歷史上的三次數學危機

       編者按：

       2020年5月，劉長允《人類的智慧和生活》一書由商務印書館出版。這是作者歷時10年撰寫而成的「一部小百科全書式的著作」，全書共分八個篇章，對宇宙起源及發展、兩性關係實質和家庭、信仰和理想的意義、真善美的價值，都進行了深刻的揭示。全書對人類的智慧和生活作了多維度總結和探討，涉及如何處理人與自然的關係、人與人的關係、人與自身的關係，對人類前途和命運的探討，以及如何使人類生活得更加幸福快樂等問題。書中既有豐富的歷史、哲學、宗教和文學知識，也對人類在數學、物理、化學、生物等方面的成就進行了總結和概括。

       全書每論及一個問題，總是先綜合古今百家之言，然後間出己意，彰顯了作者涉獵的寬度和厚度，體現了作者對人類社會發展前景的人文關懷。作者認為，知識和科學技術只有在智慧的引領下才能為人類的生活服務，人類的認識能力是有限的，人類有永遠不能認識的事物，這對人類不一定是壞事。作者的一個重要判斷是：人類文明在進入空前繁榮的同時，也陷入了空前的危機和困境，人類只有協調一致，利用已有的全部知識和智慧，方能夠成功迎接挑戰和走出困境，從而迎來人類更加美好的明天。

       本期公眾號節選書中關於三次數學危機的內容予以推送，大小標題等為公眾號編輯所擬。

學術界有時不把數學作為自然科學，其理由可能是認為數學知識不存在於大自然之中，主要是由人類的大腦和思維創造出來的。其實，這個觀點也對也不對，大自然雖然不存在標準的圓和標準的三角形，也不存在一目了然的數學方程式，但大自然無處不呈現出各式各樣的形體和曲線，萬物之間到處是數量關係、比例關係甚至函數關係。所以，數學既存在於人類的大腦中，也蘊含在大自然的深處。人類把數學看得很神聖、很高貴，有人說數學是上帝的語言，自然之書是用數學語言寫就的；有人說數字是人類生活的開始和主宰者，是一切事物的參與者，沒有數字，一切都是混亂和黑暗的；有的說數學是科學的大門和鑰匙，數學令人思維活躍，精神升華，它燭照我們的內心，消除人們與生俱來的蒙昧與無知；有的說任何一種學科，只有在成功地運用數學時，才算達到了真正完美的地步......據說當年柏拉圖在他的學園門口，曾豎有這樣一個牌子：不懂幾何者不得入內。

