數學，這個我們從小就學的學科。在90後的小學印象中，語文和數學是並重的學科。前者是生活必備的語言，後者是邏輯基礎的工具。
我們或許並不知道數的概念從什麼時候開始的。我們甚至不知道數學起源於文明的崛起還是人類意識中感性經驗自帶的邏輯基礎。
結繩計數是考證最早人類有關數學工具的應用。這是一種多麼簡潔明了的數學表達形式。
人類從一開始總是對自然世界抱有古樸的觀念。比如神造人，天圓地方，物質可無限細分。這些古樸的思想體現在數學上就是樸素整數觀。
古人更願意相信整數可以代表自然界所有的事物。直到畢達哥拉斯學派發現直角三角形的勾股定理後，人類對數字的認識才第一次有顛覆性的變革。
對於一個直邊長為1的等腰直角三角形，它的斜邊長就是根2，可是人們在計算根2的具體數值時卻狂躁了，發現這個數居然可以很長很長，不管你計算多久，它好像都沒完沒了了，這就是人類發現的第一個無理數。
在畢達哥拉斯之前的古希臘哲學中，整數代表了自然的和諧整潔之美。根2的出現無疑讓自然的潔簡之美破碎了。
古人開始研究起了無理數，不再局限於整數的桎梏。對無理數的研究也讓人類第一次思考無窮的概念。 比如一條線段無限分，總有一段是無理數式的長度。
在此期間，芝諾還提出來四大悖論，簡稱芝諾悖論。
其中以芝諾的烏龜尤為著名。你不可能追上一隻烏龜，即便你是博爾特也不行。因為你在追烏龜的時候總是要先追上烏龜行進路程的一半，當你追上這一半時，烏龜又前進了一部分，你又得追上新路程的一半，至此你將陷入到烏龜路程一半的漩渦中無法逃脫。
可是這樣的結果卻與事實大相逕庭。正是由於這樣得悖論存在，人類才不得不思考無窮的概念和意義。
現在我們一眼就看出芝諾悖論的弊端。對線段的無窮二分勢必需要無窮的時間，而運動員的時間是有限的，我們不能在有限的時間內做出無限多的事情，那麼在追擊烏龜時，就不會陷入到烏龜路程的一半的邏輯漏洞中。
對無理數和無窮概念的研究和拓展成功的化解了第一次數學危機，人類開始探究新的數學領域。
就這樣整個數學基廈安穩的度過了2000餘年，直到牛頓。我們知道微積分是牛頓和萊布尼茨奠基起來的。有了微積分後，那時的人們可以解決許多前所未有的問題，比如精確測量邊界曲折的土地面積，也可以出測量一條曲線的長度。
微積分的基礎思想就是無限細分再整合。微積分中總是出現無限逼近的概念。比如無限小和0的區別，當時的人們在某種情況下直接將無限小當做0來使用，但卻不知其中蘊涵的數學意義。
牛頓時代的人們還不能徹底搞清楚微分、積分、導數的內在意義。
比如我們計算一條曲線的某點切線斜率，我們可以在這點附近取個邊長都無限小的直角三角形等效替代，取而代之的是這個直角三角形的斜邊斜率。
而當時的人們總是心裡有道槓，人們認為即便直角的邊長再怎麼小，它們的比值也不過是這個直角三角形斜邊的斜率。怎麼能把這條斜邊的斜率直接等同於曲線這點的切線斜率呢？理論上曲線某點的切線不是這個直角三角形的斜邊，所以不能劃等號！
其實牛頓時代的人們搞混了導數和微分的區別。曲線a點周圍的直角三角型(直角邊無限小)斜邊的斜率只是無限逼近a點切線的斜率。就相當無窮小無限逼近0，我們要的不是不窮小，我們要的是0。同樣地，我們要的不是這個直角三角形斜邊無限逼近某數值的斜率，我們要的是a點切線的斜率。而我們明知道直角三角形的斜邊上限或下限無限逼近數值b，而直角三角形的斜邊也同樣上限或下限無限逼近曲線a點切線的斜率。那麼我們就可以認定：曲線a點的切線斜率就是直角三角形斜邊無限逼近的那個數值，也就是b。
舉個很簡單的例子，現在有兩個土豪分別是土豪甲和土豪乙。
我們能知道土豪乙的資產數量，但是卻不知道土豪甲的資產。 而土豪甲說：土豪乙的資產總是無限逼近我，而不能達到我的資產。
而土豪乙說，我的資產很難計算，大概是9999萬99999999......元，反正就是無限逼近一億。那麼我們可以直接得出：土豪甲的資產就是一億。
而第二次數學危機，就在於對微積分理解的偏差上。
第二次數學到第三次數學危機相隔也就200餘年。
第三次數學危機是人們對集合論的懷疑，起始於1897福爾蒂發現的集合論悖論，再到康託發現第二個悖論，直到羅素提出了「羅素悖論」，才將對集合論的質疑發展到了極致。
也以羅素悖論最為出名。在羅素悖論中，一個牛逼哄哄的理髮師在門店前寫了一句廣告詞：「自己技術精湛，會給所有不能給自己理髮的人理髮，滿足各種挑剔的需求，大家都來我這理髮吧！」。
那麼問題來了，這個理髮師會給自己理髮嗎？如果理了，那麼就不是宣傳的那樣：只給不能給自己理髮的人理髮了。如果理髮師不給自己理髮，那麼他又違背了廣告詞：只給不能自己理髮的人理髮。
羅素
很多人說羅素悖論只是對集合定義的一種詭辯而已。可是到現在都沒有人能完美解決這一所謂的詭辯。
羅素悖論更像是哲學的本體論，從而劃分出來了唯心和唯物主義。我們從本體論的角度側面解讀一下羅素悖論。
如果我是主觀唯心主義，我說世界只是我的表象，大千世界只是我意識幻想出來供我享樂的「虛假場所」。
那麼問題來了，「我」的概念也是意識幻想出來的假象嗎？如果是，那麼「我對「我」的概念質疑的思想」也是意識幻想出來的嗎？ 如果還是，那麼「我對「我疑我的思想」的質疑」也是意識幻想的了......如果還是，那麼我的意識主動性還存在嗎？意識本體在哪裡？難不成我的前一秒意識幻想出我的後一秒意識嗎？好像我一思考自己的意識，意識本體就在自動後退，從而完美規避了我的意識被自己意識。 那麼你的意識到底是什麼，它還存在嗎？如果你的意識存在，請你解釋剛才的矛盾。如果你的意識不存在，那麼世界就不是你宣稱的唯心主義了，這不和你起初自稱唯心的口號矛盾了。
羅素悖論，就很像這個問題，總是首先把自己置身事外，而換個角度看自己又處於事物之中。 那麼自己到底在事物之中還是事物之外呢？