第三次數學危機及其意義

第三次數學危機及其意義內容提要第三次數學危機及其意義（人物、危機產生、危機終結及意義）第二次數學危機及其意義（人物、危機產生、危機終結及意義）第一次數學危機及其意義（人物、危機產生、危機終結及意義）

第三次數學危機及其意義一、危機產生人物1：格奧爾格·康託爾(Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6)德國數學家，集合論的創始人人物2：伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素(Bertrand Arthur William Russell，1872年-1970年)英國哲學家、數學家、邏輯學家、歷史學家、文學家人物3：布拉利·福爾蒂悖論(Burali-Forti's paradox) 義大利數學家

羅素悖論：

設性質表示"不屬於"，現假設由性質確定了一個類--也就是說""。

首先，若屬於，則是的元素，那麼具有性質，由性質知不屬於;

其次，若不屬於 ，也就是說具有性質，而是由所有具有性質的類組成的，所以屬於。

理髮師悖論：

有個理髮師說，我只為不給自己理髮的人理髮。問他應該給自己理髮嗎？

書目悖論:

一個圖書館編纂了一本書名詞典，它列出這個圖書館裡所有不列出自己書名的書。那麼它列不列出自己的書名?

康託爾悖論：

康託爾集合理論：任何性質都可以決定一個集合，這樣所有的集合又可以組成一個集合，即"所有集合的集合"(大全集)

所有的集合應該是最大的集合了，因此其基數也應是最大的，然而其子集的集合的基數按"康託爾定理"又必然是更大的，那麼，"所有集合的集合"就不成其為"所有集合的集合"

布拉利-福爾蒂悖論：

設為一切序數所組成的集合。因為按自然大小順序成一良序集，故有一序數。

由序數性質，必比中任一序數都大，但由定義，也出現在中，從而將有，這是矛盾的。

以上推出互相矛盾的命題，所以是悖論。後來就稱之為布拉利-福爾蒂悖論，也叫最大序數悖論。這些悖論的出現,動搖了本來作為整個數學大廈的基礎——集合論,自然引起人們對數學基本結構有效性的懷疑，這就是第三次數學危機二、危機終結人物1： 策梅洛（Zermelo, Ernst Friedrich Ferdinand：1871~1953)德國數學家人物2：弗倫克爾(Fraenkel, Adolf Abraham, 1891- 1965)德國數學家人物3：馮·諾依曼（John von Neumann，1903~1957），20世紀最重要的數學家之一，在現代計算機、博弈論、核武器和生化武器等諸多領域內有傑出建樹的最偉大的科學全才之一，被後人稱為「計算機之父」和「博弈論之父」。原籍匈牙利策梅洛的主要貢獻是集合論基礎，1904年發表的論文不僅解決了康託爾的良序問題，而且給出了選擇公理(也稱為策梅洛公理)，它有上百種等價形式，已應用於幾乎每一個數學分支，成為一個獨立的研究領域。1908年,策梅洛建立了第一個集合論公理系統，給出了外延、空集合、併集合、冪集合、分離、無窮與選擇等公理A.A.弗倫克爾和A.T.斯科朗又作了改進，增加了替換公理J.馮·諾伊曼進一步提出了正則公理，後經策梅洛的總結構成了著名的集合論公理系統ZF，形成了公理集合論的主要基礎。

註記1： 承認無窮集合，承認無窮基數，就好像一切災難都出來了，這就是第三次數學危機的實質

註記2： 現代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。儘管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。

註記3： 第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續著

三、數學危機及終結的意義第一次數學危機使人們發現無理數,建立了完整的實數理論,歐氏幾何也應運而生並建立了幾何公理體系第二次數學危機的出現,直接導致了極限理論、實數理論和集合論三大理論的產生和完善,使微積分建立在穩固且完美的基礎之上第三次數學危機,使集合論成為一個完整的集合論公理體系（ZFC系統）,促進了數學基礎研究及數理邏輯的現代性悖論的出現和危機的相對解決有著十分密切的關係,每一次危機的消除都會給數學帶來許多新內容、新認識,甚至是革命性的變化,使數學體系達到新的和諧,數學理論得到進一步深化和發展

