數學的三次危機——第一次數學危機

      無理數的發現，引起了第一次數學危機。首先，對於全部依靠整數的畢氏哲學，這是一次致命的打擊。其次，無理數看來與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應情況同樣也是令人驚訝的。因為與直觀相反，存在不可通約的線段，即沒有公共的量度單位的線段。由於畢氏學派關於比例定義假定了任何兩個同類量是可通約的，所以畢氏學派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關於相似形的一般理論也失效了。

 

      「邏輯上的矛盾」是如此之大，以致於有一段時間，他們費了很大的精力將此事保密，不準外傳。但是人們很快發現不可通約性並不是罕見的現象。泰奧多勒斯指出，面積等於3、5、6、……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約，並對每一種情況都單獨予以了證明。隨著時間的推移，無理數的存在逐漸成為人所共知的事實。

 

      誘發第一次數學危機的一個間接因素是之後「芝諾悖論」的出現，它更增加了數學家們的擔憂：數學作為一門精確的科學是否還有可能？宇宙的和諧性是否還存在？

      在大約公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾裡得《原本》第5卷中，並且和狄德金於1872年繪出的無理數的現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微炒之處。

 

      第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊祟地位受到挑戰，古希臘的數學觀點受到極大的衝擊。於是，幾何學開始在希臘數學中佔有特殊地位。同時也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從「自明的」公理出發，經過演繹推理，並由此建立幾何學體系。這是數學思想上的一次革命，是第一次數學危機的自然產物。