貝克萊悖論、羅素悖論、意料不到悖論、鱷魚悖論、分球悖論等等。
悖論：指自相矛盾的命題，這個命題中隱含著兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。（悖：混亂，相衝突；論：言論，言語。）
歷史上出現過的數學悖論很多，數理邏輯是數學的研究方法，於是很多邏輯上的悖論，也歸在數學門下，以下就是幾個有趣的數學悖論：
貝克萊悖論
在17世紀，牛頓和萊布尼茲各自都獨立創立了微積分，但是兩人對微積分中「無窮小量」的定義不明確，導致了後來的第二次數學危機。
到了1734年，英國大主教貝克萊駁斥微積分理論（本質是反科學），指出了著名的貝克萊悖論，該悖論把當時微積分中最大缺陷暴露了出來：
關於第二次數學危機的解決，直到19世紀後，由眾多數學家，比如波爾查、柯西、阿貝爾和康託爾等等，建立了更嚴密的數學定義後，才得到徹底解決。
羅素悖論
大名鼎鼎的羅素悖論（也稱理髮師悖論），直接導致了第三次數學危機的出現。
19世紀末，第二次數學危機在集合論的完善下得到解決，數學家們「歡欣起舞」。在1900年國際數學家大會上，法國大數學家龐加萊甚至宣稱：現在的數學，已經達到了絕對嚴密的程度！
沒想到三年之後，英國數學家、邏輯學家和哲學家——羅素，提出著名的理髮師悖論，震驚了整個數學界：
羅素悖論的通俗解釋：城市中的所有人，都在一位技藝高超的理髮師那刮臉，這位理髮師說到：「我只為本城市中，不給自己刮臉的人刮臉」！於是，其他人對理髮師說：那麼你給自己刮臉嗎？
分析：倘若他不給自己刮臉，那麼他屬於「不給自己刮臉的人」，按照他的說法他就要給自己刮臉；倘若他給自己刮臉，他又屬於「給自己刮臉的人」，按照他的說法就不該給自己刮臉。
羅素悖論的出現，說明集合論本身是不完備的；直到1908年，數學家建立起了公理化系統，才讓集合論從根本上避免了羅素悖論。
預料不到悖論
一位學生會會長宣布：在下星期一到星期五的某一天下午開會，但是你們無法提前知道哪一天開會，因為只有到了當天早上的8點鐘，我才會通知你們。
如果我們仔細分析這段話，會發現存在自相矛盾，使得開會無法進行，你能看出問題所在嗎？
鱷魚悖論
這是古希臘的一個故事：一條鱷魚從一位母親的手中奪走了孩子，母親苦苦哀求說：求求你放過我的孩子，你提什麼要求我都答應。
於是鱷魚得意地說到：可以，那麼你猜猜，我會不會吃掉你的孩子，如果你猜對了，我就把孩子還給你！
這位母親細想片刻說到：我想你會吃掉我的孩子！
鱷魚琢磨了一會愣住了，心想：我要是吃掉孩子，說明你猜對了，我應該把孩子還給你；如果我不吃掉你的孩子，說明你猜錯了，我又要吃掉你的孩子！
分球悖論
悖論意指自相矛盾的命題，但是在一些數學悖論中，也指代某些數學命題，只是該命題與人們的常識相悖，比如分球悖論就是這樣的。
分球悖論，數學中一條經過嚴格證明的定理，可以描述為：一個三維實心球，必定存在一種辦法分成有限部分，然後僅僅通過旋轉和平移，就可以組成兩個和原來完全相同的球（半徑相同，密度相同……所有性質都相同）。
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