辯證無限觀與第三次數學危機

哲學無限與數學無限

辯證無限觀與第三次數學危機

----論實無限的根本錯誤

 

         張   洪             

 （Email: [e-mail]）

【摘  要】本文基於以下哲學觀點開展討論：反對唯心主義，接收辯證唯物主義，在這樣的大前提下討論「有限無限問題」。本文基於黑格爾的辯證無限觀，對實無限思想進行了全面的批判。自黑格爾辯證無限思想科學地解釋了微積分中的極限概念之後，由無窮小量矛盾引起的第二次數學危機得到了徹底的解決，然而數學界並沒有吸取歷史上的經驗教訓，一直堅持唯心主義的實無限思想與方法論，這種思想最終給數學帶來了第三次危機。在本文最後，基於辯證唯物主義無限觀，作者對概括原則、最大序數悖論進行了分析，指出概括原則本質是一種實無限思想，只有將概括原則限定在潛無限之內，我們才能徹底解決第三次數學危機。

【關鍵詞】 實無限   真無限   惡無限  辯證唯物主義無限觀 無限交換悖論  概括原則

 

DialecticalInfinity and Third Mathematical Crisis

- On the fundamental error of Actual infinity

 

Zhang Hong

 

【Abstract】This paperdiscusses the problem of finity and infinity based on the philosophicalperspectives of opposing idealism and receiving dialectical materialism. Based on Hegel'sdialectical infinity view, this paper makes a comprehensive criticism of thethought of actual infinity.  AfterHegel's dialectical infinite thought scientifically explained the limit conceptin calculus, the Second Mathematical Crisis caused by the contradiction ofinfinitesimal quantity was solved thoroughly.However,the mathematics world has not learned the experience and lessons in history,has always adhered to the idealist thought and methodology of actual infinity, this thought finallybrought the third crisis to mathematics.  At the end of this paper, based on theinfinite view of dialectical materialism, the author analyzes the Principle ofComprehension and the Paradox of Maximum Ordinal Number, and points out thatthe essence of the Principle of Comprehension is a kind of actual infinity thought. Only by limiting the Principle ofComprehension to a potential infinitycan we solve the Third Mathematical Crisis completely.

【Keywords】 actual infinity,  real  infinity（genuine infinity,true infinity）, bad  infinity（wrong infinity）, the infinite viewof dialectical materialism， Infinite Exchange Paradox，the Principle of Comprehension

 

一、   無限交換悖論揭示了一個「皇帝的新裝」：無限從沒有完成過

    所謂「無限交換悖論」是指我們使用實無限思想----也就是認為無限過程可以完成的思想，我們可以將兩個等價（具有「一一映射」關係）的無限變換成相互不等價的無限。這深刻的揭露了實無限思想存在的內在缺陷，它將矛盾推移到無限遠處，可是矛盾從沒有消失。也就是說無限過程根本不可能完成，從而進一步佐證了辯證唯物主義無限觀。

    欲知無限交換悖論的詳細描述請閱讀《哲學無限與數學無限》一文的第二節（參見Zhang Hong, Zhuang Yan, 2019）。

 

二、  黑格爾（Hegel）的辯證無限觀。無限存在而不能完成

    偉大的哲學家黑格爾對「無限性、無限物」從哲學和數學等多個方面進行了深入細緻的研究，其核心思想是：承認惡無限的存在，認為惡無限不是真正的無限；認為應該放棄、超越這個「無限進展」，進而認識「無限」的本質，即通過揚棄「惡無限」而認識「真正的無限（真無限）」。與此同時，他也認為這兩種無限是相互轉化的，具有統一性；認為「無限物」具有兩種無限屬性。然而，黑格爾的「真無限」與數學中的「實無限」有著本質的區別。因此，黑格爾的無限觀本質上就是一種辯證無限觀。

（一）、黑格爾惡無限、真無限思想的本質

    對黑格爾無限思想的詳細闡述已發表在我文《哲學無限與數學無限》一文的第三節（參見Zhang Hong, Zhuang Yan, 2019）。

    關於黑格爾的辯證無限思想，我們歸納如下：有限概念的相互規定構成無限（即「真無限」），無限是「惡無限」與「真無限」的統一，是一個自在自為的存在；「真無限」離不開「惡無限」，自為存在離不開自在存在。人類對無限的認識，由可能到現實、由抽象到具體，完成從「惡無限」到「真無限」的轉變。「真無限」是現實的、具體的、完成的無限，是自為的存在和理性的存在，是完成了的質；而「惡無限」是可能的、抽象的、不可完成的無限，是自在的存在和知性的存在。真無限與惡無限的區別反映了辯證法的理解與形上學的理解之間的對立。真無限、惡無限都是無限性的基本形式，黑格爾提出真無限包含並揚棄惡無限的這一深刻辯證結論，力求具體地、現實地把握無限性，反對對它作抽象的推論。從惡無限到真無限，就是從知性到理性的轉變，是人類對無限認識的巨大飛躍，也是黑格爾哲學的最高任務。

 

（二）、恩格斯對黑格爾的惡無限、真無限思想給予了高度的肯定。

    恩格斯認為無限客觀存在，認為無限純粹是由有限組成的，並認為這種矛盾不會消滅，也就是「無限過程」不可能完成。這是對「實無限」的直接否定，也是對黑格爾「惡無限」的直接肯定。

    恩格斯認為無限的東西既可以認識，又不可以認識。即「真無限」（作為無限物之間的普遍聯繫、內在關聯）可以認識、完成的，而「惡無限」不可以認識、不可以完成。

    詳細內容請參見我文《哲學無限與數學無限》一文的第四節（參見Zhang Hong, Zhuang Yan, 2019）。

 

（三）、實無限思想與黑格爾辯證無限思想的區別

1、黑格爾的惡無限、真無限的主要特點與關係：

l  黑格爾的辯證無限觀：無限客觀存在，無限可以認識，無限進展不可以完成。「惡無限」、「真無限」是同一無限物的兩個方面、兩個屬性，誰也離不開誰；惡無限是真無限的載體，惡無限蘊含著真無限，真無限是無限的內在本質，惡無限是無限的外在表象。

l  無限物是客觀存在的。客觀物質世界中的空間、時間就是典型的無限物或無限客體。

l  惡無限：認為無限進程不可以完成，從而是一種惡的無限；

l  真無限：認為無限是「在別物中達到的自我聯繫」，是對「惡無限」的揚棄，是無限物之間的共同本質、內在聯繫或普遍性。因而認為無限是可認識、可完成。它本身是質量互變的結果，是「惡無限」的否定、揚棄，是「惡無限」的彼岸，因而是一個肯定，從而是一個更高層次上的有限事物。

2、惡無限與潛無限的主要差異：

雖然人們常常把兩者視為同一個東西，但是從哲學上講，這兩者有著根本的質的區別。「潛無限」認為無限並不客觀存在，而是一種潛在，因為無限進展完成不了；而「惡無限」認為無限客觀存在，但同時承認無限進展完成不了。所以它們具有相同點：無限進展完成不了。因此，潛無限可以看成是惡無限的一個片段，一個不斷發展變化、前進的片段，一個運動變化的量，一個不斷將惡無限「顯化」的量。

