證明e是超越數的前奏:e在一元三次方程中的情形

2021-01-11 電子通信和數學

早期的文章僅用e的無窮級數形式，證明了e是無理數，既簡單又直觀，但對於證明e是超越數是非常的複雜和困難的，首次證明e的超越性是由法國大數學家埃爾米特，這位數學家卻因大學數學考試從不及格，卻又在大學時期就提出滲透數學各個領域的定理，矩陣，公式而聞名於世。

既然是證明它的超越性，超越數顯著的特點就是它不是任意整係數代數方程的根，我們看帶入一元二次方程（早期的文章有更詳細的闡述和證明）

化簡，最終得到整數+小數=整數的結論，這是不可能的，所以e不是任意任意整係數一元二次方程的根（INTEGER--整數。SAMLL--很小的數）

因為可證明左邊灰色括號內的很小的數：大於0小於1

我們帶入整係數的三次方程看看

同理將e的一次，二次，三次方化成分數的形式的，帶入一元三次方程

化簡最終得到

化簡後的結論：黑色方框是整數，灰色方框是很小的數，但難以證明這個很小的數大於0小於1，如果黑的框內的整數部分等於0，灰色框內也等於0.如下等式就是成立的，這樣e就不是超越數了

為了證明這個難點：必須運用歐拉發明的伽瑪函數積分，來構造一個整係數的多項式P(X)，這在前期文章《數學高難度系列：證明伽瑪函數積分的一些重要推論》《伽瑪函數積分與自然常數e的無窮級數之間的重要關係》一文中詳細的說明了這一點

最終構造的這個多項式，既可以得到式子中很小那部分的數，也可以得到e所表示的分數中的整數部分A,B,C,D,只要能構造出這個多項式，也就得出了整數+小數=0的推論相矛盾的一面。如下圖是e^3下的P(X)多項式

要理解請詳細參閱證明超越性的基礎性文章《數學高難度系列：證明伽瑪函數積分的一些重要推論》《伽瑪函數積分與自然常數e的無窮級數之間的重要關係》。這才是證明e的超越性的第一步。

