無理數引發的第一次的數學危機,兩千年後才平息!

大家的數學啟蒙都是從哪兒開始的呢？大概都是從1,2,3開始的吧。有了數字作為基礎，才會陸陸續續學會了公式，然後就真的開始學習了數學。直到後來，我們的數學能力發展一定程度之後，就發現，其實數學裡的數字只有1,2,3是不夠用的。於是出現了小數，分數，其中關於分數的研究，中國古人開創了先河，大約比歐洲早了1400多年。

數學都是從數字開始

有了分數之後，我們覺得還是不夠用，為什麼呢？有些數量的表示你用整數，分數，小數都不行。於是乎，必須要出現一種全新的數來滿足人們的需要。然後經過一個特殊的時機，無理數就出現了。事實上，無理數從發現，到被承認真是一場沒有硝煙的戰爭啊。

一場沒有硝煙的戰爭

讓我們從公元前580年的古希臘說起，當時的古希臘有一個名叫做畢達哥拉斯的大神，相信提到這個名字，很多同學們對這個名字實在是太熟悉了。禁不住大聲說出不就是那個畢達哥拉斯定理（其實就是我們國家的勾股定理）的畢達哥拉斯嘛，其實這只是他眾多研究中微不足道的一個，而且並不是他提出的，而是他給出的證明。

畢達哥拉斯

畢達哥拉斯是當時有名的數學家，科學家及哲學家，以他當時的名氣組成了一個畢達哥拉斯團體，這個團體在現在來說像是個研究機構。而畢達哥拉斯是這個團體的領頭人，他們認為「數」是萬物的本源，這裡的數是指整數、分數。因此世間一切事物都可以是數和數的比例，這更像是一個哲學觀點。自然，只有那些整數或者分數符合這樣的要求。為了自己理論的不受動搖，畢達哥拉斯認為世間再無其他數。

畢達哥拉斯學派一視同仁傳授知識

然而，畢達哥拉斯的一個不太聽話的學生，名叫希帕索斯。他在研究1與2的比例中項時發現，沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示成這個比例中項。如果設這個數為x，由1：x=x：2，得出x2=2。他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為x，根據畢達哥拉斯定理的出：x2=12+12,可以得出邊長為1的正方形的對角線的長度即為x的值。很顯然，這個值是存在的，我們可以在數軸上表示你出來。可是，希帕索斯百思不得其解，不知道該怎麼表示這個「新數」。

希帕索斯

這個「新數」出現，動搖了以畢達哥拉斯學派的固有觀點，但是信徒們認為畢老師辛苦建造「萬物皆為數」的大廈不可能就此坍塌，於是畢老師下令嚴格封鎖這個消息。其實我們仔細想想，畢達哥拉斯親自動手證明了勾股定理，難道他沒有考慮過這個問題嗎？也許他早就知道有這類數的存在。只是當時他被自己的信仰蒙蔽了雙眼，即使內心有懷疑，也不想去違背這種純粹的理念。這種情況，我們現在一般稱作愚昧。如此一來，發現者希帕索斯可就遭殃了。

根號2到底是什麼？

但是希帕索斯可不是一個只知道提出質疑的書呆子，他發現苗頭不對，於是，迅速選擇跑路。就這樣，他被迫流浪海外，但是希帕索斯終究抵不過思鄉之苦，偷偷跑回來希臘看望家人，這一次他還是沒有逃脫他老師的手心，再被抓獲後被投入地中海而溺亡。

數為最高信仰的畢達哥拉斯

但是希帕索斯雖然因無理數的發現而身亡，但是真理會遲到，但是永遠不會缺席。

隨著數學理論的完善，擁有現代數學常識的人們可以用一種非常簡單的方式來證明根號2不是有理數，思路也相當簡單明了。

根號2不是有理數的證明

曠日持久的第一次數學危機

畢達哥拉斯學派在數學上的保守態度與西帕索斯的根號2的發現，直接導致第一次數學危機。隨著時間的推移，無理數逐漸成為人所共知的事實。當時的人們在越來越多的例子中發現了無理數的蹤影。真相就是你越想著躲避，那就會越來越多地出現在你面前。

