現代意義上的數學，也就是以初始概念和公理出發的演繹系統數學，源自於古希臘的畢達哥拉斯學派。
畢達哥拉斯
這一學派的核心思想是「萬物皆數」或者說萬物皆整數，也就是說這個世界的根本是數。只有數學知識是可靠的、準確的，而且可以應用於現實世界，乃至宇宙間的各種關係，也都可以用整數或整數之比來表達。而數學知識則依靠純粹的思想來獲得，不要觀察、直覺和任何日常經驗，但是數學真的像畢達哥拉斯學派所認為的那樣可靠嗎？也許未必，數學中有許多大大小小的矛盾，比如正與負、加與減、微分與積分，有理數與無理數、實數與虛數等等。同時在整個數學的發展歷史中，還有許多更為深刻的矛盾，比如有窮與無窮、連續與離散，存在與構造、邏輯與直觀，具體與抽象、概念與計算等等等等。在數學發展史中，始終貫穿著這些矛盾的鬥爭與解決，而在矛盾激化到涉及整個數學的根本基礎時，就會產生數學危機。所謂的數學危機，指的就是數學公理在定義上的不完全或者是不夠嚴謹，導致了在理性的推論下，得到錯誤結論的情況，不過所謂機遇與挑戰並存，數學家喜歡機遇，但也同時不畏挑戰，要想解決這些危機，就要對數學基礎理論進行修正和補充，而這樣的努力，也往往給數學帶來新內容。
迎來新發展，甚至由此引發革命性的變革，這也反映出了馬克思主義的，矛盾鬥爭是事物發展的歷史動力這一基本原理，所以說整個數學的發展史就是矛盾鬥爭的歷史，鬥爭的結果便是數學領域的發展，那麼數學史上都經歷了哪些重大的危機呢？
這些危機都是怎麼解決的，危機的解決又為數學帶來了哪些重大的發展呢？
我們今天就來盤點一下
先來看第一次數學危機
這也是純粹意義上「數」的危機，人類從誕生以來，一直認識的數就是自然數，不過後來隨著人類的發展和實際的需要，更有可能的情況是，隨著人類思考的不斷進步，人類引入了零和負數，其實在作出這一決定時，人們也經歷了激烈的思想鬥爭，但最後零和負數還是走進了數學的大門。因為如果沒有這些數的話
大量的減法運算就做不通，同樣的，引入分數的概念，乘法就有了逆運算「除法」，否則許多實際問題就解決不了，不過這兩次發展還算不上數學的危機。因為不管是零、負數，還是分數，它們都沒有脫離自然數的範疇，依然可以用自然數的方法來表示，無外乎加個負號，或者是把倆自然數疊在一起表示分數，但是緊接著就出現了更為深刻的問題，是不是所有的量都可以用有理數來表示呢？
畢達哥拉斯學派認為這是顯而易見的，我是身經百戰了，西方哪個國家我沒去過，不要老想搞一個大新聞。但是古希臘人從來都是不信邪的，畢達哥拉斯學派中的一些人發現，當計算直角邊為1 的等腰直角三角形的斜邊長時，斜邊的長度並不是有理數，這就導致了無理數的發現。
這次危機發生於公元前400 年左右，自根號2 被發現開始，一直到公元前370 年左右出現無理數的定義而結束，據說畢達哥拉斯學派當時嚴守發現根號2 的秘密，並把它視為「怪數」是邪惡的，而學派中的希帕索斯由於無意中洩漏了這個怪數的發現，竟被學派審判投入了大海。但是真理終究會戰勝謬誤，無理數最終成為了數學中重要的一環，這次危機是數學史上的一次重要事件，它衝擊了一直在西方數學界佔據主導地位的畢達哥拉斯學派，同時也標誌著西方世界關於無理數研究的開端，也促進了邏輯的發展和幾何學的體系化。在第一次數學危機之後的很長一段時間內，數學快速發展，並沒有再遇到什麼大的困境。