相關焦點

  • 證明e是超越數:e與一元三次方程的根的關係
    為了證明e不是超越數，上一篇文章《證明e是超越數：e不是任何整數系一元二次方程的解》討論得出：e不是非平凡整數系（係數均不等於0的整數）一元二次方程式的解，那e是否是一元三次方程的解呢？我們知道一元三次方程遠比一元二次要複雜的多，所以我們就從基本的知識入手看能得到什麼樣的結果。
  • 證明e是超越數:e不是任何整數系一元二次方程的解
    前面已經了解了e是無理數，但同時e又是超越數，那什麼是超越數呢？超越數是不能滿足任何整係數代數方程的實數（不是任何整數系方程的根），對於證明超越數是相當複雜，所以本期將分成4個部分來來證明：《e不是任何整數系一元二次方程的解》《e與一元三次方程的解的關係》但為了證明e不是任何整數系一元三次方程的解，有必須了解《e與伽馬函數的關係》最終得出《e不是任何整數系一元三次方程的解》，最終得到e不是任何整係數代數方程的解
  • e是超越數的一個證明
    所有實數分為代數數和超越數，代數數是指次數為某一有理係數多項式的根，反之超越數指它不是任意有理係數多項式的根。e和π的超越性一直困擾著數學家，直到1873年厄爾米特才首次證明了e的超越性，而到1882年德國數學家林德曼用了和厄爾米特差不多的方法證明了π的超越性。
  • 你們要的證明來了——證明歐拉數e是無理數
    這個常數最初由字母b表示，在1690年和1691年，德國博學者戈特弗裡德·萊布尼茨和荷蘭物理學家、數學家克裡斯蒂安·惠更斯的書信往來中首次使用。然而，是數學家萊昂哈德·歐拉在1731年給德國數學家克裡斯蒂安·哥德巴赫的一封信中引入了符號e。e首次出現在出版物中是在歐拉1736年的《力學》一書中。
  • 神奇的常數e——其超越性的證明
    圖1：方程y = 1/x的曲線圖。歐拉數e是使陰影區域面積等於1的唯一數字。超越數實數可以是代數的也可以是超越的。根據定義，階數為n的代數滿足具有整數係數的多項式方程，例如：式：:帶積分係數的多項式方程。它由代數數來滿足。代數數的次數為n的事實意味著x的係數不為零。超越數是不滿足如式3這樣的方程的實數。
  • 談談:自然常數e與伽馬函數之間的美妙關係
    上篇文章談到《e與一元三次方程的根的關係》，為了證明e不是一元三次方程的根，必須了伽馬函數的本質原理，才能解答。本篇重點介紹自然常數e與伽馬函數之間的關係。總的來說，這個等式說的是n！等於函數x^n*e^(-x)與X軸圍城的面積，從x=0一直到無窮（這個等式根據前幾篇證明e是超越數和無理數的相關文章很容易得到，在此不做證明）例如n=2時函數圖形，橙色的面積等於2！n=4時函數圖形，橙色的面積等於4！
  • e自然對數的底,我們對它知道多少
    e自然對數的底，我們對它知道多少在數學史上，最為特別的數字有這麼幾個，0，1，e，π，其中π在前面文章中已經聊了一下，其神奇之處令人驚奇，而人類發現它並不難，難的是去理解它，挖掘它的秘密和規律。這裡n是無限大，也造就了e無窮無盡的性質。1873年法國數學家埃爾米特證明e是超越數。針對超越數，小編把它相關的概念說一下：超越數：不能作為有理代數方程的根的無理數。有理數方程的根：就是下面這個方程的解，其中數列an為有理數。
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    自然對數e是由偉大數學家歐拉的名字命名的，它被稱為自然常數。它可以由下面2種形式表示。極限形式：以及冪級數形式：1744年，數學家歐拉就證明了e是無理數。又過了1百多年，法國數學家厄爾米特在1873年最終證明了e是超越數（即它不是任何有理係數多項式的根）。關於e是超越數的證明我們另外再講，這裡我分享一個在《數學的100個基本問題》中提到的非常初等的證明。首先考慮下面不等式：可知2<e<3，說明e不是一個整數，現在採取反證法。設e=p/q，其中p，q均為整數。
  • 「數的分類科普」實數集的一個特殊子集:超越數集
    2，自然對數底數e = 2.71828182 ...論超越數的知名度，除π外就是自然對數底數e了，教改以後e出現在了高中數學中，而在高等數學中更是隨處可見，可以這麼說，無e難以談高數！(它尚未被證明為超越數,但科學家普遍相信它是超越數)4，卡塔蘭常數G=sum(-1)^k/(2k + 1)^2=1-1/9+1/25-1/49+...=0.915965594…介紹了前面三個臉熟的超越數外，第四個就比較冷門了，反正本科數學專業四年沒見到過。
  • 一元三次方程的解/解一元四次方程
    解一元三次方程
  • 一元三次方程的解法的歷史
