在數學歷史上，有三次大的危機深刻影響著數學的發展，三次數學危機分別是：無理數的發現、微積分的完備性、羅素悖論。
第一次數學危機
第一次數學危機發生在公元400年前，在古希臘時期，畢達哥拉斯學派對「數」進行了定義，認為任何數字都可以寫成兩個整數之商，也就是認為所有數字都是有理數。
但是該學派的一個門徒希帕索斯發現，邊長為「1」的正方形，其對角線「√2」無法寫成兩個整數的商，由此發現了第一個無理數。
畢達哥拉斯的其他門徒知道後，為了維護門派的正統性，把希帕索斯殺害了，並拋入大海之中，看來古人也是解決不了問題時，先解決提出問題的人。
即便如此，無理數的發現很快引起了一場數學革命，史稱第一次數學危機，這危機影響數學史近兩千年的時間。
第二次數學危機
微積分是一項偉大的發明，牛頓和萊布尼茨都是微積分的發明者，兩人的發現思路截然不同；但是兩人對微積分基本概念的定義，都存在模糊的地方，這遭到了一些人的強烈反對和攻擊，其中攻擊最強烈的是英國大主教貝克萊，他提出了一個悖論：
從微積分的推導中我們可以看到，△x在作為分母時不為零，但是在最後的公式中又等於零，這種矛盾的結果是災難性的，很長一段時間內數學家都找不到解決辦法。直到微積分發明100多年後，法國數學家柯西用極限定義了無窮小量，才徹底解決了這個問題。
第三次數學危機
數學家總有一個夢想，試圖建立一些基本的公理，然後利用嚴格的數理邏輯，推導和證明數學的所有定理；康託爾發明集合論後，讓數學家們看到了曙光，法國科學家龐加萊認為：我們可以藉助結合論，建造起整座數學大廈。
正在數學家高興之時，英國哲學家、邏輯學家羅素，提出了一個驚人的悖論——羅素悖論：
羅素悖論通俗描述為：在某個城市中，有一位名譽滿城的理髮師說：「我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。」那麼請問理髮師自己的臉該由誰來刮？
羅素悖論的提出，引發了數學上的又一次危機，數學家辛辛苦苦建立的數學大廈，最後發現基礎居然存在缺陷，數學家們紛紛提出自己的解決方案；直到1908年，第一個公理化集合論體系的建立，才彌補了集合論的缺陷。
雖然三次數學危機都已經得到了解決，但是對數學史的影響是非常深刻的，數學家試圖建立嚴格的數學系統，但是無論多麼小心，都會存在缺陷，包括後來發現的哥德爾不完備性定理。
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