1919年，英國數學家羅素提出了一個有趣的問題：村裡有一個理髮師，他為自己定了一條店規-他只給村裡不給自己刮臉的人刮臉，那麼按照這個規矩理髮師該不該給他自己刮臉呢？
如果他不給自己刮臉，那麼他就屬於「不給自己刮臉」的那一類村民，按規定，他應該給自己刮臉；但是，如果他給自己刮臉，他就屬於「給自己刮臉」的那一類村民，按規定他就不能給自己刮臉。
很明顯這是一個悖論，理髮師的位置非常尷尬，兩類群體他都不屬於，那麼他的歸屬在哪兒？
按理說，如果對於兩個分類標準明確而且對立的群體而言，某個人歸屬肯定是非此即彼。比如，我們定義此時此刻有北京戶口的人是北京人，那麼所有人一下子就被分成了兩類-北京人和非北京人。
羅素的這個「理髮師悖論」挑戰了康託爾構造集合的基本原則-概括原則：具有某種特質的元素可以構成一個集合。
簡單理解就是我們學過的集合的確定性，一個元素是否屬於給定集合是明確的而不是模稜兩可的。
「理髮師悖論」的學術版是1901的「羅素悖論」，原文我們就不說了，非常抽象。
通俗來說，所有的集合分成兩類，一類為非常集，這種集合的本身也是該集合的一個元素。例如，「一切集合組成的集合」當然是自身的一個元素，因為它也是一個集合。再簡單一點，「王中王」是不是王，肯定也是王。
另一類是正常集，即其本身不是它的一個元素。例如「有理數集」，它本身不是有理數（是個集合），所以不屬於有理數集。由此，任意集合不是正常集就是非正常集，不應該有例外。
但是，如果S是一切正常集的集合，那麼S屬於哪一類？
集合論是一切數學的基礎，羅素悖論的提出說明了集合論本身是包含矛盾的，是不嚴密的。它使得那個年代的整個數學界和邏輯學界同時感到了問題的嚴重性，並由此引發了數學史上第三次數學危機。