康託爾與集合論 | 新書試讀《數學悖論與三次數學危機》

原標題：康託爾與集合論 | 新書試讀《數學悖論與三次數學危機》

第12章 走向無窮

初中畢業升入高一級學校後，人們會發現自己所學的第一個數學概念都是：集合。研究集合的數學理論在現代數學中稱為集合論。它是數學的一個分支，但在數學中卻佔有極其獨特的地位，其基本概念已滲透到數學的幾乎所有領域。如果把現代數學比作一座無比輝煌的大廈，那麼可以說集合論正是構築這座大廈的基石。集合論的統治地位已成為現代數學的一大特點，由此可見它在數學中的重要性。其創始人康託爾也以其集合論的成就，被譽為對20 世紀數學發展影響最深的數學家之一。

康託爾與集合論

康託爾於1845 年3 月3 日生於聖彼得堡，但一生中大部分時間是在德國度過的。15 歲以前他非凡的數學才能就已得到顯現，由於對數學研究有一種著迷的興趣，他決心成為數學家。但他講求實際的父親卻非常希望他學工程學，因為工程師是更有前途謀生的職業。1860 年，在寄給康託爾的信中他寫道：「盼望你的正是成為一位特奧多爾·金費爾，然後，如果上帝願意，也許成為工程學天空的一顆閃光的星星。」可憐天下父母心！他們總以自己的意願為孩子設計未來，卻往往不去考慮自己的孩子適合幹什麼。什麼時候父母們才會了解讓天生的賽馬去拉車的專橫愚蠢呢？

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值得慶幸的是，康託爾的父親後來看到自己強加於兒子的意願所造成的危害，他讓步了。17 歲的康託爾以優異的成績完成中學學業時得到父親的允許，上大學學習數學。激動的康託爾給父親回信：「你自己也能體會到你的信使我多麼高興。這封信確定了我的未來……現在我很幸福，因為我看到如果我按照自己的感情選擇，不會使你不高興。我希望你能活到在我身上找到樂趣，親愛的父親；從此以後我的靈魂，我整個人，都為我的天職活著；一個人渴望做什麼，凡是他的內心強制他去做的，他就會成功！」後來事情的發展表明，數學應當感激這位父親的明智做法。

1862 年，康託爾進入蘇黎世大學，1863 年轉入柏林大學。在此，他曾師從魏爾斯特拉斯與克羅內克。很遺憾，後來克羅內克與康託爾因數學觀點的差異而反目成仇。

1867 年，康託爾獲得博土學位，並開始步入數學研究行列。當時的數學界正進行著重建微積分基礎的運動，康託爾也很快將自己的研究轉向這一方向。在工作中，他探討了前人從未碰過的實數點集，這是集合論研究的開端。

1872 年，康託爾在瑞士旅遊中偶遇數學家戴德金。兩人後來成為親密的朋友，彼此通過信件交流，互相支持。

1874 年，29 歲的康託爾發表了關於集合論的第一篇革命性論文。這篇論文標誌著數學天空中升起了一顆有著非凡獨創力的數學新星。

隨後的十幾年是他最富創造力的一段時間，他獨自一人把集合論推向深入。在他最偉大、最有創見的創造時期，他本來完全可以獲得期待已久的德國最高榮譽——取得柏林大學教授職位，然而他的這一抱負卻一直沒有實現。他活躍的專業生涯是在哈雷大學度過的，這是一所獨特的、二流的、薪金微薄的學院。原因在於，他一系列的偉大成果不但未能贏得讚賞，反而招致了猛烈的攻擊與反對。他的主要論敵正是柏林大學的克羅內克——他以前的老師。克羅內克把康託爾的工作看作一類危險的數學瘋狂。他認為數學在康託爾的領導下正在走向瘋人院，便熱烈地致力於他所認為的數學真理，用他能夠抓到的一切武器，猛烈地、惡毒地攻擊「正確的無窮理論」和它的過於敏感的作者。如果說克羅內克在科學論戰上是一個最有能力的鬥士，那麼康託爾就是一個最無能的戰士。於是悲劇的結局不是集合論進了瘋人院，而是康託爾進了瘋人院。1884 年春，40 歲的康託爾經歷了他的第一次精神崩潰，在他長壽一生的隨後歲月中，這種崩潰以不同的強度反覆發生，把他從社會上趕進精神病院這個避難所。1904年，在兩個女兒的陪同下，他出席了第三次國際數學家大會。會上，他在精神受到強烈的刺激，立即被送進醫院。在他生命的最後十年，他大都處於嚴重抑鬱狀態中，並在哈雷大學的精神病診所度過了漫長的歲月。他最後一次住進精神病院是1917 年5月，直到1918 年1 月去世。

在講述了主人公悲慘的故事後，下面我們轉向他的偉大作品——集合論。

在學習集合的內容時，我們通常是按照從集合概念開始，隨後引入屬於、包含的定義，以及集合的並、交等運算這樣的順序進行的。但康託爾創建集合論的歷程卻與此完全不同。

康託爾是在研究「函數的三角級數表達式的唯一性問題」的過程中，先是涉及無窮點集，隨後一步步地發展出一般集合概念，並把集合論發展成一門獨立學科的。這一段歷史再次告訴我們，抽象的數學概念往往來自於對具體數學問題的研究。

