羅素悖論與數學危機

2020-12-01 今晚報
　　數學中，集合是一個極樸素的概念，直觀上「一堆東西」放一起就可以說構成集合。曾幾何時，人們認為集合不需要任何限制，可事實上並非如此。

　　1901年秋天，一個年輕人面容憂鬱地走在劍橋校園，他就是伯特蘭·羅素。正為昨晚得出的弔詭結論而困惑的他，試圖做出一個至少讓自己滿意的解釋。前一晚，這個劍橋才子發現了一個關於集合的悖論：設性質P（x）表示「x不屬於x」，現假設由性質P確定了一個類A——也就是說A={x|x不屬於x}。那麼問題來了：A屬於A是否成立？若A屬於A，則A是A的元素，那麼A具有性質P，由性質P知A不屬於A；若A不屬於A，也就是說A具有性質P，而A是由所有具有性質P的類組成的，所以A又屬於A。

　　您是不是看得有些繞？沒關係，接下來咱們再看一個通俗的版本：

　　有位怪脾氣理髮師，他只為「不給自己刮臉的人」刮臉，不為「給自己刮臉的人」刮臉。可對於他本人，就出現問題了。如果他不為自己刮臉，他就是「不給自己刮臉的人」，就要為自己刮臉。而如果他為自己刮臉呢？他就屬於「給自己刮臉的人」，就不該為自己刮臉。這樣一來，理髮師既不能屬於「給自己刮臉的人」，又不能屬於「不給自己刮臉的人」。

　　羅素發現了集合論的這個漏洞，而這個漏洞很可能無法補救！

　　在19世紀下半葉，康託爾創立集合論。理論開創伊始，受到各個學派的抨擊反對，康託爾本人也因此變得癲狂。但不久之後，集合論廣泛的應用和其天然基礎性的地位使得它成為數學大廈的基石。希爾伯特甚至樂觀地認為，整個數學學科都可以在集合論的基礎上通過演繹推理建立。

　　而羅素悖論似乎宣布：數學大廈將在這代學人面前崩塌了！

　　消息一出，數學界立馬陷入恐慌。羅素和合作者懷特海的《數學原理》為此延期發表。許多同時代的數學家甚至悲觀地表示，我們精心建構的大樓，可能從根基就出了問題。與此同時，學界也在積極尋求解決補救之道。

　　羅素日後的學生、大名鼎鼎的維根斯坦在《邏輯哲學論》中給出了解決方案。然而他的立足點是哲學而非數學的形式推理框架。

　　真正第一個提出數學化解決方案的是策梅羅，他開創性地提出了一套集合公理，能夠證明羅素悖論在這套公理下得以規避。困擾了數學界將近半個世紀的問題，最終在兩代學者的努力下得到解決。