3、「潛無限」與「實無限」的異同點：

結合朱梧檟先生對這兩種無限觀的數學和哲學分析，歸納它們的不同點如下：

l  關於「無限」的客觀存在性：「實無限」認為無限客觀存在，而「潛無限」認為無限不是一種實在，因而否認無限客觀存在；

l  關於無限是否可以完成：「實無限」認為無限可以完成，反之，「潛無限」認為無限肯定不能完成。

    在「潛無限」觀者那裡，「無限」是一種潛在，處於不斷構造之中，因而不是一種實在，這顯然是用主觀世界對無限的認識的不可能性來否定無限的客觀存在性。而「無限物」作為客觀事物是真實存在的，不以人類的意志為轉移，因而「潛無限」觀犯了主觀主義的錯誤，從而是一種唯心主義的無限觀。

4、 黑格爾的真無限與實無限的主要差異：

    認真研究黑格爾的無限理論之後，顯而易見，黑格爾的「真無限」與數學中的「實無限」是完全不同的兩個概念。

l  數學中的「實無限」：認為無限客觀存在，「無限進展」可以完成，與黑格爾的惡無限直接對立，不存在辯證的統一關係，承認「實無限」就直接否定「惡無限」；

l  黑格爾的「真無限」：是指「無限物」的內在聯繫、共同本質、規律性，而不是「無限進展」是否可以完成。「真無限」是對「惡無限」的揚棄，而不是對「惡無限」的拋棄。「惡無限」、「真無限」是無限物的不同屬性，是辯證統一的，缺一不可；承認其中一個就必然要承認另外一個。因而承認「真無限」也必然承認無限的客觀存在、承認無限不可能完成。

l  兩者的共同點：都承認無限對象的客觀存在性；都是一種有限。

l  兩者的不同點：「實無限」認為無限進展可以完成，而「真無限」認為無限進展不可能完成；前者是一種唯心主義的認識論，而後者則是一種辯證的唯物主義的認識論。

    由此可見，數學中的「實無限」觀認為「無限進展」可以完成，這與黑格爾的「惡無限、真無限」思想是完全背道而馳的。

    綜上所述，「實無限」、「潛無限」都是將有限、無限對立起來，卻未能將之統一起來，實際上是延續了康德的先驗的「二律背反」思想，而黑格爾的無限觀則是將對立的有限、無限辯證地統一起來，把量的無限和質的無限結合起來考察無限，從而形成辯證的無限觀，因而是辯證唯物主義的無限觀。

 

（四）   、實無限思想的哲學本質----對實無限思想的全面批判

    「實無限」拋棄了「有限無限矛盾」，人為假設它純粹在無限過程的彼岸，人為割斷「有限」與「無限」的聯繫，因而它是一個徹頭徹尾的唯心主義的無限觀，本質上是一個有限觀。無限的存在性不等於無限的完成性，不可完成性是無限的根本屬性。

1、實無限將有限、無限對立起來，讓自己與無限過程沒有聯繫，因而是一個虛假的無限。

    「實無限」直接對「潛無限」進行否定並且沒有肯定，這樣，「有限無限矛盾」（無限過程）在它那裡就消失了；而矛盾消滅了，那就是無限的終結。黑格爾早就從辯證的角度對「有限無限矛盾」給予了闡明：「不過，無限進展只是這種矛盾的表現，不是這種矛盾的解決」（參見黑格爾，1974年，第243頁）。黑格爾還同時有力地駁斥了有限、無限對立的「二元論」，並認為這種對立的無限並不是真正的無限，而只是有限，而數學上的「實無限」就是屬於這種對立的無限，因而「實無限」不是真正的無限，而只是一個有限。我們在「實無限」這兒找不到「潛無限」（無限進展或者「惡無限」）的任何影子，而只有有限物。這種完完全全拋棄了「無限過程」的「無限」，與其說它是一個「無限」，倒不如說是一個實實在在的「有限」；因為，它拋棄了「無限過程」，也就拋棄了「有限無限矛盾」，從而讓自己變成一個徹頭徹尾的有限。

2、黑格爾強調有限和無限的統一，而「實無限」觀沒有把量的無限與質的無限結合起來，它在對「量」進行否定的同時沒有從量的否定中發現質的東西，而是把「質」的東西一同進行了否定，甚至走向了「有限的存在」的對立面，變成了一個抽象物，人為割斷「有限」與「無限」的聯繫，最終讓自己陷入虛無主義，讓自己變成與「無限過程」沒有內在聯繫的他物，也就是說，「實無限」與「無限過程」完全是兩回事。

    在黑格爾看來，真正的無限，就是「在別物中達到的自我聯繫」，就是無限物之間的共同本質、相互規定、內在聯繫或普遍性，是否定之否定，從而是一種肯定，是一種自為存在；同時，「有限的存在」是具有質的規定性，既是有限的又是可變的，既包含有肯定又包含有否定，而這種「質的規定性」（即相互規定、共同本質）是聯繫「有限」和「無限」的紐帶，即聯繫惡無限和真無限的紐帶。在「希爾伯特旅館」問題中，「實無限」者在否定「無限進展」的同時把「無限物之間的相互規定（內在聯繫）」-「沒有空餘房間」這一本質-進行了否定，而得出「存在空餘房間」這一完全相反、對立的結論。這完全違背了有限與無限的統一性，違背了惡無限與真無限的統一性。「實無限」觀認為這種紐帶並不存在，否認自身的回歸（即全盤否定而非辯證否定），把自己視為純粹在有限萬物彼岸的東西，與無限進展（惡無限）沒有內在的聯繫，從而人為地割斷了「有限」與「無限」的聯繫，最終導致了質的不統一（「實無限」的質與無限進展的質沒有統一性）、導致自身的量與自身的質的不統一，而讓「實無限」變成一個與「無限進展」、「潛無限」毫無聯繫的一個事物，變成了一個抽象物、一個他物。黑格爾分別用「直線」、「圓」來形容「惡無限」、「真無限」，而「實無限」既不是「直線」（惡無限），也不是「圓」（真無限），而是指存在一個「終極目標」（或絕對真理），並且這個「終極目標」是經歷、完成了一個「無限進展」之後可到達的目標；因而其對「無限進展」（即惡無限）不是辯證的揚棄，而是機械的、形上學的、人為的拋棄，人為割斷了與「無限進展」的聯繫，從而讓自己成為純粹在有限萬物彼岸的東西。事物的質變並不是要與原事物完全沒有聯繫、完全割斷，相反，辯證的否定是聯繫的環節，沒有聯繫的質變是不存在的。

    黑格爾要求把量的無限和質的無限結合起來考察無限，認為無限的定量並不是單純量的無窮進展，而是對自身的質的規定性（所謂「定量」就是是具有規定性的、具有界限的量，這個規定性就是界限）。而數學上的這種「實無限」沒有將量和質結合起來考察，因此其思想是遵循了康德的先驗的、主觀的、形上學的無限思想，而不是黑格爾的辯證的無限思想。因而，黑格爾堅決批判了這種「實無限」，認為這種「實無限」是虛無的「抽象物」，錯誤地把客觀存在的無限當成了完成了的、已經認識了的無限，把無限簡單地視同有限對待。他在剖析康德的二律背反思想時指出了這種「實無限」的本質：「那種理解的錯誤，在於把這樣的思想物，抽象物，如無限多的部分，當作某種真的、現實的東西；但是這種感性的意識卻不會超出經驗而達到思想的。康德對二律背反的解決，同樣只在於：理性不應該飛越到感性的知覺之上，應當如實地看待現象。這種解決把二律背反本身的內容擱在一邊，沒有到達二律背反的規定的概念的本性；這些規定，假如每一個都自身孤立起來，便都是虛無的，並且在它本身那裡，只有到它的他物的過渡，而量則是它們的統一，它們的真理也就在這種統一之中。」（參見黑格爾，1974年，第210頁）。這樣一來，「實無限」就變成了一個抽象物，它不僅越過了「無限進展（惡無限）」，也同時越過了「真無限」，從而讓自己變成了一個實實在在的「無」；因為在黑格爾看來，越過了極限就會成了無（參見黑格爾，1974年，第278頁）。