第一個承認無理數的尤得塞斯

後來，古希臘數學家尤得塞斯（Eudoxus）解決了無理數的問題，因為畢達哥拉斯學派對數的影響實在太為深遠。尤得塞斯為了避開畢氏學派，可以說是想盡方法遮遮掩掩，唯恐與畢老師針鋒相對。起初他使用量的概念來描述無理數，能代表生活中諸如線段、角、面積、體積、時間等等這些能作連續變化的東西。其次，尤得塞斯定義量的比及比例，這種比例是兩個比的一個等式。然而同樣地，也不使用數字來表示這種比，比和比例的觀念是緊密地與幾何（可以想像為直線的長度）連在一起。

最早的幾何學大師 歐幾裡得

古希臘數學家歐幾裡得的《幾何原本》第五卷第五條定義收錄了尤得塞斯的通過幾何的方式對這種量的（無理數）的解釋：「有四個量，第一量比第二量與第三量比第四量叫做有相同比，如果對第一個量取任何同倍數，又對第二量也第四個量取任何同倍數，而第一與第二倍量之間依次有大於、等於、小於的關係，那麼第三、第四倍量也有相同的關係。」

說起來有點繞口，還是用現在的數學語言描述一下吧。

歐幾裡得對於無理數的表示方法

雖然大家都默認了無理數的存在，但是，關於無理數的研究和討論卻一直持續了此後的2000多年。到19世紀，德國偉大的數學家戴德金，給出了無理數較為系統的定義，從而終結了由無理數引起的第一次數學危機。

數學家 戴德金

戴德金通過他一個著名的理論戴德金分割系統的定義了無理數。在數學方面，戴德金分割（cut切割），以德國數學家Richard Dedekind命名， Dedekind cut是通過有理數的分割，一刀兩斷，理解戴德金分割可能需要藉助一個數軸。分為兩個非空集A和B，在數軸上分三種情況：

戴德金切割

我們來解釋一下上述方法。

戴德金分割定義

其中在第三種情況下，沒有界數存在，所以並不定義任何有理數。此時就產生了一個「新數」，而這個新數就是無理數，這種無理數切割處就等同於無理數。戴德金用上面這個簡單的方式，嚴謹地給出了無理數存在於有理數之外的定義，也就是說戴德金從有理數出發，給出無理數。至此，無理數終於沒有任何疑問地留在數學大廈中了。

無理數終於塵埃落定

時至今日，無理數已經成為一種數學常識，同整數一樣，當然也是無窮個。無理數裡最著名的要數π和e了，π是圓周率，我國古代數學家祖衝之曾經將圓周率計算到小數點7位；e為自然常數，也稱之為歐拉數，是微積分領域中最重要的數字，沒有之一；黃金分割φ也是無理數，深深地揭示了自然界很多美妙出現的根本原因。總之，無理數的發現和應用深深地影響到了從古至今的所有人。

割圓術和圓周率

畢達哥拉斯學派在科學上的影響力，的確使得希臘的確成為了人類古文明的中心。同時也正因為畢老師的學派如此有名，導致很多研究者對於畢老師的敬畏遠遠大於對科學的敬畏。比如第一個試圖從理論上證明無理數的尤得塞斯，他天才般地或者說是被逼無奈地想到用幾何學來解釋無理數，這招感覺不錯之後，又有更多的人來效仿。幾何學的解釋既形象，也容易理解，並且不帶有那麼多哲學理念，在幾何學裡，我們只談論邏輯推理，甚至到後來，人們為了邏輯推理訓練，專門來學幾何學。所以，偉大的歐幾裡得和他的《幾何原本》誕生了。那麼多傑出人才都撲在幾何學上，又使得古希臘在幾何學上的研究，領先了將近兩千年。

幾何原本封面

人們都說，數學是所有自然學科的基礎，而關於數卻一直在發展，從無到零的出現，從整數到負數，從有理數到無理數，從實數到虛數，從複數到漢密爾頓的四元數。新事物的誕生都伴隨著巨大的阻力，有的可能會有付出生命的代價，數的發展也同樣如此。但不可否認的是，每一次對數域的擴充，都讓人們更加接近數學的本質，了解數學也就是了解了我們身邊的世界。