「數學危機」和「音樂」有聯繫?

2021-01-17 肉橘子音樂小站

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讀研究生時有門課程叫《高等工程數學》，老師的姓名至今我還記得，他上課特別有意思，枯燥的數學課總能逗得大家哈哈大笑，第一節課老師講了三次數學危機、得了諾貝爾獎的數學家。讓我這個總逃課的人深深地記住了他。

 

數學危機

什麼是數學危機，就是數學發展中出現了現有的基礎理論無法解決甚至推翻了現有基礎理論的現象。人類歷史上一共出現了三次數學危機分別是：

1、發現了2的2次方根，推翻「萬物皆數」

2、微積分概念的合理性遭到嚴重質疑

3、集合論中的羅素悖論

大家可能會問數學危機怎麼跟音樂扯上關係呢？


圖：名畫「雅典學院」。

 

這是名畫《雅典學堂》上圖。正在一本厚書上寫字的老者，是古希臘著名的哲學家和數學家——畢達哥拉斯。他面前還有一塊黑板，記錄了畢達哥拉斯關於琴弦音高的研究成果——「五度相生律」。而這場始於琴弦的研究，卻意外引發了「第一次數學危機」。

畢達哥拉斯（Pythagoras）是哲學史上重要的人物，他大約生活在公元前580年到500年（中國的春秋時期），是一個音樂家、哲學家、數學家。如果你因此認為他會演算數學等式、譜曲或是演奏樂器，那你太天真了。從古希臘的方言上看，他是一個操著愛奧尼亞口音的人，父親可能是珠寶匠。他年少時遊歷東方世界，從埃及人那學測地、從腓尼基人那學算術、從迦勒底人那裡學天文，曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。

畢達哥拉斯在音樂界裡還有個理論叫「五度相生律」也稱「畢達哥拉斯律」是一種確定音高的方法，當時有一種樂器叫裡拉琴（Lyre）是當時宗教儀式上重要樂器。簡單點說就是，琴弦的頻率反比於琴弦的長度，琴弦的長度比為整數時恰好給人和諧的感覺，於是畢達哥拉斯發現了琴弦長度比為3:2和4:3這樣和諧音，分別是純五度和純四度。通過推導可知9:4是五度的五度就是大九度降低一個純八度為大二度既9:8。按照這樣的方式可以推算出12個音，於是乎他便漸漸提出了 「萬物皆數」這樣的思想，同時也成為了該學派的哲學基石。他所說的數僅指整數。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。


在這個學派的信仰下，有一個成員希帕索斯思考了一個問題：邊長為1的正方形的對角線呢？他發現這個值既不能用整數，也不能用分數表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數根號2的誕生。它的出現，卻在當時的數學界引起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使派內人員恐慌。它的出現與我們認知的常識出現了衝突上：任何量，在任何精確度的範圍內都可以表示成有理數。這不但是古希臘人們普遍信仰，就是在今天，測量技術已經高度發達的我們，這個斷言也是被認可的！可是我們認知的常識性論斷居然被小小的根號2的給推翻了！多麼荒謬啊！最糟糕的是，面對這一荒謬事實，人們竟然毫無辦法。這就在當時導致了人們認知上的危機，進而引起了西方數學史上一場大的風波，史稱「第一次數學危機」。

正是這次危機誕生了「無理數」的概念，有了無理數的理論基礎，人們研究出一種均等的律制——十二平均律，也叫「十二等程律」,是現在世界上通用的音程律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等。十二平均律是將一個八度音（相差2倍頻率的音）平均分成12分，相鄰兩個音頻率比值為2開12次方。它的純五度音程的兩個音的頻率比（即2 的7/12 次方）與1.5 非常接近，人耳基本上聽不出「五度相生律」和「十二平均律」的五度音程的差別。但是大型交響樂團中如果採用「五度相生律」調音便會出現很多問題。下表是兩種律制的頻率誤差表。

序號

區間名稱

音程名稱

是否協和

五度相生律

十二平均律

誤差

0

純一度音

C-C

是

1/1=1.000

2的12分之0次方=1.000

0.0%

1

小二度音

C-Db

否

2187/2046=1.069

2的12分之1次方=1.059

0.9%

2

大二度音

C-D

否

9/8=1.125

2的12分之2次方=1.122

0.3%

3

小三度音

C-Eb

是

19683/16384=1.201

2的12分之3次方=1.189

1.0%

4

大三度音

C-E

是

81/64=1.266

2的12分之4次方=1.260

0.5%

5

純四度音

C-F

是

4/3=1.333

2的12分之5次方=1.335

0.1%

6

增四度音

C-F#

否

729/512=1.424

2的12分之6次方=1.414

0.7%

7

純五度音

C-G

是

3/2=1.500

2的12分之7次方=1.498

0.1%

8

小六度音

C-Ab

是

6561/4096=1.602

2的12分之8次方=1.587

0.9%

9

大六度音

C-A

是

27/16=1.688

2的12分之9次方=1.682

0.4%

10

小七度音

C-Bb

否

59049/32768=1.802

2的12分之10次方=1.782

1.1%

11

大七度音

C-B

否

243/128=1.898

2的12分之11次方=1.888

0.5%

12

純八度音

C-C1

是

2/1=2.000

2的12分之12次方=2.000

0.0%

按照五度相生原理如果將C音進行12次演算應該回到C，即1.5的12次方，計算結果為129.74633,而2的5次方為128，所以用五度相生律方式一圈下來會發現生成的音要比原有的音高出1.01364倍。

下圖是五度圈，也是五度相生律的常用的工具。

文章寫到這裡我又寫累了，還有很多想說的寫不下去了，哈哈，總而言之，言而總之，音樂和數學是有很多聯繫的。數學是我們研究音樂的基礎。

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