    人類很早就掌握了一元二次方程的解法，但是對一元三次方程的研究，則是進展緩慢。古代中國、希臘和印度等地的數學家，都曾努力研究過一元三次方程，但是他們所發明的幾種解法，都僅僅能夠解決特殊形式的三次方程，對一般形式的三次方程就不適用了。　　在十六世紀的歐洲，隨著數學的發展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多數學文獻上，把三次方程的求根公式稱為「卡爾丹諾公式」，這顯然是為了紀念世界上第一位發表一元三次方程求根公式的義大利數學家卡爾丹諾。
  • 一元三次方程的故事
    然而對一元三次方程的求解卻使眾多的數學家們陷入了困境，許多人的努力都以失敗而告終。1494年，義大利數學家帕西奧利（Luca Pacioli ，1445–1517）對三次方程進行過艱辛的探索後作出極其悲觀的結論。他認為在當時的數學中，求解三次方程，猶如化圓為方問題一樣，是根本不可能的。這種對以前失敗的悲嘆聲，卻成為16世紀義大利數學家迎接挑戰的號角。
  • π和e
    即上面進行比較的兩個數中位於左端的那個數，就是函數y在x=e處的值。那麼， 下面我們要做什麼呢？如果能夠確定x=e是極大值點或極小值點，那麼便可以由π位於e附近(π>e)，判斷出「e的e分之1次冪」與「π的π分之1次冪」的大小。為了確定在x=e時，f(x)取極大值還是極小值，需要求f(x)的二階導數。
  • 著名的三次方程求根公式
    歷史上有個文藝復興時期，一元三次方程解法就在那時候誕生的，當時學術界喜歡浪漫，掌握真正解法後並不發表而是互相競賽，比試下誰求解更厲害。義大利一位數學家塔塔利亞，在一次挑戰中完勝，其內容就是關於三次方程求解的問題，從此名聲大噪，他將成為歷史上掌握三次方程求根方法第一人，但當時卻沒發表他的解法，而是繼續挑戰，來證明自己的實力。
  • 判斷h(x)=e^x-sinx-1在區間(-π,0)上零點的個數?好的方法不嫌多
    這道題中給出了兩大問，第一問中包含著兩個問題，相當於三問，這三個問題看起來都很難，實際上它們都存在著一般的解題步驟和知識點，如果你知識了這些步驟和知識點，這三道問題也就迎刃而解了。如果不等號是大於等於號，只需要證明不等號的左邊的方程的最小值大於不等號右邊方程的最大值，此時不等式一定恆成立；如果不等號是小於等於號時，只需要證明不等號的左邊的方程的最大值小於不等號右邊的方程的最小值，此時不等式一定恆成立。
  • 一元N次方程根的分布情況
    對於一元二次方程大家耳熟能詳，那對於複雜的一元N次方程（或一元高次方程），它的根的結構以及分布又是怎麼樣的，一元N次方程根的結構存在三種類型：實數根，虛數根，實數和虛數的結合。本文將分析這三種類型情況下根的個數以及它們的分布情況。對於z的整函數Z，求出Z=0的所有的根，就等於求出了整函數Z的所有線性因式。
  • 自然常數 e 的故事
    伯努利知道會是一個 2~ 3 之間的數, 但最終的結果很可惜他並沒有計算出來. 這個問題還是由 50 年後的歐拉搞定.解開 e 的神秘面紗歐拉大神藉助下面的公式計算出來小數點後 18 位.也就是下面的展開形式進行了計算:並且歐拉藉助連分式的形式證明了 E 是一個無理數, 觀察這個連分數的形式注意連分式中 2,1,2 之後出現的很規律出現的1,1,4,1,1,6,1,1,8,....
  • 通俗證明e是無理數
    #數學科學#自然常數e的定義式即數列{ (1+1/n)^n}通項公式的極限值lim(n→∞) (1+1/n)^n，也可用初等數學方法通俗證明。因此，e=lim(n→∞) (1+1/n)^n=1+1/1！+1/2！+1/3！+…>0假設e不是無理數，即為有理數，由於e﹥0，可設e=a/b，a、b∈N+。任取一個正整數m，可得出恆等式m！be≡m！a即bxm！(1+1/1！+1/2！+1/3！+…)≡m！a可改寫成bxm！(1+1/1！+1/2！+…+1/m！)+bxm！
  • 數學中的自然常數e有什麼來頭?
    但數學中還有一個同樣重要的常數，那就是自然常數e，儘管沒有圓周率那麼為人所熟知。這個常數經常出現在數學和物理學之中，但它從哪裡來？它究竟是什麼意思？在18世紀初，數學大師萊昂哈德·歐拉（Leonard Euler）發現了這個自然常數e（又稱歐拉數）。當時，歐拉試圖解決由另一位數學家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在半個世紀前提出的問題。
  • 你不知道的一元二次,三次,四次,N次方程中隱藏的數學奧秘
    你在解整數系方程時，有沒有發現一個有趣的現象，當高次項係數為1時，如果這個整數系方程的根是整數，那麼它必定是該方程常數項的倍數，否則這個方程的根就是無理數以下一元三次方程為例：3次方的係數是1，常數項是6該方程的根如果是整數，那這個根肯定就是6的倍數，否則就是無理數