3、無限存在而不能完成

     實無限以「主觀世界產物」完全代替「客觀物質世界」本身，或者將「主觀世界產物」完全等同於、強加於「客觀物質世界」，這就從根本上否定了主觀世界與客觀世界之間的差異、矛盾。「實無限」拋棄了「有限無限矛盾」，也就拋棄了真實的無限；它將人類的思維產物強加於客觀物質無限世界身上，並與客觀物質世界相對立，因而「實無限」觀犯了與黑格爾一樣的錯誤，它又是一個徹頭徹尾的唯心主義無限觀。

    「無限可以完成」這是一種主觀世界的認識，「實無限」觀認為這就是客觀物質世界本身。恩格斯早就對這種唯心主義認識進行了無情的批判。他說到：「企圖以思維和存在的同一性去證明任何思維產物的現實性，這正是一個叫做黑格爾的人所說的最荒唐的熱昏的胡話之一」(參見恩格斯，1970年，第39-40頁)。上述論述說明，我們不能因為「有限主觀世界」與「客觀物質世界」存在「同一性」而去證明我們的思維產物-「無限過程可以完成」現實性，這實際上指出了「實無限」觀存在的致命缺陷。也就是說，「思維的無限可超越性」並不表示「客觀無限過程的可完成性」，而且「思維的無限可超越性」也從來沒有真正「完成過」；「存在的無限」決不等於「認識了的無限」。

    「無限」作為「無限個對象本身」，即作為一個「無限過程」，作為「惡無限」，是不可能完成、不可能「結束」的。但是，這並不等於說「不可以將這無限個對象（既包括完成了的有限也包括未完成的無限）看成一個整體、一個集合」，而人類事實上總是自覺、不自覺地把「無限個對象」看成是一個「整體」、一個「集合」；而這正是「無限可超越」的一面，也是「無限」在人類大腦思維中的自然的、必然的「思維結果、思維產物」，是「客觀無限世界」在「主觀有限世界」中的表象與反映，而真無限則是這種超越的結果。只是「無限」在「有限」的「人類意識」中是無法完全表達的，正由於無法「完全」表達，這才是「惡無限」或「潛無窮」的根本思想所在。

    「實無限」觀總是混淆了這兩個概念----「無限過程」（即惡無限）與「無限整體」（是一種真無限），混淆有限與無限，混淆惡無限與真無限,並用「無限整體」（「思維的無限可超越性」）這一對客觀無限世界的主體認識概念來替代「無限過程」這一認識無限物質世界的客觀過程（即用「真無限」來代替「惡無限」），把「主觀有限世界」對「無限客體」的超越性認識當成了「無限過程」本身，把「無限整體」的客觀存在性當成「無限過程」的完成性，把思維的認識產物當成人類認識客觀無限世界過程本身，用主觀認識代替客觀事物本身，從而將「有限無限矛盾」徹底否定、徹底拋棄、徹底消滅。在「實無限」觀看來，有限無限矛盾消滅了，所以就可以完成、終結一個「無限過程」；可是有限無限矛盾從來也沒有消滅過，而且永恆存在。正如恩格斯在《反杜林論》中一針見血指出的那樣：「如果矛盾消滅了，那就是無限的終結。黑格爾已經完全正確的看到了這一點， 所以他以應有的輕蔑態度來對待那些空談這種矛盾的先生們」(參見恩格斯，1970年，第48-49頁 )。因此「實無限」觀總是不斷遇到致命的打擊，不斷遇到新的矛盾、新的悖論。這正是康託（Cantor）「無限觀」的錯誤之所在。

    正是基於這種唯心主義的錯誤認識，在「實無限」觀看來，「無限」作為一群「客體」的「集合」時，即作為一個「整體」時它是可「完成」的，因為這時「無限」的本質內涵----「惡無限性」----「無限過程」已被完全拋棄，所以它是可以「完成」的（即「思維的無限可超越性」）。「實無限」觀將這種完成性當成了「無限過程可完成」，將無限的客觀存在等同於無限過程，將「真無限」的可完成性當成了「惡無限」的可完成性，用「真無限」完全替代「惡無限」，從而徹底拋棄「有限無限矛盾」，這就是「實無限」觀的錯誤本質。「存在性」是一種客觀，「完成性」是一種主觀，「實無限」觀將兩者混為一談，將惡無限的存在性等同於惡無限的完成性，因而必然走向唯物主義的反面，必然導致不可克服的矛盾。讓我們進一步舉例分析：「一條直線」作為一個「無限整體」是一種客觀存在，因而是一個肯定，是自為的存在，是完成了的質，是一個有限（即一個「真無限」），但是其「無限延展性」卻是一個「惡無限」，因而是抽象的、不可完成的，是自在的存在和知性的存在；而「實無限」觀將前者等同於後者，並用前者來代替後者（用存在性代替完成性），從而讓自己遭受致命的打擊。

這種摒棄了「無限過程」、把思維的產物強加於客觀物質世界身上的「無限觀」必然是一種反辯證唯物主義的無限觀，是一種實實在在的唯心觀。而黑格爾的無限觀正是既看到了「客觀物質世界的普遍聯繫性（真無限）」，又看到了「無限過程不可完成（惡無限）」的客觀實在性，所以它是一個科學的無限觀，是一個辯證的無限觀，因而也是一個馬克思主義的無限觀。因此，「無限」作為一個「無限過程」，是永恆不滅的，是絕對的，也是不可「完成」的；而當「無限」作為一個整體、作為一個真無限時，即摒棄了「無限過程」時，這個「無限」是可以完成的，因為此時，這個「無限」與其說是一個「無限」，倒不如說是一個實實在在的「有限」。如「自然數集N」這個概念，是一個「無限客體」，但是其摒棄了「元素之間無限過程」（惡無限性）。這種離開了「無限過程」的「無限客體」已經變成了一個單純的「概念」或「名稱」，已經完全變成了一個「有限」性的事物了，正如元語言中的一個有限對象。因此，羅素才如此肯定地說「我們必須承認有真實的無窮集合」，而事實上，我們的數學家們就是這樣幹的，而且做得成績輝煌。我們把自然數集的存在看成是人們的實際現實需要，而這正是辯證無限觀的具體體現。

恩格斯在《反杜林論》中充分批判了像杜林先生那樣將「思維產物強加於外在客觀世界身上」的荒誕觀點，有效揭示了數學的本質，認為數學必須正確反映客觀物質世界。他說，「但是在純數學中悟性絕不能只處理自己的創造物和想像物。數和形的概念不是從其他任何地方，而是從現實世界中得來的。……。和數的概念一樣，形的概念也完全是從外部世界得來的，而不是在頭腦中由純粹的思維產生出來的。……。和其他一切科學一樣，數學是從人的需要中產生的……。但是，正如同在其他一切思維領域中一樣，從現實世界抽象出來的規律，在一定的發展階段上就和現實世界脫離，並且作為某種獨立的東西，作為世界必須適應的外來的規律而與現實世界相對立」（參見恩格斯，1970年，第35-36頁）。

