第三次數學危機

第三次數學危機

3.1背景

第三次數學危機產生於十九世紀末和二十世紀初，當時正是數學空前興旺發達的時期。首先是邏輯的數學化，促使了數理邏輯這門學科誕生。19世紀後半葉，作為分析嚴格化的最高成就—康託爾首創的集合論成為現代數學的基礎，不僅建立起來，而且被越來越多的數學家所接受、所應用。法國大數學家龐加萊驕傲地宣稱：「藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈。現在我們可以說，完全的嚴格性已經達到了。」此時，數學王國裡春光明媚，陽光和煦，一派太平景象。
3.2 起源

    1900年，英國數學家和哲學家羅素在巴黎見到義大利數學家皮亞諾，他發現皮亞諾比其他任何人都嚴格，並且認定這是他的數理邏輯所致。因此，羅素潛心研究皮亞諾及其學生的著作，並且認定他的符號正好是自己尋求多年的、可以用來進行邏輯分析的工具。接著羅素開始打算從邏輯推出全部數學來，開始他還覺得順利，但是不久就遇到了問題。康託爾曾經證明過不存在最大的基數，羅素對此有些疑惑，認為以世界上所有的集合為元素構成的集合應該是最大的（因而具有最大基數），這樣他就發覺其中有些矛盾，開始的時候他也覺得這件事也許沒什麼大不了的，也許是在什麼地方繞住了，但是他左思右想仍無法繞過來，結果產生了著名的羅素悖論，引起了關於數學基礎的新的爭論，從而造成了數學史上更為嚴重的關於數學基礎的第三次危機。

3.3 危機的解決

3.3.1理髮師的困境

某村有一位手藝高超的理髮師，他只給村上所有不給自己刮臉的人刮臉，那麼，他給不給自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他是個不給自己刮臉的人，他應當給自己刮臉；如果他給自己刮臉，由於他只給不給自己刮臉的人刮臉，他就不應當給自己刮臉了。他應該如何呢？
   現在考慮由所有那些自身不屬於自己的集合作成一個集合A,那麼，A是本身屬於自己的集合還是本身不屬於自己的集合呢？理應兩者必居其中一個，但是，我們看到：若A∈A,則根據A的定義，A∉ A。若A∉ A，則根據A的定義，A∈A。無論在任何情況下都導致矛盾，這就是人所共知的羅素悖論。

 3.3.2困境的解決

    其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。早在1897年，布拉利—福爾蒂已公開發表了最大序數悖論。1899年康託爾本人也發現了最大基數悖論。當時因為這兩個悖論牽涉到較為複雜的理論，人們認為可能是由於在其中某些環節處不小心引入的一些錯誤所致，人們對消除這些悖論也是樂觀的，所以它們只是在數學界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。但羅素悖論則不同，這一悖論相當簡明，而且所涉及到的只是集合論中最基本的方面，以致幾乎沒有什麼可以辯駁的餘地，這就大大動搖了集合論的基礎。
    為了消除悖論，許多科學家開始分析悖論產生之因，尋求解決方案，他們規劃了兩種解決途徑，其一是將整個集合論拋棄，把數學建立在別的理論基礎上；其二是對康託爾的集合論加以改造，將集合論公理化。經過探索，他們選擇了第二條解決途徑。

羅素雖然提出了問題，成為危機的製造者，但同時也是危機的解決者，羅素在他的著作中提出了分支類型論以解決這個矛盾，使得「自己既要屬於自己又同時不屬於自己」不可能出現。不過，這個層次理論十分複雜，所以數學家要把這個方法加以簡化，而先提出的人是策墨羅，他提出了「有限抽象原則」和幾條公理，及後再由弗蘭克和斯柯倫補充修改，形成現在在數學上較為流行的公理系統——ZFS公理系統。隨著公理化集合系統的建立，集合論中的悖論被成功排除了，因而從某種程度上來說，第三次數學危機解決了。
 3.4 第三次數學危機的影響