但是到了17 世紀，數學內部有限與無窮的矛盾引發了第二次數學危機，其實這次危機雖然發生在17 世紀，但是其根源可以追溯到公元前450 年的芝諾四悖論。這其中我們比較熟悉的就是阿基裡斯追龜問題，阿基裡斯追龜問題告訴了人們一個深刻的道理，那就是無窮多的數的和，其結果並不是無窮大，而是會收斂於一個極限的數值。
第二次數學危機
最終促使人們完善了微積分的定義，和與實數相關的理論系統，同時也基本解決了第一次數學危機中，關於無窮計算的連續性問題，並且將微積分的應用推向了所有與數學相關的科學領域，前兩次數學危機可謂波瀾不驚，但是正在19 世紀末20 世紀初的數學空前興旺發達的階段，人們迎來了第三次數學危機。
這次危機就沒那麼簡單了，由於邏輯的數學化，數理邏輯這門學科得以誕生，之後在19 世紀70 年代，康託爾創立的集合論成為了現代數學的基礎。
康託爾
而這也是這次危機的直接來源，這次危機發生的代表是一系列悖論的產生，其中影響最大的便是1902 年的羅素悖論
羅素
關於羅素悖論的數學表達法比較繞口。
簡單說來就是
設命題函數P(x)表示x 不屬於x，現在假設由性質P 確定了一個類A，也就是說A 等於x，x 不屬於x，現在問題就來了，A 屬於A 是否成立呢，首先如果A 屬於A，那麼A 就是A 的元素，那麼A 就不具有性質P，也就是A 又不屬於A 了，這與假設相矛盾，那麼如果A 不屬於A，也就是A 具有P 的性質，而A 是由所有具有性質P 的類組成的，所以A 屬於A，這又與假設相矛盾。
總之就是有尿性，就是矛盾，關於這一悖論，最通俗的人能聽懂的例子就是著名的「說謊者悖論」，埃庇米尼得斯說「所有的克裡特島人都是說謊者」，問題是埃庇米尼得斯這哥們自己就是克裡特島人，那麼克裡特島人和埃庇米尼得斯究竟是不是說謊者呢，恐怕誰也說不清了。
其實悖論再簡化一下就是「我是說謊者」，同時著名的「理髮師悖論」，也就是理髮師宣布，他只給所有不給自己刮臉的人刮臉，這些悖論都是相似的，可以說羅素悖論使得整個數學大廈動搖了。
羅素簡直就像《三體》中的智子一樣，也使得很多數學家灰心喪氣，數學家弗雷格就在收到羅素的信之後，在他剛要出版的《算術的基本法則》第二卷末尾寫道，一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，工作眼看要完成的時候，它的基礎卻垮掉了，本書在等待印出的時候，羅素先生的一封信就把我置於了這種境地，隨後弗雷格結束了已經堅持了近12 年的刻苦鑽研，那麼羅素悖論究竟有沒有得一解呢？人們可不可以順利渡過這次數學危機呢，絞盡腦汁之後，人們想到這樣的解決方案。
而這一方案，即便我們現在看來，恐怕也看不懂，我就試著盡力闡釋一下吧，可能理解錯了，如有錯誤請大家不吝賜教，解決方法就是，所有這類悖論都涉及一個「自我指涉」的語義問題，而羅素悖論等自我指涉的悖論其實是不規範的。也就是說，理髮師給別人刮臉和照鏡子給自己刮臉不是同一種行為，同樣的，埃庇米尼得斯說謊和所有的克裡特島人說謊也不是同一種行為。這就好比說，身為工廠主的恩格斯說，所有的資產階級都是剝削者，你敢說恩格斯說錯了嗎？你敢說恩格斯是剝削者，這倆不是一個問題，不能強加聯繫，總之這就是羅素悖論的解決方案。不知道你是不是感到失望了，總之我是不太失望，因為壓根我就不是太明白，總之就是，承認無窮集合、承認無窮基數，就好像逼出了數學的終極災難，這就是第三次數學危機的實質。
儘管悖論可以消除，矛盾看似也可以解決，但是必須承認的是，數學的確定性正在一步步喪失，所以第三次數學危機也只是在表面上得到了解決，但實質上，它仍在以其他形式更深刻的延續著。