恩格斯對黑格爾的「絕對精神」這一唯心主義思想也進行了有力的批判。他說：「黑格爾的體系作為體系來說，是一次巨大的流產， 但也是這類流產中的最後一次。就是說，它還包含著不可救藥的內在矛盾：一方面，  它以歷史的觀點作為基本前提， 即把人類的歷史看做一個發展過程， 這個過程按其本性來說是不能通過發現所謂絕對真理來達到其智慧的頂峰的；但是另一方面， 它又硬說自己是這個絕對真理的全部內容。包羅萬象的、最終完成的關於自然和歷史的認識的體系， 是和辯證思維的基本規律相矛盾的；但是這決不排斥，反而肯定，  對整個外部世界的有系統的認識是可以一代一代地得到巨大發展的。」(參見恩格斯，1970年，第22頁) 。在這兒，恩格斯深刻批判了黑格爾那種具有「實無限」性質的「絕對真理」的思想。

我們在這兒所反對的, 正是恩格斯在《反杜林論》中所批評的杜林先生的「先驗主義」的「終結真理」；而「實無限」觀本質正是象「先驗主義」一樣的東西，它本質上是認為世界的發展、運動一定會有個「盡頭」。  而「無限」的本質從來就是指「無限的不可窮盡性」，「不可窮盡」即「無限」，「無限」即「不可窮盡」。實無限觀認為「無限」能夠「完成」，  這與客觀物質世界直接對立。

恩格斯在《反杜林論》中對這種觀點進行了進一步的批判：「如果在人類發展的某一時期，這種包括世界所有聯繫━━無論是物質的或是精神的和歷史的━━的最終完成的體系建立起來了，那麼， 人的認識的領域就從此完結， 而且從社會按照這一體系來安排的時侯起，未來的歷史進展就中斷了━━這是荒唐的想法，是純粹的胡說。這樣人們就處於矛盾之中：一方面, 要毫無遺漏地從所有的聯繫中去認識世界體系；另一方面,無論是從人們的本性或世界體系的本性來說，這個任務都是永遠不能完成的。……。我們在前面已經看到， 杜林先生是無所不在的━━在一切可能的天體之上。現在我們又看到， 他是無所不知的。他解決了科學的最終的任務， 從而封閉了一切科學走向未來的道路。」(參見恩格斯，1970年，第34頁)。

    「存在的無限」不等於「認識了的無限」，客觀的無限不等於主觀的無限，「實無限」既不是惡無限更不是真無限。關於真無限和惡無限，我們可以打一個很形象的比喻：「惡無限」就像被幽禁在封閉盒子裡面的一個「魔鬼」，如果我們不打開這個盒子，這個「魔鬼」就永遠不能出來（即無限進展永遠不能完成）。在這個比喻中，「魔鬼永遠不能出來」是一種「惡無限」，而「真無限」則是指這個事件的內在的「質的規定性」-「封閉的盒子中有一個魔鬼」；將兩者結合起來表述整個事件就是：「封閉的盒子中有一個魔鬼，但是魔鬼永遠不能出來」。前者表示事件的本質，後者表示事件運動、發展的可能，兩者相互依存但兩者並不等同。更形象的比喻，可以拿黑格爾用來形容「惡無限」的直線來具體說明：直線上的一個點在直線上自由的運動。在這個事件中，「點在直線上」代表了事件的本質、內在的質的規定性，體現了「點」與「直線」的關係，是一個真無限，而「點在直線上自由運動」則是代表「惡無限」，表明這個「點」可以達到直線上的任意一個位置，但是無論如何自由運動都不可能擺脫這條直線、都不可能改變「點在直線上」這一內在的本質。如果說上述事件的表述還有點模糊，那麼讓我們把「直線」換成一個封閉的「圓」再來進行事件的描述，上述事件就轉化為這樣的一個事件：封閉圓上的一個點在圓上自由的運動。同樣，「點在封閉的圓上」代表了事件的內在規定性，體現了「點」與「圓」的關係，代表了事件的拓撲屬性，因而是一個真無限，而「點在圓上自由運動」則是代表了「惡無限」，表明這個「點」可以在圓上任意移動，但是無論如何自由運動都不可能擺脫這個圓。也就是說，「惡無限」的結果是「真無限」，而不是「實無限」；在這兒，我們找不到「實無限」的任何影子。「實無限」自認為自己已經擺脫了「惡無限」，但仍然在無限進展中；它不是從「質」上思考無限、揚棄無限進展，而是主觀地、一廂情願地中斷無限進展，用主觀代替客觀，從而是一個自欺欺人的、唯心主義的認識論，是一種變相的「二律背反」。

我們可以處處看到恩格斯批評杜林、所要反對的正是杜林先生的「存在就是被認識了」的觀點。假若說「存在的無限」一旦被「思考」，就被「思考」為「統一的東西」━━「完成了的無限」（實無限），那也太滑稽了。   恩格斯在《反杜林論》中繼續論述：「，杜林先生就藉助『我們的統一思想』， 把存在的唯一性變為它的統一性了。因為一切思維的本質都在於把事物綜合為一個統一體，所以， 存在一旦被思考，就被思考為統一的東西， .」(參見恩格斯，1970年，第38頁)，「企圖以思維和存在的同一性去證明任何思維產物的現實性，  這正是一個叫黑格爾的人所說的最荒唐的熱昏的胡話之一。」(參見恩格斯，1970年，第39-40頁) 。這兒已經說明：「存在著的無限」一旦被「思維」並不能得到這一「思維產物」━━「完成了的無限」（實無限）━━的現實性。在這兒，恩格斯無情地批駁了「實無限」觀這種逃避「有限無限矛盾」的唯心主義的思想。

「實無限」觀把自己對「無限」的認識當成了「真實的客觀無限世界」本身，所以它必然走向了辯證唯物主義的對立面。因此，「實無限」本質是一個有限觀，它摒棄了「客觀無限世界」與「主觀世界」的差異性，否定了「主觀世界」與「客觀世界」之間的「對立統一關係」-「有限無限矛盾」（無限進展），從而否定了「主觀世界」的不斷前進性。

 

（五）、無限是一個客觀存在

  主觀世界與客觀物質世界之間的矛盾就是一個有限無限矛盾，思維和存在的關係問題同時也是一個有限無限問題。有限無限矛盾是「主客體關係」的具體體現。

    無限是一種客觀存在。時間、空間是我們無法逃避的現實的無限客體。有限的人的存在，就決定了這是一種潛無限存在，一個永不停息的過程。柏拉圖、亞里斯多德都沒有否定無限存在，只是亞里斯多德認為對有限的人類意識來說，不能現實地認識無限。

    主觀世界是一個有限世界，「有限」是「主觀世界」的一個天然屬性。客觀物質世界是一個無限世界。「有限無限矛盾」是人類在認識客觀物質世界時所面臨的一種矛盾，是此時此刻的「人類主觀世界」不能完全了解、掌握「無窮無盡」的「客觀物質世界」。