第二次數學危機及其意義危機產生人物1：牛頓(Isaac Newton,1643―1727)人物2：萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日-1716年11月14日)人物3：柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）人物4：魏爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstraß，姓氏可寫作Weierstrass，1815年10月31日——1897年2月19日）微積的誕生不是嚴格按照「邏輯線路」生成的，包括牛頓和萊布尼茨本人都對微積分的那個「微小量」的處理是否合法也產生過懷疑，很快，許多人也發現了那個「微小量」在邏輯中產生的悖論具體說：「如果一個物體的運動方程是(表示位置，表示任一時刻)，那麼它在任一時刻的速率是怎樣的?」(脫離開「運動」的概念，將看作函數也可。)

求解:

第二步: 根據運動方程我們給出一段「微小」運動時間;那麼這段時間位移量就是第四步: 當這個「微小時間增量趨近於0時，我們就可以把平均速率看成瞬時速率」那麼;

得出結論: 瞬時速率，這樣，只要給出任意時刻，我們就可以很方便的求出任意時刻的瞬時速率了!

但是，以上計算出現了一個明顯的邏輯悖論--「微小量」是什麼?

「如果是0，那麼第三步中不能做分母; 如果不是0，第四步怎麼又等於0了?」

牛頓使用了「最初比與最終比」來解釋這個悖論;萊布尼茨的追隨者使用「無窮小的非0量」以求過關。但追究起來，這些說法無非是「文字花招」不但不能解決悖論，甚至帶來更多的混亂。危機終結及意義

1821年卓越的法國數學家A.L.柯西出版了著作《分析教程》(至今仍是流行的分析學教科書之一!)中成功的用現代極限理論來說明導數的本質。

「現代分析學之父」魏爾斯特拉斯又用了「」語言一舉克服了「困難」，他將極限定義如下:設函數在的某個「去心鄰域」內有定義，則任意給定一個大於0，存在一個大於0，使得當

時，不等式

成立，則稱是函數當趨近於時的極限，記成

至此!第二次數學危機算是圓滿度過。

註記： 用「靜止觀點」看，計算的是「平均速度」，用「運動觀點」看,即時的極限為「瞬時速率」。

意義1：完善了微積分的定義和與實數相關的理論系統，同時基本解決了第一次數學危機的關於無窮計算的連續性的問題，並且將微積分的應用推向了所有與數學相關的學科中。意義2：引進無窮小量概念，設某個函數(或者某個量)，當變化（變化方式或者等），的極限等於0，稱是（或者）時的無窮小量。

註記1： 無窮小量是「一個函數」，無窮小量記為, 但是必須指出自變量的變化方式！僅僅一個函數不能說它是「無窮小量」。脫離的的變化方式毫無意義。

僅僅寫

沒有意義，而寫成

也錯誤。

註記2： 設

如果

稱是的高階無窮小，或者稱是的低階無窮小，記為

註記3： 設

如果

稱是的同階無窮小（是的同階無窮小），特別地，如果

稱與是等價無窮小，記為

第一次數學危機及其意義危機產生人物1：畢達哥拉斯(Pythagoras，約公元前580年~~約前500(490)年)人物2：希伯斯(Hippasus，約公元前500年，生卒年月不詳，畢達哥拉斯(Pythagoras)的得意門生）簡單第說：第一次數學危機產生於"畢達哥拉斯學派內部的學術之爭"畢達哥拉斯學派認為：萬物皆數，一切數皆可表成整數或者整數之比畢達哥拉斯學派的一個學生希伯斯很快便發現：等腰直角三角形兩直角邊為1時，斜邊永遠無法用最簡整數比（有理數）來表示危機終結及意義產生第一個無理數，促進了幾何學的發展，使幾何學在此後兩千年間成為幾乎是全部嚴密數學的基礎，這不能不說是數學思想史上的一次巨大革命

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