怎麼證明根號2是無理數,我們來推導和計算,還有逼格極高的算法

2021-01-16 楊建榮的學習筆記

這是學習筆記的第 2161 篇文章

  記得上學的時候忙著考試，把心頭的一些為什麼都壓在了腦後。

  面對未知，我們大多數人都選擇了默認接受，其實你不懂根號2，

比如：根號2（√2）為什麼是無理數，我們有什麼辦法去計算它。

當我冒出這個想法的時候，其實大部分人的反映都一樣1+1開根號就是啊，至於為什麼，就是規定唄，當然把根號作為一種符號確實如此，但是離結果還差了很遠。


這個問題追根溯源，會發現遠比我們想像的要複雜，得追溯到古希臘時期。 


畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年至公元前500年間）是古希臘的大數學家，他提出「萬物皆為數」的觀點。公元前500年，畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯（Hippasus）突然發現好像有些情況解釋不了，比如一個正方形的對角線與其一邊的長度，這明顯與畢氏學派的「萬物皆為數」（指有理數）的哲理大相逕庭，使得學派領導人很惶恐，最後被畢氏門徒殘忍地投入了水中殺害。


要去計算根號2的值，我們可以拆分為兩個問題。

1）怎麼證明根號2是無理數

2）根號2的無理數值是怎麼計算出來的？


我們來從求知的角度來證明下根號2（√2）為什麼是無理數？


方法1：尾數證明法：

假設根號2是一個有理數，那麼根號2就可以使用a/b的形式來標識，其中(a,b)=1,(表示a 與 b 最大的公因數是1）,a和b都是正整數，明確了這些條件，我們就開始證明了。

 

第1步：√2=a/b 那麼可以得到a*a=2*b*b

第2步：從數的平方我們可以很快得到，b*b的尾數範圍是 (0,1,4,5,6,9)中的一個數，不可能是2,3,7,8，這個道理不難理解；

第3步：2*b*b的尾數範圍是（0,2,8）中的一個數，

第4步：因為a*a=2*b*b,那麼a*a的尾數範圍可以排除2和8，只有0

第5步：因為2*b*b得到的值肯定是一個偶數，那麼b*b的尾數範圍是(0,5)

第6步：按照目前的尾數可選項，a和b存在公因數5，和(a,b)=1是相矛盾的。


所以根號2是一個無理數。


方法2：奇偶分析法

假設√2=a/b 那麼可以得到a*a=2*b*b,(a,b)=1,(表示a 與 b 最大的公因數是1,a和b都是正整數

1）根據2*b*b可以推得a是一個偶數，我們可以設置a=2c

2）4*c*c=2*b*b得到 b*b=2*c*c，可以得到b也是偶數

3）a,b都是偶數，這和(a,b)=1相矛盾


所以根號2是一個無理數，可以說明的是希帕索斯就是用這種方法證明的。


還有很多種方法補充，差不多有8種左右，我就不一一羅列了。



如何計算根號2的值呢，查找了不少資料，我覺得這幾種方法還是能消化的。 

方法1：


（√2+1）（√2-1）=1，這是我們參考的一個基準，可以按照這種方式不斷的展開。 

√2-1=1/（√2+1）

√2 = 1+ 1/（√2+1）,繼續帶入根號2的對等公式

√2 = 1+ 1/（1+ 1/（√2+1）+1）=1+ 1/（2+ 1/（√2+1））


繼續推導：

√2=1+ 1/（2+ 1/（√2+1））=1+ 1/（2+ 1/（1+ 1/（√2+1）+1））=1+ 1/（2+ 1/（2+ 1/（√2+1）））

這種方式叫做連分數法，我們可以通過這種不斷的迭代可以得到更加精確的值。 


方法2：

我們可以很容易得到根號2的範圍，明顯是大於1的，所以我們可以按照y=x+1的函數來表示，即

√2 = y=1+x

對上式做平方，得到

2=（1+x）(1+x),得到

2=1+x*x+2*x+1,進一步得到，

x*x+2*x=1,推得，x*(x+2)=1,得到

x=1/（x+2）,所以

1/x=2+x=2+1/(2*x)=2+1/(2*1/（x+2）)

    =2+1/(2*1/（1/（x+2）+2）)



按照這種方式可以不斷的推導，得到更加精確的值。

計算機如何計算根號2

當然還有很多高大上的方法來進一步輔助，比如牛頓迭代法，二分法等

那麼如何在計算機中來計算得到根號2呢， 這裡要介紹一個傳奇算法：算法名字就是：0x5f375a86，看起來像是一個內存地址一樣，該算法據說比牛頓迭代法快4倍，核心的代碼類似下面這樣：

    i = 0x5f375a86 - (i>>1); 

至今為止仍未能確切知曉此常數的起源 ，值得一提的是這個值最初為0x5f3759df，後來由Lomont通過暴力窮舉找到這個更優值，即0x5f375a86 

Lomont採用暴力方法逐步嘗試，終於找到一個比之前的好那麼一丁點的數字，雖然實際上這兩個數字所產生的結果非常近似，這個暴力得出的數字是0x5f375a86，為此他寫了一篇論文《Fast Inverse Square Root》


點擊原文查看這篇論文，我是被震撼到了。



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  • 無理數與數學危機
    近代數學極限概念和計算方法的引入不僅解決了主體性的微積分理論的可能性問題，也解決了伴隨性的無理數概念的現實性問題，無窮小量和無窮大量的概念和計算方法既適用於主體性的微積分理論，也適用於解釋伴隨性的無理數的「數論」問題。
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  • 精美的幾何證明:根號2不是有理數
    證明是數學的基礎。這就是我們知道我們使用的每個規則和定理成立的原因。如果沒有邏輯上嚴格的證明，數學將是一堆虛假的假設。證明有各種方法和規則。有些是長期的和艱苦的，很少能被人發現，而另一些人則站在這樣的基本邏輯上，一點點推動數學的發展數論和分析的一個經典證明是證明無理數的存在，最常見的是平方根2是無理數。有很多方法可以證明這個結果，這是一個極其聰明但又直截了當的非理性證據。利用幾何學的基本知識，我們可以從邏輯上證明平方根2是不合理的。
  • 無理數的「謀殺案」
    難道畢達哥拉斯錯了，世界上除了整數和分數以外還有別的數？這個問題使畢達哥拉斯學派大傷腦筋。小編有話說讀者朋友們，你知道為什麼找不出m這個分數嗎？其實，我們用「反證法」來推導一下就明白了。根據畢達哥拉斯定理，我們知道m⊃2;=2，也就是（A/B）⊃2;=2所以，我們得出m要滿足以下3個條件：（1） A和B是整數（2） A和B互素（3） A/B的平方等於2於是我們得出：A⊃2;/B⊃2;=2