尼治時間，知道兩地的時間差，就知道現在的經度了。

16世紀和17世紀之交，天文學家第谷和克卜勒通過大量的觀測，繪製了當時最精確的星圖，解決了天文學家天文數據精度不足的難題。有了高精度的星圖，全歐洲的數學家開始了天體軌道的計算競賽，很多科學家也因此獲得了商業和學術上的豐厚回報。那時的天文學家、數學家可不是像現代這麼冷門，更像當今那些IT、金融等熱門行業裡的精英一樣，享受著人人羨慕的不菲高薪。

順便說一下，日心說之所以能取代地心說，也是因為日心說模型更簡潔，不僅計算起來更簡單，而且預測非常準確，可以很好的解釋行星逆行等現象，這是地心說完全做不到的。

即使這樣，要想預測天體的運行，其計算也是極其繁瑣和浩瀚的，在解決計算問題時，數學家們發明了大量嶄新的數學理論和計算工具，包括對數、解析幾何、微積分和牛頓力學等偉大的創新。可以說天文學是當時科學界最閃亮的寶石，是當時的高科技熱門產業。

其中，對數的發明人就是約翰·納皮爾

 

納皮爾是天文學家、數學家，在計算軌道數據時，也被浩瀚的計算量所折磨。

「看起來在數學實踐中，最麻煩的莫過於大數字的乘法、除法、開平方和開立方，計算起來特別費事又傷腦筋，於是我開始構思有什麼巧妙好用的方法可以解決這些問題。」--約翰·納皮爾，《奇妙的對數表的描述》（1614）

但納皮爾不是一般人，不想像IT民工一樣苦逼的重複勞動，於是用了20年的時間，進行了數百萬次的計算，發明了對數和對數表，堪稱學霸中的戰鬥機。

為了理解對數計算的優勢，我們通過案例來說明，下面的表格裡有兩個數列：

第1行是自然數，他們是等差的；第2行是2的倍數，他們是等比的；

要計算第2行的等比數列中任意兩個數的乘積，例如16x64；先到第1行的等差數列，尋找對應的數，16對應4，64對應6；然後做加法，4+6=10，再查找10所對應等比數列的1024；得到計算結果就是16x64=1024

藉助這個表，僅靠心算就可以用4+6=10的加法，完成麻煩的16×64乘法。
同樣也可以進行除法變減法的運算，把1024/128，變為10-7=3，對應結果為8。
把這個表變的更長，就可以計算數值更大的乘法，這個表就是極度簡化的對數表。

以上僅僅是對數的優點之一，對數的易於計算，大大減少了數學家、天文學家的計算量。

拉普拉斯認為「對數的發現，以其節省勞力而延長了天文學家的壽命.」

伽利略說過「給我空間、時間及對數，我就可以創造一個宇宙。」

如果把對數表的數列設計成尺子，就成了計算尺

把直尺掰彎了就成了柱狀算尺，像不像風水大師的道具？

七、美妙的螺線

在上面的部分中，指數函數e^x的美並沒有真正的體現出來。讓我們換一個視角看，你一定會大吃一驚。

我們知道二維坐標系除了直角坐標系外，還有一種常用的是極坐標系，如下圖

極坐標，e^θ，θ是點與極軸的夾角。這時的指數函數就會變成下圖的樣子，這個螺線叫對數螺線（Logarithmic spiral），又叫等角螺線。

之所以叫等角螺線，是因為在極坐標中，螺線和射線的夾角始終是一個固定夾角，如下圖所示，藍線每次穿過射線時，其夾角是固定的，也就是等角，我們在後面會用到這個等角特性。

斐波那契螺線

斐波那契數列就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……這樣的數列。
其特點是前兩個數加起來就是下一個數，例如
1+1=2
1+2=3
2+3=5
……
34+55=89
……

用這些數畫出來的半圓，可以拼接成下面的螺線形狀，這就是斐波那契螺線

這個數列還和黃金比例有關，例如55/34≈1.6176，接近黃金分割比例1.618，數列的數字越到後面，結果就越趨近於黃金分割這個無理數.

不過斐波那契螺線僅僅是對一種叫黃金螺線的近似，黃金螺線是一種內涵黃金分割比例的對數螺線，下圖紅色的才是黃金曲線，綠色的是「假黃金螺線」（斐波那契螺線），近似卻不重合。

很多科學家發現對數螺線在自然界中廣泛存在。從大如星系、颱風，到小如花朵、海螺……宇宙中到處都是對數螺線的身影

原來e以這種特殊的方式隱藏在自然之中。

為什麼自然界中存在這麼多的對數螺線呢？

因為對數螺線具有等角性，受環境影響，很多直線運動會轉變為等角螺線運動。

我們以飛蛾撲火為例

億萬年來，夜晚活動的蛾子等昆蟲都是靠月光和星光來導航，因為天體距離很遠，這些光都是平行光，可以作為參照來做直線飛行。如下圖所示，注意蛾子只要按照固定夾角飛行，就可以飛成直線，這樣飛才最節省能量。

但自從人類學會了使用火，這些人造光源因為很近，光線成中心放射線狀，可憐的蛾子就開始倒黴了。

 

蛾子還以為按照與光線的固定夾角飛行就是直線運動，結果越飛越坑爹，飛成了等角螺線，最後飛到火裡去了，這種現象還被人類稱為昆蟲的正趨光性。

結論

歷史上，'自然'是一種劃時代的思維方法，自然還有和諧、完美的內涵,隨著利息、對數、指數的發明，人們發現了e的存在; 1元存1年，在年利率100%下，無窮次的利滾利就會達到e,大自然中存在著大量的自然增長，其增長規律可用y』=ky來表示，大自然中到處都有對數螺線的身影,數學家發現以e為底數的對數是計算中最簡、最美、最自然的形式,把e冠以自然底數、自然常數之名，把e為底數的對數稱為自然對數，是數學家們用自己的方式對e所進行的美學評價。