    詳細內容請參見我文《哲學無限與數學無限》一文的第六節（參見Zhang Hong, Zhuang Yan, 2019）。

 

（六）、惡無限是一個根本問題

    無論標準、還是非標準實數模型，都沒有擺脫「惡無限問題」（有限無限矛盾問題），也就是說「惡無限」是一個根本問題。

    實無限論者從來就離不開「惡無限」。其實，Cantor先生在其集合論中，一直在使用惡無限，比如說超窮序數ω的生成過程，從任一普通自然數n出發，是到達不了ω的，這就是一個惡無限。也就是說，那些堅持「實無限觀」的數學家，根本不可能離開惡無限過程。可以說，離開惡無限，就沒有Cantor的集合論。根據「第二生產原則」（second principleof generation）所生成的新數ω，這本質就是惡無限。而ω純粹在無限進程的彼岸，它無法體現自然數集N的內在本質。

    惡無限總是存在著。在非標準模型內，從有限自然數n到無限大數b是不可達的、不連續的，因為b大於一切有限自然數，因而，這個過程就是惡無限過程。即使認為從有限自然數n到b可達的，它們之間存在一個「超有限鏈條」，可是b之後又是什麼呢？這又是一個惡無限過程。這又變相的回到標準模型在無限遠處的運動情況。所以，對於非標準模型，我們可以稱之為無限遠處、無限小處的標準模型。只是，在標準模型內，我們把「很大或巨大的自然數」或「充分大的數」看成是b。這也是為什麼，人們證明了標準分析與非標準分析的等價性。

    所以黑格爾堅決反對這樣的「實無限」：有限堅持在這邊，無限堅持在那邊，與無限過程沒有任何聯繫。b、ω就是這種典型的「實無限」，有限實數與無限大是不同的兩個世界的產物，我們可以把ω看成是一條新直線的起點。

    什麼是「完成了的無窮」？從來就不是說要完成一個無限過程。在Cantor看來，這是將一個無限客體表示成一個「數」的形式，如用ω代表自然數集N={1,2,3，……}的多少。這是康託、魯濱遜、萊布尼茲的思考，但是他們都沒有離開過惡無限，而且也不可能離開惡無限。用一個數代表一個無限客體的「大小、多少」，這是他們的夢想，也是他們的良好的願望或一廂情願的理想，但總會遇到更大的無限，而且這個過程是沒有止境的，這個過程本身就是一個新的「惡無限」。這種「完成了的無限」（即「實無限」）只會讓我們得到片刻、暫時的安寧，僅僅是片刻的安寧，因為總有更大的無限等待著我們。這種觀念的錯誤在於其強調靜止而否定運動，但是有限無限矛盾永遠存在，靜止是相對的，而運動是絕對的、永恆的。

 

（七）、一一對應原則、Cantor-Hilbert對角線法本質上是一種有限性的方法。

    在Cantor的「超窮數理論」中有一個核心而基本的概念，就是「一一對應原則」，Cantor對無限的劃分就是根據「一一對應原則」作出的判斷。可是「一一對應原則」本身在「有限無限問題」上就是一個需要解釋清楚的概念，我們何以知道在有限範疇內正確的概念會在無限範疇內也正確呢？「一一對應原則」在面對無限時，就必然遇到「惡無限」這個問題，而基於這個可疑概念的對無限的等級劃分，本身就變得何其荒唐。「一一對應原則」是康託（Cantor）「實無限」思想的根基，因此基於「有限」的「一一對應原則」不能作為衡量「數學無限」間等價與否的根據。

    「一一對應原則」或「一一映射」本質上是來自於、屬於「有限」範疇內的東西，在將它推至無限範疇時，這只能是一種公理性的規定或假設，而不是事實上能「證明」或「推斷」出來的「必然」，因為我們不可能窮盡一個無限對象。從而，依賴於「一一對應原則」而建立起來的「無限之間等價性」這一概念已經是問題的中心和最值得懷疑的東西。

    有限與無限的一個重要區別還在於：有限是一個「閉區間」，有始有終，而無限是一個「開區間」，有始無終。這深刻的反映了有限範疇與無限範疇的重大區別。

    朱梧檟先生在其著作《數學與無窮觀的邏輯基礎》中，也對將「一一對應原則」應用到無限集合上進行了質疑。他指出，「一一對應原則用在無窮集合上，也是一種枚舉手續，而枚舉手續在沒有窮舉該枚舉手續之前，永遠是一種現在進行式（going），從而它所面對和指稱的必然是潛無限」（參見朱梧檟，2008年，P211）。在這篇著作的第七章的最後部分，又進一步強化了這一思想，他說，「事實上，在傳統集合論中，對於勢這一概念的建立，完全決定於『一一對應原則』，而一一對應原則的使用，除了給出一個對應規則（或對應函數）之外，剩下的就只有對集合中元素的任意遞歸枚舉了，但是任意遞歸枚舉集合之元素至多只能是一個潛無限進程，從而至多只能適用於潛無限彈性集合。康託將基於任意遞歸枚舉的一一對應原則任意應用到實無限剛性集合上是沒有根據的，特別是任意應用到不可數集合上就更無根據了，因為即使在傳統集合論觀念下，也都承認任意遞歸枚舉至多到可數無窮，既然如此，試問立足於任意遞歸的一一對應原則，又如何能去決定不可數實無窮集合的勢呢？所以用一一對應原則來決定各種各樣實無窮剛性集合的勢是很有局限性的。」（見參考文獻【16】P296.）

    關於「Cantor-Hilbert對角線法」這種具有「實無限」思想論證方法的有效性，朱梧檟先生也給出了旗幟鮮明的質疑（參見朱梧檟，2010年）。「Cantor-Hilbert對角線法」本質上與「一一對應原則」相同，也是一種潛無限性、過程性的方法，是一種不可完成的方法，不可以用來證明「實無限」（整體無限）的整體性性質。我們在處理「Hilbert旅館問題」時，如果基於同樣的實無限思想，我們將會得到「無限交換悖論」。把自然數集N作為一個整體的方法本質是一個有限性的方法，如同N的冪集定義一樣，這都是有限性、整體性的方法。

 

（八）、第二次數學危機的哲學解釋

    第二次數學危機的解決，是數學家們無意中遵循了辯證法思想而給出了極限的科學定義。然而，黑格爾基於辯證法思想分析了數學中存在的形上學困惑，對「極限」概念進行了正確的哲學闡述，從質量互變規律揭示了數學中的惡無限、真無限思想，讓我們徹底認清了「極限」的本質。

    黑格爾首先描述了形上學導致的數學困惑。「數學的無限一方面是很有興趣的，因為它將引入數學，導致了數學的擴張和偉大的結果；另一方面又是很奇怪的，因為這門科學還沒有能夠用概念（真正意義的概念）來論證無限物的使用。」（參見黑格爾，1974年，第260頁）。

