√2在數學史上佔著重要的位置，他是人們從有理數到無理數的認識的轉折點。當時人們發現直角邊長為1的等腰直角三角形的斜邊是不能精確測量的，也就是說不能用有理數來表示， 這樣就引發了數學史上的第一次危機。因為古希臘曾有「萬物皆數」的思想，這種認為「大自然的一切皆為整數之比」的思想統治了古希臘數學相當長的一段時間，許多幾何命題都是根據這一點來證明的。當時的很多數學證明都隱性地承認了「所有數都可以表示為整數之比」，「萬物皆數」的思想是古希臘數學發展的奠基。據說，第一個發現這個現象的人叫做希帕索斯，但是他這個發現觸犯的畢達哥拉斯學派的權威， 最後被淹死在大海之中。不過誰也無法阻止歷史前進的步伐，無理數最終還是被人們接受，成為數裡面不可或缺的一員。下面給出√2是無理數的幾種證明。
方法1. 反證法: 假設√2=p/q, 這裡p,q 都是正整數，且他們之間不存在約數。等式兩邊平方可以得到2q*q = p*p。通過分析這個等式，可以知道等式兩邊都是偶數。因為偶數的平方是偶數，奇數的平方是奇數， 所以p肯定是偶數。若q也是偶數，則p, q有一個共因子2，與假設矛盾。若q是奇數， q*q也是奇數，則等式左邊不能被4整除， 等式右邊能夠被4整除，矛盾。所以， √2不能是有理數， 只能是無理數。
方法2. 利用因式分解的唯一性。若2q*q = p*p成立，可以看出等式右邊的因式分解，所有的因式的個數都是偶數倍，而等式左邊的因式分解的個數存在奇數倍的情況，矛盾。所以， √2不能是有理數， 只能是無理數。
方法3. (輾轉相除法)圖中的BC和BD之間進行輾轉相除為什麼永遠不能停止。把BD減去BC，剩下一段DE。以DE為邊做一個新的小正方形DEFG，那麼顯然DE=EF=FC（∵△EDF為等腰直角且△BEF≌△BCF）。接下來我們應該在BC和DE間輾轉相除。BC就等於CD，CD減去一個DE相當於減去一個FC，就只剩下一段DF了。現在輪到DE和DF之間輾轉相除，而它們是一個新的正方形的邊和對角線，其比例正好與最初的BC和BD相當。於是，這個操作再次回到原問題，並且無限遞歸下去。最後的結論用我們的話說就是，不存在一個數x使得BC和BD的長度都是x的整倍數。於是，BD/BC不能表示為兩個整數之比p/q（否則BD/p=BC/q，這就成為了那個x）。這樣就證明了BD（可以是√2或者其他等腰直角三角形的斜邊長）只能是無理數了。
這裡只是拋轉引玉，給出了√2是無理數的三種證明方法，這些方法都是教科書上常見的證明方法，大家可以通過分析思考更多的新穎的證明方法。如考慮平方數的尾數等等。