e是無理數的一個初等證明

自然對數e是由偉大數學家歐拉的名字命名的，它被稱為自然常數。它可以由下面2種形式表示。

極限形式：

以及冪級數形式：

1744年，數學家歐拉就證明了e是無理數。又過了1百多年，法國數學家厄爾米特在1873年最終證明了e是超越數（即它不是任何有理係數多項式的根）。關於e是超越數的證明我們另外再講，這裡我分享一個在《數學的100個基本問題》中提到的非常初等的證明。

首先考慮下面不等式：

可知2<e<3，說明e不是一個整數，現在採取反證法。設e=p/q，其中p，q均為整數。因為e不是整數，q≥2.考慮到上面提到的e的冪級數展開式，兩邊同乘以q！，得到：

注意到等式的右邊顯然為整數，等式的左邊第一項，也是整數。考慮第二項，因為q≥2，可得q+1≥3，因此

上面不等式的右邊正是一個無窮等比數列，其和為1/2，因此第二項是一個小數，這就得出矛盾，因此e是一個無理數。