    黑格爾肯定了無限小是一個過程，一個變量。黑格爾、康德反對將無限物看作為一個純粹的定量（有界限的量），看作一個最大限度，看作一定單位的已完成的數量，即反對作為一個實無限。「實無限」的本質是將無限僅僅看作為一個定量、一個限度，而不是變量。「現在無限大或無限小既然是這樣一個不再能增加或減少的東西，那麼，事實上它也就不再是定量本身了」（參見黑格爾，1974年，第263頁），「康德斥責把無限整體看作一個最大限度，看作一定單位的已完成的數量」（參見黑格爾，1974年，第264頁）,也就是黑格爾和康德認為無限大、無限小是一個變量，這與現代數學的極限理論完全一致。無限作為過程是一個變量，無限的本質是運動、變化，因此黑格爾哲學本質上是運動哲學，這充分體現了無限物的惡無限性。無限大、無限小，都是一個變量、一個無限進展，黑格爾為此解釋道：「無限的定量，作為無限大和無限小，本身就是無限的進展。作為大或小，它是定量，同時又是定量的非有。」（參見黑格爾，1974年，第257頁）、「定量在它的他物中的連續，使兩者的聯合，表現為無限大或無限小。因為無限大和無限小在自身那裡仍然有定量的規定，它們還是可變化的，沒有達到可以是自為之有的那樣絕對的規定性。」 （參見黑格爾，1974年，第244頁）。極限中的無限小量是一個變量，既不是很小的量，也不是任意小的量，而是以零為極限的變量，因而不過是正在消失中的量。無限小概念的辯證本質之所以長期認識不清，原因就在於無法正確理解量的無限裡面出現的質的環節（或質的規定性）。黑格爾在無限性問題上的驚人壯舉乃是其辯證法思想的卓越體現。

    黑格爾認為「無限的定量」既包括量的規定性（即無限進展，惡無限），又包括質的規定性（即真無限）。真無限是一個質的規定性；dx/dy之所以屬於真無限，是因為這裡已不再具有單純定量的意義。黑格爾指出，「無限的定量是一個在質的形式中的大小規定性；它的無限性必須是一個質的規定性。」 （參見黑格爾，1974年，第265頁），這兒的數學無限就是真無限 。所謂有限的表現形式（分數本身）恰恰是真無限的表現形式，而系列的無限才真正是有限的表現形式，因為它明顯地屬於無限進展之類的惡無限性。「一般地說，在變量的函數裡所引用的無限，這是真的數學的、質的無限，也就是斯賓諾莎所想的無限。」（參見黑格爾，1974年，第273頁），所以dx/dy是一個真無限。惡無限僅是一種量的規定性，它表現為純粹的定量與定量之間的矛盾運動和無限進展。而真無限，則是具有質的量規定性，它形成了量和質的矛盾運動；由於這種矛盾是內在的和必然的，所以它達到了有限和無限的真正統一（參見何建南，1983年）。所以，黑格爾得出結論：「無限的定量，作為質的規定性與量的規定性這兩個環節的統一，就是比率。」（參見黑格爾，1974年，第340頁），這個比率就是真無限，而極限概念就是這兒的「無限的定量」。 

    無限小量是正在消失中的量（即變量），既不是有（任何定量），又不是無（純粹的零），而是有與無的統一。dx,dy作為無限小量，已不再是定量了，它們的意義只在於關係，僅僅意味著環節，即dx/dy微分係數的規定；因此它們既是零又不是零，在變化過程中不為零，但是其變化趨勢是零。所以黑格爾闡述道，「dx,dy不再是定量了，也不應該有定量的意義，它們的意義只在於關係，僅僅意味著環節。它們不再是某物（被當作定量的某物），不再是有限的差分；但也不是無，不是無規定的零。在比率之外，它們是純粹的零，但是它們應該被認為僅僅是比率的環節，是dx/dy微分係數的規定」 （參見黑格爾，1974年，第275頁）。

    黑格爾認為數學的無限是真無限（指極限或dx/dy），同時嚴肅批判了形上學的無限（指惡無限）。黑格爾認為通常的形上學的無限物就是惡無限，他指出：「通常的形上學的無限物----這該是被了解為抽象的、壞的無限物」（參見黑格爾，1974年，第270頁）。黑格爾提出：在變量的函數裡的無限是一種真正的質的無限；而惡無限，是單純的否定，缺乏肯定的質的意義。黑格爾的真無限思想有助於理解極限理論中關於結果與過程、無限與有限、靜止與運動、量變與質變的辯證關係；現代微積分的極限理論，實質上體現了有限和無限的相互聯繫與轉化，體現了無限的量與無限的質的統一，體現了定量與變量的統一，體現了真無限與惡無限的辯證統一。關於數學上的這種矛盾，黑格爾對數學的無限（真無限）與形上學的無限（惡無限）進行了明確的區分，他指出：「但是從哲學的觀點看來，這個數學的無限之所以重要，因為事實上它是以真正無限的概念為基礎，比通常所謂形上學的無限高得多，人們就是從形上學的無限出發，對真無限作了許多責難。面對這些責難，數學常常只曉得用拋棄形上學的權威來自救，認為只要它一貫在自己的地基上行動，就與形上學這門科學毫不相干，也不用理睬形上學的概念。……,形上學在與數學的無限相矛盾的時候，無法否認或取消使用數學無限的輝煌結果，而數學也搞不清自己的概念的形上學，因此也搞不清那種使無限物的使用成為必需的方法的由來」（參見黑格爾，1974年，第260-261頁）。恩格斯在《自然辯證法》也闡述了數學無限（即真無限）的深刻作用，「只有微分學才能使自然科學有可能用數學來不僅僅表明狀態，並且也表明過程：運動」（參見恩格斯，1971年，第249頁）。

    黑格爾認為數學的無限在哲學上之所以重要，就在於它是建立在真正無限的基礎上，比形上學的無限高明得多。數學的無限與形上學的無限之分別，是無限性理論中的重大問題。真的數學無限是真無限，而形上學的無限則是壞的無限。形上學的無限堅持著外在的否定性（惡無限），界限始終沒有被揚棄；而真的無限堅持著內在的否定性，並且這種否定是向自身的回歸，是自身的量與自身的質的統一。量的關係的極限與消失，並不意味著質的規定的消失。黑格爾之所以強調質的比例，因為這是從有限量轉化為無限量的依據（參見溫純如，2003年）。因此，認真對待數學中的實無限觀、潛無限觀，對數學科學的健康發展至關重要。

    然而正如黑格爾所說-「人類從歷史中學到的唯一的教訓，就是人類沒有從歷史中吸取任何教訓」，人類總在不斷地重複著相同的錯誤。自100多年之前康託發明了「無限數」（基數、序數）之後，人們對無限的認識又一次陷入了唯心主義的形上學之中，從而導致了第三次數學危機的爆發。

 

（九）、無限的大小比較

    關於「無限之間的大小問題」，黑格爾給出了明確的論述。黑格爾認為無限大小是可比較的，而且只有在真無限的意義上才可以比較大小，即在無限的質的規定性意義上比較大小。僅僅處於比例中的東西不再是定量，而是質的規定，「與此相反，質的東西恰恰只是在它與一個他物相區別那樣的東西。因此，那些無限的大小不僅是可以比較的，而且只有作為比較或比例的環節」（參見黑格爾，1974年，第276頁）。比例中的兩個無限，是兩個無限進展，而它們的變化率就是一種真無限，體現了一個質的大小規定性。

    兩個不同的無限，除非我們事先知道它們之間的「關係」（即內在的質的聯繫），否則我們將無法把它們區分。如自然數集N與它的冪集P（N）存在著冪集關係，正是基於這種關係，我們才能區分它們、比較其大小。我們只能在「真無限」的意義上比較不同無限之間的大小，即在不同無限的內在質之間的聯繫上比較大小；也就是說，有內在聯繫的不同無限才可以比較大小，沒有內在聯繫的不同無限不可以比較大小，正是基於這一點，我們才認為選擇公理的正確性。

