通俗證明e是無理數

2021-01-10 新常新科技

#數學科學#自然常數e的定義式即數列{ (1+1/n)^n}通項公式的極限值lim(n→∞) (1+1/n)^n，也可用初等數學方法通俗證明。

根據二項式定理可知：(1+1/n)^n=C(n，0)+C(n，1)x1/n+C(n，2)x1/n^2+…+C(n，n)x1/n^n=1+n/(1！xn)+n(n-1)/(2！xn^2)+…+n(n-1)x…x(n-ⅰ+1)/(ⅰ！xn^ⅰ)+…+n！/(n！xn^n)

即除開首項，後面各項滿足通項公式aⅰ=n(n-1)x(n-2)x…x(n-ⅰ+1)/(ⅰ！xn^ⅰ)，ⅰ∈N+，且ⅰ∈[1，n]，所以有：

1/i！x[(n-ⅰ+1)/n]^i≤ai≤n^ⅰ/(ⅰ！xn^ⅰ)

即1/i！x[1-(ⅰ-1)/n]^i≤ai≤1/ⅰ！

當n→∞時，1/i！≤lim(n→∞)ai≤1/ⅰ！

所以，lim(n→∞)ai=1/ⅰ！

因此，e=lim(n→∞) (1+1/n)^n=1+1/1！+1/2！+1/3！+…>0

假設e不是無理數，即為有理數，由於e﹥0，可設e=a/b，a、b∈N+。任取一個正整數m，可得出恆等式m！be≡m！a

即bxm！(1+1/1！+1/2！+1/3！+…)≡m！a

可改寫成bxm！(1+1/1！+1/2！+…+1/m！)+bxm！[1/(m+1)！+1/(m+2)！+1/(m+3)！+…]≡bxm！(1+1/1！+1/2！+…+1/m！)+b{1/(m+1)+1/[(m+2)(m+1)]+1/[(m+3)(m+2)(m十1)]+…}≡m！a

顯然，bxm！(1+1/1！+1/2！+…+1/m！)是正整數，m！a也是正整數，而b{1/(m+1)+1/[(m+2)(m+1)]+1/[(m+3)(m+2)(m十1)]+…}<b[1/(m+1)+1/(m+1)^2+1/(m十1)^3+…]=b/m，又由於m是任意取的一個正整數，所以，當m≥b時，有0<b{1/(m+1)+1/[(m+2)(m+1)]+1/[(m+3)(m+2)(m十1)]+…}<b/m≤1，即式子b{1/(m+1)+1/[(m+2)(m+1)]+1/[(m+3)(m+2)(m十1)]+…}不是正整數，卻是一個真分數，與恆等式bxm！(1+1/1！+1/2！+…+1/m！)+b{1/(m+1)+1/[(m+2)(m+1)]+1/[(m+3)(m+2)(m十1)]+…}≡m！a矛盾，即與恆等式m！be≡m！a矛盾。

綜上證明，自然常數e只能是無理數。

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