在上面，我們提到康託爾的理論在當時受到了猛烈攻擊，一般讀者會對此感到不解。因為我們所學習的有關集合的知識顯得非常簡單與自然。事實上，那只是集合論中最基本的知識。而「康託爾的不朽功績在於他向無窮的冒險邁進」，因而只有當我們了解了康託爾在無窮集合的研究中究竟做了些什麼後才會真正明白他工作的價值所在，也會明了眾多反對之聲的由來。

伽利略悖論

數學與無窮有著不解之緣，但研究無窮的道路上卻布滿了陷阱。在被譽為「無窮交響樂」的微積分的產生、發展歷史中，我們已經對此有所領略。下面，我們將跟隨康託爾踏上另一條同樣充滿著令人不解的悖論與困惑的無窮之路。

我們從一個問題開始：全體自然數與全體正偶數，誰包含的數更多？

一方面，我們任取一個自然數，只要讓這個數乘以2，就一定有一個與之對應的正偶數，反之也成立。兩者之間存在一一對應的關係。這樣看來，似乎兩者的元素個數應是相同的。另一方面，常識告訴我們：全體大於部分。既然所有的正偶數是在所有的自然數裡去掉那些正奇數以後才得到的，理所當然的，作為全體的自然數要多於作為部分的正偶數。那麼，究竟兩者一樣多呢，還是自然數多？

在歷史上，人們曾多次被這類問題所困擾。公元5 世紀，拜佔庭的普羅克拉斯是歐幾裡得《幾何原本》的著名評述者。他在研究直徑分圓問題時注意到，一根直徑分圓成兩部分，兩根直徑分圓成4 部分，n 根直徑分圓成2n 部分。因此，由直徑數目組成的無限集合與所分成的圓部分的數目組成的無限集合在元素上存在著一一對應的關係。但另一方面，從常識看，兩者的數目看起來並不一樣。普羅克拉斯的困境正是我們上面所提到的自然數全體與正偶數全體誰多的問題。

中世紀，又有人注意到，把兩個同心圓上的點用公共半徑聯接起來，就構成兩個圓上的點之間的一一對應關係。因為對於大圓上的任意一點，通過公共半徑，總可找到小圓上的一點與它對應；反之，對於小圓上的任何一點，通過公共半徑，總可找到大圓上的一點與它對應。這樣分析，大小圓上的點應一樣多。然而，常識會讓人認為大小兩圓上的點不可能是一樣多的。

更為人所熟知的是伽利略提到的類似事實。在1636 年完成的著名著作《兩門新科學的對話》一書中，伽利略注意到：所有自然數與自然數的平方可以建立一個一一對應關係。這似乎意味著：平方數與自然數一樣多。然而，常識卻告訴我們：自然數比平方數要多許多。這一矛盾通常稱為「伽利略悖論」。

為了避免這類悖論的出現，人們採取了迴避的態度。如伽利略在無法解釋自己的發現後得出的結論是：因此我們不能說自然數構成一個集合。也就是說，他的解決方案是：否認「自然數全體」這類說法，即否認實無限的存在。因為承認會導致不合常識的悖論。確實，通過前面的許多介紹，我們對人類在解決問題中經常會使用的這種方法不再陌生。當人們面對無法解決的問題時，一種類似條件反射的解決方案就是：迴避它。只有在完全無法迴避的時候，才有人能夠突破舊的觀念，提出解決問題的新方案。

在伽利略提出他的悖論兩個多世紀以後，康託爾重新考慮了這個似乎陷入邏輯死胡同的二難推理問題。事實上，問題的焦點集中在：整體一定大於部分。對實無限的肯定被這一觀念的巨石擋住了。怎麼辦？難道我們不能反其道而行之嗎？只要我們接受「部分能夠等於整體」的觀點，不就解決問題了嗎？如果接受了這一新觀念，那麼實無限的觀念也就掃清了障礙。看上去，似乎解決問題之道也並不難。真得不難嗎？只要想想歷史上人類為了邁出這一步，花費了多長時間就會明白，要更新一個舊觀念是何等困難的事情。

「可以通過一一對應的方法來比較兩個集合的元素多少；實無限是一個確實的概念。」

康託爾依據這兩個基本前提，以一種貌似天真的方法，顛覆了前人傳統的觀念，創立了最令人興奮和意義十分深遠的理論。這一理論引領我們進入了一個難以捉摸的奇特世界。

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內容簡介：本書介紹數學中的三大悖論（畢達哥拉斯悖論、貝克萊悖論、羅素悖論）與三次數學危機，以時間為序，以環環相扣的數學家軼事為綱，帶大家了解數學發展史，理解悖論的巨大作用，以及認識歐幾裡得幾何、無理數、微積分、集合論等的來龍去脈。書中穿插大量數學家的逸事，融知識性與趣味性於一體。本書這一版專門添加附錄介紹了哥德爾證明。

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