 

（十）、高度重視哲學大師維根斯坦的無限思想

    維根斯坦是20世紀最有影響力的哲學家之一，特別是他的數學哲學思想引來了曠日持久的爭論。他的無限思想主要是：他反對實無限，反對無限的客觀存在，認為無限是一種以法則表示的無限可能性而不是現實性；他反對一個無限集合與自己的子集的一一對應，反對使用康託的「對角線法」，因而是一個典型的潛無限論者。

    他否認無限的現實性。他認為無限的現實性是不能證實的，符號不能表述無限的現實性。正如他在《數學基礎研究》中所說，「它說，實無限根本不能用數學的符號系統來把握，因此它只能被描述出來而不能被表現出來。這種描述或許是以類似於下面這樣的方式將它把握住的：對於不能全部拿在手中的大量的東西，人們是通過將其打包放入箱子中的方式將其提起來的。」（參見維根斯坦，2013年，第210頁）

    他反對使用康託的「對角線法」，認為有限不能窮盡無限。「因為我們有如下正當的感覺：在能夠談論最後一個東西的地方，在那裡便不能出現『根本沒有最後一個東西』。」（參見維根斯坦，2013年，第207頁）；「（請不要忘記：數學家們有關無窮的思考畢竟都是有窮的思考。藉此我想說的是這點：它們都有一個盡頭。）」（參見維根斯坦，2013年，第228頁）

    他認為無限、有限是完全不同的範疇，無限是一種內在的規定性。他認為無限不是數字，無限不是一種同有限相競逐的量的大小，而是一種內在的規定性。他指出，「『無窮集合』和『有窮集合』是兩個不同的邏輯範疇，可以有意義地表述給一個範疇的東西不能有意義地表述給另一個範疇。」（參見維根斯坦，2013年，第206頁）。以數字π為例，數字π表達了一個與實際的觀察相伴隨的無限的規律，即數字π是一個規則。這實質上就是黑格爾的「真無限」思想。

    他認為無限是一種可能性。他認為有限與無限不是量的差別，而是一種邏輯上的區別；無限不是量也不是廣延，無限是以法則表示的無限的可能性，無限本身不可比較大小，因而其認為的這種無限可能性實際上是一個變量、一個過程（惡無限）而不是結果。因此，維根斯坦又是一個潛無限論者。

    因此，維根斯坦的無限思想基本遵循了黑格爾的辯證無限思想。他唯一的欠缺是否認無限的客觀存在，並與直覺主義者為伍但是又超越了他們。然而，他的無限思想最終沒有能夠上升到黑格爾辯證無限觀的層面，沒能把握無限作為「自為無限」---「真無限」的哲學意義。

 

（十一）、堅持辯證唯物主義無限觀

    重新定義、認識「實無限」、「潛無限」，充分吸收黑格爾的辯證無限觀思想，回歸到科學的無限觀上，即：無限客觀存在，無限可以認識，但是無限過程不可以完成，而這就是辯證唯物主義的無限觀。

    綜上所述，我們全面介紹了黑格爾的辯證無限觀，也介紹了恩格斯對黑格爾無限觀的肯定，還介紹了四種無限觀之間的區別，並全面分析了「實無限」觀的錯誤，因此現在我們可以自然總結出辯證唯物主義無限觀就是：無限客觀存在，無限可以認識，但是無限過程不可以完成；辯證唯物主義無限觀的本質就是運動和變化。具體地講就是：任何無限都是「惡無限」與「真無限」的辯證統一（統一體），它是一種客觀存在，無限性本身包含了「有限無限矛盾」，無限的客觀存在性並不代表無限過程能夠結束、完成；「真無限」就是無限事物內在的質的規定性，就是內在聯繫、規律、真理，而「惡無限」就是無限進展，沒有終止的重複、交替，深刻地體現了「有限無限矛盾」；「真無限」可以認識、完成，而「惡無限」不可以認識、不可以完成，「惡無限」（無限過程）是「有限無限矛盾」的具體表現而不是這種矛盾的解決，這就決定了「有限無限矛盾」永恆不滅；「真無限」代表了無限的質（本質），而「惡無限」代表了無限的量（運動和變化）；「真無限」離不開「惡無限」，「惡無限」是「真無限」的載體，「真無限」是「惡無限」的目標和方向。「真無限」是現實的、具體的、肯定的、積極的、理性的、完成的無限，是自為的存在和理性的存在，是完成了的質；而「惡無限」是可能的、抽象的、否定的、消極的、不可完成的無限，是自在的存在和知性的存在。

無限存在而不可完成、不可穿越，無限是一個黑洞，但是無限可以揚棄、可以超越。過程（惡無限）永遠，規律（真無限）永恆；過程是變量，規律是常量；無限不可穿越，但可以超越，超越的結果是一個真無限。無限的存在性與過程的不可完成性是完全不同的兩個概念，它們是矛盾的兩個方面，不可相互替代；正因為它們的存在，才有有限無限矛盾的存在；無限，就像一個黑洞一樣，有進無出，無窮無盡，永遠不能結束。辯證唯物主義無限觀堅持這種矛盾的不滅性，認為無限客觀存在、可以認識，但是無限過程卻不可以完成，即有限無限矛盾永恆不滅；而實無限觀則把無限的客觀存在性當成無限過程的完成性，用客觀代替主觀，用真無限代替惡無限，徹底拋棄有限無限矛盾，從而認為這種矛盾是可以終結、可以解決，因而其思想是遵循了康德的先驗的、主觀的、形上學的無限思想。

 

三、  第三次數學危機的根源與解決

    上述我們討論了「實無限觀」存在不可克服的內在矛盾，總是用有限性、機械性的「方法」去處理、對待一個個「無限性」的客體，從而帶來了一個又一個更大、更壞的「矛盾」。 我們認為第三次數學危機其本質就是「實無限」-這種「窮盡了無限」( 窮盡了一個不可窮盡的東西)───-所導致的危機。 最大序數悖論、最大基數悖論、羅素悖論都集中體現了「實無限」觀的內在矛盾。

    無限作為一種存在，不能用一種限制性的概念去定義它，如「固定的無限大」這一概念，無法描述真實的無限客體；一旦給了一個「界限」，這種無限就成為了一種有限。有限制的無限不是真的無限，而是一個有限。「實無限」是這樣的一種有限制的無限，「完成的無限」是一個有限制的無限，如最大基數、最大序數、概括原則。

    我們知道第三次數學危機是因為集合論含有悖論而導致的。其中，羅素悖論是核心。後來數學家們給出了公理化的解決方案（如ZFC集合論），但只是在形式上解決了危機，有沒有徹底解決危機不得而知，這是因為數學界沒有找準問題的癥結，沒有認識到「實無限思想」是危機的罪魁禍首，是它導致了循環判斷。

    （由於ZFC系統本身的無矛盾性至今沒有被證明，所以至今不能保證在這個系統中今後不會出現悖論，雖然在ZFC系統中能夠排除已經出現的那些集合論的悖論，並且ZFC系統應用到今天，尚未出現過其他矛盾。但是Poincaré指出：我們設置柵欄，把羊群圍住，免受狼的侵襲，但是很可能在圍柵欄時就已經有一條狼被圍在其中了。由於ZFC系統不能保證在這個系統中今後不會出現悖論，從這個意義上來說，第三次數學危機並沒有徹底解決。）