    從1900年到1930年左右，數學的危機使許多數學家捲入一場大辯論當中。他們看到這次危機涉及到數學的根本，因此必須對數學的哲學基礎加以嚴密的考察。在這場大辯論中，原來不明顯的意見分歧擴展成為學派的爭論。以羅素為代表的邏緝主義、以布勞威為代表的直覺主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數學哲學學派應運而生。它們都是唯心主義學派，它們都提出了各自的處理一般集合論中的悖論的辦法。他們在爭論中儘管言語尖刻，好象勢不兩立，其實各自的觀點都吸收了對方的看法而又有很多變化。
 3.5 結論

承認無窮集合，承認無窮基數，就好像一切災難都出來了，這就是第三次數學危機的實質。儘管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續著。誠然，問題涉及數理邏輯和集合論，但它一開始就牽涉到無窮集合，而現代數學如果脫離無窮集合就可以說寸步難行。因為如果只考慮有限集合或至多是可數的集合，那絕大部分數學將不復存在。而且即便這些有限數學的內容，也有許多問題要涉及無窮的方法，比如解決數論中的許多問題都要用解析方法。由此看來，第三次數學危機是一次深刻的數學危機。

數學中的矛盾既然是固有的，它的激烈衝突——危機就不可避免。危機的解決給數學帶來了許多新認識、新內容，有時也帶來了革命性的變化。把20世紀的數學同以前全部數學相比，內容要豐富得多，認識要深入得多。在集合論的基礎上，誕生了抽象代數學、拓撲學、泛函分析與測度論，數理邏輯也興旺發達成為數學有機體的一部分。古代的代數幾何、微分幾何、複分析現在已經推廣到高維。代數數論的面貌也多次改變，變得越來越優美、完整。一系列經典問題完滿地得到解決，同時又產生更多的新問題。特別是二次大戰之後，新成果層出不窮，從來間斷。數學呈現無比興旺發達的景象，而這正是人們同數學中的矛盾、危機鬥爭的產物。

我認為數學危機給數學發展帶來了新的動力。在這場危機中集合論得到較快的發展，數學基礎的進步更快，數理邏輯也更加成熟。然而，矛盾和人們意想不到的事仍然不斷出現，而且今後仍然會這樣。就拿悖論的出現來說，從某種意義上並不是什麼壞事，它預示著更新的創造和光明，推進了科學的進程，我們應用辨證的觀點去看待他。
    通過數學的發展史和這三次數學危機，我越來越感到M 克萊因教授著的一本書，是關於確定性的喪失，其中書中說道: 數學需要絕對的確定性來證實自身嗎？特別是，我們有必要確保某一理論是相容的或確保其在使用之前是通過非經驗論時期絕對可靠的直覺得到的嗎？在其他科學中，我們並沒要求這樣做。在物理學中所有的定理都是假設的，一個定理，只要能夠作出有用的預告我們就採用它。而一旦它不再適用，我們就修改或丟棄它。過去，我們常這樣對待數學定理，那時矛盾的發現將導致數學原則的變更，儘管這些數學原則在矛盾發現前還是為人們所接受的。因此我們看問題的觀念應該改變一下，數學是不確定性的。
   不管數學以後向何處發展，但就數學仍然是可用的最好知識的典範。數學的成就是人類思想的成就，作為人類可以達到何種成就的證據，它給予人類勇氣和信心，去解決那些一度看上去不可測知的宇宙秘密，去制服那些人類易於感染的致命疾病，去質疑去改善那些人們生活中的政治體系，因此我們說數學在這個大自然中是無處不在的，數學在人類發展中的作用也是不可估量的。本微信公眾號是由教師QQ群高中數學解題研究會339444963團隊創作和管理。QQ群裡名師雲集，有全國各地教研員，優秀教師，高考命題專家和各大市的命題專家。希望有研究高考、解題、命題、教學等興趣的高中數學教師、大學生和優秀高中生加入。群內有教輔資料編寫，每日一題，每周一專題分享，群題記錄、專家主題講座等解題教學研究活動，學術研究氛圍濃厚。