悖論是一種認識矛盾，它既包括邏輯矛盾、語義矛盾，也包括思想方法上的矛盾。 數學悖論作為悖論的一種，主要發生在數學研究中。按照悖論的廣義定義，所有數學規範中發生的無法解決的認識矛盾，這種認識矛盾可以在新的數學規範中得到解決。
在古希臘時代，克裡特島的哲學家埃庇米尼得斯（約公元前6世紀）發現的「說謊者悖論」可以算作人們最早發現的悖論。公元前4世紀的歐布裡德將其修改為「強化了的說謊者悖論」。在此基礎上，人們構造了一個與之等價的「永恆的說謊者悖論」。埃利亞學派的代表人物芝諾（約490B.C.—430B.C.）提出的有關運動的四個悖論（二分法悖論、阿基裡斯追龜悖論、飛矢不動悖論與運動場悖論）尤為著名，至今仍餘波未息。
在中國古代哲學中也有許多悖論思想，如戰國時期邏輯學家惠施（約370B.C.—318B.C.）的「日方中方睨，物方生方死」、《莊子·天下篇》的「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」；《韓非子》中記載的有關矛與盾的悖論思想等，這些悖論式的命題，表面上看起來很荒謬，實際上卻潛伏著某些辯證的思想內容。
在近代，著名的悖論有伽利略悖論、貝克萊悖論、康德的二律背反、集合論悖論等。在現代，則有光速悖論、雙生子佯謬、EPR悖論、整體性悖論等。這些悖論從邏輯上看來都是一些思維矛盾，從認識論上看則是客觀矛盾在思維上的反映。儘管悖論的歷史如此悠久，但直到本世紀初，人們才真正開始專門研究悖論的本質。在此之前，悖論只能引起人們的驚恐與不安；此後，人們才逐漸認識到悖論也有其積極作用。特別是本世紀60、70年代以來，出現了研究悖論的熱潮。
數學悖論作為悖論的一種，主要發生在數學研究中。按照悖論的廣義定義，所謂數學悖論，是指數學領域中既有數學規範中發生的無法解決的認識矛盾，這種認識矛盾可以在新的數學規範中得到解決。數學中有許多著名的悖論，除前面提到的伽利略悖論、貝克萊悖論外，還有康託爾最大基數悖論、布拉裡——福蒂最大序數悖論、理察悖論、基礎集合悖論、希帕索斯悖論等。數學史上的危機，指數學發展中危及整個理論體系的邏輯基礎的根本矛盾。這種根本性矛盾能夠暴露一定發展階段上數學體系邏輯基礎的局限性，促使人們克服這種局限性，從而促使數學的大發展。
跟無限相關的悖論{1，2，3，4，5，…}是自然數集：
{1，4，9，16，25，…}是自然數平方的數集。
這兩個數集能夠很容易構成一一對應，那麼，在每個集合中有一樣多的元素嗎？
伽利略悖論我們都知道整體大於部分。由線段BC上的點往頂點A連線，每一條線都會與線段DE(D點在AB上,E點在AC上)相交，因此可得DE與BC一樣長，與圖矛盾。為什麼？
芝諾悖論——阿基裡斯與烏龜公元前5世紀，芝諾用他的無窮、連續以及部分和的知識，引發出以下著名的悖論：他提出讓阿基裡斯與烏龜之間舉行一場賽跑，並讓烏龜在阿基裡斯前頭1000米開始。假定阿基裡斯能夠跑得比烏龜快10倍。比賽開始，當阿基裡斯跑了1000米時，烏龜仍前於他100米；當阿基裡斯跑了下一個100米時，烏龜依然前於他10米……所以，阿基裡斯永遠追不上烏龜。
預料不到的考試的悖論一位老師宣布說，在下一星期的五天內（星期一到星期五）的某一天將進行一場考試，但他又告訴班上的同學：「你們無法知道是哪一天，只有到了考試那天的早上八點鐘才通知你們下午一點鐘考。」
你能說出為什麼這場考試無法進行嗎？
電梯悖論電梯悖論：在一幢摩天大樓裡，有一架電梯是由電腦控制運行的，它每層樓都停，且停留的時間都相同。然而，辦公室靠近頂層的王先生說：「每當我要下樓的時候，都要等很久。停下的電梯總是要上樓，很少有下樓的。真奇怪！」李小姐對電梯也很不滿意，她在接近底層的辦公室上班，每天中午都要到頂樓的餐廳吃飯。她說：「不論我什麼時候要上樓，停下來的電梯總是要下樓，很少有上樓的。真讓人煩死了！」
這究竟是怎麼回事？電梯明明在每層停留的時間都相同，可為什麼會讓接近頂樓和底層的人等得不耐煩？
硬幣悖論硬幣悖論：兩枚硬幣平放在一起，頂上的硬幣繞下方的硬幣轉動半圈，結果硬幣中圖案的位置與開始時一樣；然而，按常理，繞過圓周半圈的硬幣的圖案應是朝下的才對！你能解釋為什麼嗎？
谷堆悖論谷堆悖論：顯然，1粒穀子不是堆；
如果1粒穀子不是堆，那麼2粒穀子也不是堆；
如果2粒穀子不是堆，那麼3粒穀子也不是堆；
……
如果99999粒穀子不是堆，那麼100000粒穀子也不是堆；
……
如果1粒穀子落地不能形成谷堆，2粒穀子落地不能形成谷堆，3粒穀子落地也不能形成谷堆，依此類推，無論多少粒穀子落地都不能形成谷堆。這就是令整個古希臘震驚一時的谷堆悖論。
從真實的前提出發，用可以接受的推理，但結論則是明顯錯誤的。它說明定義「堆」缺少明確的邊界。它不同於三段論式的多前提推理，在一個前提的連續積累中形成悖論。從沒有堆到有堆中間沒有一個明確的界限，解決它的辦法就是引進一個模糊的「類」。這是連鎖（Sorites）悖論中的一個例子，歸功於古希臘人Eubulides，後來的懷疑論者不承認它是知識。「Soros」在希臘語裡就是「堆」的意思。