    杜國平先生在《羅素悖論研究進展》（參見杜國平，2012年）一文中對羅素悖論的原因進行了系統分析，認為導致悖論的原因不在於邏輯系統，而可能是在概括原則或集合論的基本定義上。在文《集合論-泛邏輯悖論》（參見杜國平等，2009年）指出，通常的有窮值邏輯、可數無窮值邏輯和不可數無窮值邏輯系統中，概括原則都將導致悖論。

    然而問題的根源恰恰就發生在概括原則上，因為概括原則（作為構造集合的基本原則）所依賴的哲學思想就是實無限思想。對「所有對象」的判斷就是對「完成的無限」的判斷，從而是一種實無限思想。

 

 

    在概括原則之下，其判斷對象域是沒有任何限制的。正是這種無限制的「所有對象」（實無限）導致了悖論的出現。對這種「所有」有兩種理解，一種是代表「已存在的」（實際上是一種潛無限），一種代表「已存在的」和「即將產生的」（這實際上是實無限）。顯然，悖論的出現是由於後一種理解導致的。前一種理解，認為這個判斷對象面向歷史而不是面向未來，是一種潛無限，而後一種理解則是既面向歷史又面向未來，這顯然是一種實無限的判斷。這涉及到確定一個判斷對象的標準，是對存在的判斷，還是對一個即將出現的「未來」的判斷。

    按照人類對客觀世界認知的規律、時間單向性、判斷的方向性的事實，說明我們人類思維只能對確切存在的對象進行判斷，這是知識層次性、歷史發展規律、世界是具有層次性規律確定的。這種認識規律、時間的單向性、判斷的方向性，就是一種潛無限思想。ZFC公理系統中「分離公理」的運用，本質就是將我們判斷的對象限制在「已存在的」範圍之內，即把集合的定義限制在由已知對象（已給集合）、已給性質共同確定的範圍之內。例如，它不允許一切集合的集合存在，這正是潛無限的體現。因而，ZFC公理系統能夠從根本上杜絕悖論的出現。可以說，ZFC公理集合論是一個潛無限性質的集合論，它彌補了素樸集合論的不足。

    反之，如果我們堅持後一種判斷對象標準，即將「未來的」也列入我們判斷的視野，這必然導致循環判斷，即「現在」的判斷是對「過去+未來」的判斷，從而導致羅素悖論的出現。這既是一種實無限思想，又是一種違背時間單向性原則的做法，必然給我們的認識帶來混亂。

    下面我們對最大序數悖論進行詳細分析。

    最大序數悖論，又稱布拉利·福爾蒂悖論(Burali-Forti'sparadox)。它是集合論歷史上的第一個悖論。設W為一切序數組成的集合，即W={1，2，…，ω，…}。N={1,2,3，…,n,…}是自然數集, N的序數是ω，ω大於任一自然數，並且ω不屬於N----這一點非常重要。可以看出W按序數大小順序成一良序集，按照良序集的定義，故W本身也對應著一個序數Ω，並且Ω是最大的序數，其大於W中的任一序數，但按照W的定義，我們知道Ω也出現在W中，從而將有Ω>Ω，而這是矛盾的。1897年3月28日在義大利巴洛摩數學會上，布拉利·福爾蒂(C.Burali-Forti)宣讀了一篇論文，提出了上述悖論，揭開了數學基礎第三次危機的序幕。實際上，德國數學家康託 (Cantor)早在兩年前就發現了這個悖論，只是沒有公開。

    我們知道序數定義的一般過程是一個潛無限過程，而且所有新的序數都不屬於前列，如ω不屬於N；然而人們想把這個定義序數的無限過程一勞永逸地完成、結束-這正是一種實無限思想，從而將所有的序數都定義出來，因而產生出由所有序數構成的良序集，而這個集合也對應著一個序數，那麼就帶來一個疑問：這個序數是否屬於這個序數集，從而導致了矛盾。由此可見，這個無限過程是不可能結束的。因為無限就是運動和變化，沒有限制、沒有終結，這正是潛無限（惡無限）思想。由於序數是不斷生長的，即我們不可能定義所有的序數，所謂所有序數構成的集合就成為空中樓閣，因而是不可能存在的。

    同樣而言，關於羅素悖論，應該說集合的構造必須符合「潛無限原則」，即概括原則必須遵循潛無限原則。構造是對存在的判斷（即對歷史的判斷），是面向歷史、而不是面向未來；堅持這一原則，則我們就可以清晰地解決羅素悖論問題。

    我們知道，在有限無限問題上數學基礎還存在著內在的不可調和的矛盾，如：線段是由點構成，而「點」沒有測度，而「線段」則存在測度；沒有測度的點構成了有測度的線段，這顯然是矛盾的、荒唐的。從某種程度上說，點是我們人類強加給線段的。正因為數學基礎中存在著這個內在的矛盾，從而導致了數學中的很多奇怪、荒唐的結果，從而影響了數學確定性的形象。這個問題的根本還是在於對有限無限矛盾缺少一個辯證的認識。對於點和線段的關係，我們有兩種可以接受的認識：一種是，認為「線段由點構成」，但必須承認點具有一個「無限小」（變量）的測度，即點具有既是零又不是零的測度；另一種認識是否認線段由點構成，即線段不是由點構成，線段本身是一個具有測度的、基本的數學抽象對象，點不屬於線段，點是我們強加給線段的，點僅僅是測度、位置的描述工具。這兩種解釋都能很好的解決連續、離散問題。

 因此，正確理解和把握「有限無限矛盾」、堅持對無限的辯證認識，是我們數學界、哲學界徹底解決數學危機的本質所在，對於健全數學基礎大廈也有著極大的指導意義。

 

    綜上所評，我們對無限思想進行了全面的分析，認為無限過程可以完成的「實無限」觀存在著不可克服的內在矛盾。在哲學、數學層面，黑格爾給出了符合辯證唯物主義思想的「真無限」概念（馬克思、恩格斯進一步澄清和發展了這種思想），它集中體現了無限對象內在的本質和聯繫，這是實無限思想這種較低層次的、形上學的、主觀的唯心主義的無限觀所無法相比的。我們相信，堅持辯證唯物主義無限觀，一定會給基礎數學的研究帶來更加光明的未來。

參考文獻

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【15】亞里斯多德，2016年：《形上學》，北京，商務印書館。

【16】朱梧檟，1987年：《幾何基礎與數學基礎》，遼寧教育出版社。

【17】朱梧檟，2008年：《數學與無窮觀的邏輯基礎》，大連理工大學出版社。

【18】朱梧檟，2010年：關於Cantor-Hilbert對角線論證方法的分析與研究，南京曉莊學院學報，2010年第3期。

【19】張洪，莊嚴，2019年：哲學無限與數學無限，數學教育哲學雜誌（英國），2019年第35卷。

【20】杜國平，王洪光，李娜，朱梧檟，2009年：集合論-泛邏輯悖論，北京航空航天大學學報，2009年3月，第35卷第3期。

【21】杜國平，2012年：羅素悖論研究進展，湖北大學學報（哲學社會科學版），2012年9月，第39卷第5期。