　　（本欄長期徵集「日知錄」三字篆刻，投稿郵箱：rizhilu999@163.com）

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    如果他不給自己刮臉，他就屬於「不給自己刮臉的人」，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於「給自己刮臉的人」，他就不該給自己刮臉。不論哪一種情況，矛盾都是不可避免的。這就是英國著名數學家、邏輯學家、哲學家羅素於1903年6月16日提出的轟動一時的「羅素悖論」。
  • 科學網—羅素悖論引發第三次數學危機
    這就是英國著名數學家、邏輯學家、哲學家羅素於1903年6月16日提出的轟動一時的「羅素悖論」。 19世紀下半葉，德國數學家康託爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的讚譽。數學家們發現，從自然數與康託爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。
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    1919年，英國數學家羅素提出了一個有趣的問題：村裡有一個理髮師，他為自己定了一條店規-他只給村裡不給自己刮臉的人刮臉，那麼按照這個規矩理髮師該不該給他自己刮臉呢？很明顯這是一個悖論，理髮師的位置非常尷尬，兩類群體他都不屬於，那麼他的歸屬在哪兒？按理說，如果對於兩個分類標準明確而且對立的群體而言，某個人歸屬肯定是非此即彼。比如，我們定義此時此刻有北京戶口的人是北京人，那麼所有人一下子就被分成了兩類-北京人和非北京人。
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    備受全網千萬粉絲喜愛的知名網絡科普大咖李永樂老師，居然犯了一個極大的錯誤，講錯了第三次數學危機中的羅素悖論，也就是說，你從李永樂那裡聽到的羅素悖論，居然是假的，也許你就是被李永樂誤導的百萬觀眾中的一員。我自從揭發李永樂講了假羅素悖論之後，有很多網友向我詢問，真正的羅素悖論又是什麼？所以在這裡給網友們答疑解惑，講講真正的羅素悖論究竟是什麼？
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    點 擊 查 看1874年，德國數學家康託爾創立了集合論，並很快滲透到數學的大部分分支中，成為數學最重要的基礎理論之一。1902年，英國數學家、哲學家羅素提出了一個悖論對集合論進行質疑，這個悖論就是著名的「羅素悖論」。
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    與初中數學相比，高中數學有一個巨大的斷裂層，學生會感到難以接觸剛開始。第一次接觸是設定的，這是學生開始看數學奧秘。集合的概念並不難，他是把一堆元素放在一起形成一個整體。高中教授的設置相對簡單，事實上集合已經滲透到了數學的大部分分支。
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    3.6 羅素其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數悖論。1899年，康託爾自己發現了最大基數悖論。但是，由於這兩個悖論都涉及集合中的許多複雜理論，所以只是在數學界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。
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    在一期關於《第三次數學危機》的節目中，李老師講到了數理邏輯領域的《羅素悖論》並將羅素悖論跟大數學家康託爾的集合論聯繫在一起。其實羅素悖論根本不是針對康託爾，而是弗雷格，李永樂老師你搞錯了！誰是弗雷格呢？ 弗雷格全名弗裡德裡希·路德維希·戈特洛布·弗雷格，是德國數學家、數理邏輯學家、哲學家。
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  • 1901年春天,羅素發現了「理髮師悖論」
    1901年春天，羅素發現了後來被所有研習邏輯學和數學的學生熟知的「理髮師悖論」。開始時，他試圖將數學建立在邏輯學基礎上，認為可以很快輕鬆地解決該悖論提出的難題。但是到了那年末，他開始意識到，某種基本的東西出了差錯。
  • 第三次數學危機
    康託爾曾經證明過不存在最大的基數，羅素對此有些疑惑，認為以世界上所有的集合為元素構成的集合應該是最大的（因而具有最大基數），這樣他就發覺其中有些矛盾，開始的時候他也覺得這件事也許沒什麼大不了的，也許是在什麼地方繞住了，但是他左思右想仍無法繞過來，結果產生了著名的羅素悖論，引起了關於數學基礎的新的爭論，從而造成了數學史上更為嚴重的關於數學基礎的第三次危機。
  • 第三次數學危機是什麼?這次數學家都弄瘋了!——理髮師悖論
    我們之前講過第一次和第二次數學危機，今天我們來講第三次數學危機。第三次數學危機，首先要從一個數學加羅素開始伯特蘭·羅素>1、羅素，他提出一個悖論，叫做理髮師悖論。這就是集合中的一些基本問題，咱們來說一說羅素的理髮師悖論到底想說明什麼呢？他其實想說，康託爾集合都面臨一個很嚴重的自相矛盾的地方，就是假如我定義，有一個A，這個集合A= {X| X不屬於A }這個集合的意思是所有不屬於自身的集合的集合！這個說法有點繞，所有不屬於自身的集合的集合！那我就問，問這個集合它應不應該屬於自身。
  • 他提出的這個悖論引發了第三次數學危機,來看看到底是怎麼回事
    集合論是「現代數學」的基礎，幾乎每一個分支都是建立在「集合論」的基礎之上的。「集合論」的誕生之初，在「分析的嚴格化」思想的指導下，徹底地解決了由「微積分」引發的第二次數學危機。在那一次危機中，「集合論」成為了「近代數學大廈」的基礎。
  • 在數學中,有哪些非常有趣的悖論?
    貝克萊悖論、羅素悖論、意料不到悖論、鱷魚悖論、分球悖論等等。悖論：指自相矛盾的命題，這個命題中隱含著兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。（悖：混亂，相衝突；論：言論，言語。），但是兩人對微積分中「無窮小量」的定義不明確，導致了後來的第二次數學危機。
  • 數學上的三次危機
    這次危機就沒那麼簡單了，由於邏輯的數學化，數理邏輯這門學科得以誕生，之後在19 世紀70 年代，康託爾創立的集合論成為了現代數學的基礎。康託爾而這也是這次危機的直接來源，這次危機發生的代表是一系列悖論的產生，其中影響最大的便是1902 年的羅素悖論羅素關於羅素悖論的數學表達法比較繞口。
  • 數學故事——第三次數學危機
    1897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年後，康託發現了很相似的悖論。1902年，羅素又發現了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素於1919年給出的，它涉及到某村理髮師的困境。理髮師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，並且，只給村裡這樣的人刮臉。
  • [趣味數學]數學史上的三次危機
    悖　論　的　產　生　---　第　三　次　數　學　危　機　　數學史上的第三次危機，是由1897年的突然衝擊而出現的，到現在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康託的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。