要說對於數和數學之推崇，再也沒有企及古希臘的畢達哥拉斯了。畢達哥拉斯及其學派認為數是宇宙的本源，數是萬物的本質，萬物皆數，沒有數，則任何事物都是無法想像和不可能的。畢達哥拉斯學派將數量上的矛盾關系列舉出有限與無限、一與多、奇數與偶數、正方與長方、善與惡、明與暗、直與曲、左與右、陽與陰、動與靜等十對對立的範疇，其中有限與無限、一與多的對立是最基本的對立，並聲稱世界上萬事萬物都可還原為這十對對立。畢達哥拉斯學派還賦予每個自然數以特有的象徵和寓意，如「1」是萬物之母和智慧，「2」是對立否定和意見，「3」是形體和形式，「4」是正義和生成，「5」是雌雄結合和婚姻，「6」是生命和靈魂，「7」是機會，「8」是和諧和友情，「9」是理性和強大。他們還以為「10」是最完滿和美好的，因為「10」是由1+2+3+4而組成的。而「1、2、3、4」這四個數字是生成宇宙各維空間的生成元的個數：1是無維點，是其他維空間的生成元。兩個點相連可以構成一維空間的直線，3個點兩兩相連構成二維空間的三角形，而四個點兩兩相連可以生成三維空間的四面體。其實，中國古代也存在著對數的崇拜和對數學的神秘化。不僅《道德經》中說：「道生一，一生二，二生三，三生萬物。」整個《周易》和後來的易學系統，在很多方面都是圍繞著數和數之間的關係而展開論述的。如「易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。」如三才、五行、八卦、十天幹、十二地支和二十八宿，都與數字有關係。影響深遠的《河圖》和《洛書》，更是各種神秘數字的相互聯繫和作用，如「一六共宗，二七同道，三八為朋，四九為友，五十同德。天一生水，地六成之；地二生火，天七成之；天三生木，地八成之；地四生金，天九成之；天五生土，地十成之 。」萬物有生數，當生之時方能生；萬物有成數，能成之時方能成，萬物生存皆有其數定。我們今天或許會認為畢達哥拉斯和中國古人這種對數的觀念過於迂腐，並沒有多少學理和事實根據，但我們的見解也未必完全高明和正確，距離大自然的真相很難說誰更接近，宇宙間未必不是由某些單簡的數字關係來決定和左右的。數學的發展歷史是悠久和豐富多彩的。我們一般認為，人類數學的發展可以分為四個主要時期，第一個時期：數學的形成時期，從上萬年以前就已經開始了。這時期人類手指腳趾並用，逐漸學會了簡單的計算，並初步建立數學的一些概念。人類雖然已經認識了圓、方等簡單的幾何圖形，但算術和幾何還沒有分開。第二個時期：初等數學時期，也稱常量數學時期。這個時期大致從公元前5世紀開始，直到17世紀，大約持續了兩千多年。這個時期形成的數學知識，成為我們現在中學生學習的主要內容，包括算術、幾何、代數和三角。第三個時期：變量數學時期。恩格斯說：「數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學。」變量數學產生於17世紀，大體上經歷了兩個決定性的重大步驟，第一步是解析幾何的產生，第二步是微積分的產生。第四個時期：現代數學時期，大致從19世紀上半葉開始。現代數學以其原有的基礎學科代數、幾何、分析等發生深刻變化為特徵，數學本身不僅向新領域和高層次拓展，其應用也滲透到自然科學和社會科學的各個方面。現代數學的主要發展趨勢是：從單變量到多變量，從低維到高維；從線性到非線性；從局部到整體，從簡單到複雜；從連續到間斷，從穩定到分岔；從精確到模糊；計算機的使用對數學和生活產生越來越重大的影響。數學科學中有很多定理，但沒有哪一個像勾股定理那樣聲名顯赫而人人皆知；數學科學中有很多典籍，但沒有哪一部像《幾何原本》那樣影響深遠而成為整個人類的教科書。我們先談勾股定理。勾股定理可能它的用處太大了，所以大自然就基本上不加掩藏而輕易地呈送給人類。不然，為什麼人類會在兩千多年前、相互隔絕的不同文明區域幾乎都發現了勾股定理：埃及人用這個原理去建造金字塔；古巴比倫用這個原理去建造神廟；希臘人發現這個定理後則高興地殺一百頭牛聚餐來慶祝；中國先賢則用這個定理來測量太陽的高度。所謂勾股定理，其定義是直角三角的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。反之，若三角形的三條邊a、b、c滿足a²+b²=c²，則該三角形是直角三角形。勾股定理在中國也叫商高定理。據《周髀算經》中記載：「周公問於商高曰：夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？商高答曰：勾廣三，股修四，經隅五。」後來他們根據這個定理和日影的比例關係，測出太陽距大地高80000裡，當然這個數是很不準確的。勾股定理還有一個舉世皆知的學名叫畢達哥拉斯定理，因為據說畢達哥拉斯是第一個證明勾股定理的人。勾股定理有各式各樣的證明方法，據說人類已經累計有五百多種證明方法。如中國東漢趙爽用勾股圓方圖證明勾股定理，就是一種非常簡潔明了的方法，他說：勾股各自乘，並之，為弦實。開方除之，即弦。按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為黃實，加差實，亦成弦實。」勾股定理不僅可以測天量地、化圓為方，用處多多，而且它還是一個會下金蛋的鵝，很多數學分支都和它密切相關：①勾股定理的證明是論證幾何的發端；②勾股定理是歷史上第一個把數與形聯繫起來的定理；③勾股定理導致了無理數的發現；④勾股定理是歷史上第一個給出完全解答的不定方程，並引出了費馬大定理；⑤幾何即勾股，勾股定理是整個歐氏幾何的基礎定理。行文至此，使我油然想起在中學課堂上的一個小故事，當數學老師問一位姓楊的同學，為什麼a²加b²等於c²，我們這位師兄脫口而出：因為押韻和轍。這當然引起了哄堂大笑，之後這位同學並給起了個外號叫「押韻和轍」。不過，我今天思之，押韻和轍云云未必沒有道理。勾股定理既是押的天地之韻，又是和的人類之轍；勾股定理既是人造，更是天設。我們現在談談《幾何原本》。《幾何原本》是歐幾裡得總結借鑑以往幾百年古希臘數學思想的成果，天才性、創造性地撰寫的一部不朽的光輝文獻。幾千年來《幾何原本》作為數學天地裡的《聖經》，人人敬仰之，個個學習之；就是今天中小學生的教科書，仍然都是《幾何原本》裡的內容。歐幾裡得堅信物質、宇宙、空間和人的精神存在著一種超然於一切的形式聯繫，他堅信「點、線、面、角」為一切存在的始基，利用很少的自明定理、公設和定義，推演證明了400多個命題，建立了人類歷史上第一座宏偉的演繹推理的大廈。《幾何原本》共有13卷，書中有5個公設，5個定理和23個定義。《幾何原本》的五大公設是：①過兩點能作且只能做一條直線；②線段可以無限延長；③以任一點為中心可以用任意半徑畫圓；④所有直角都相等。⑤如果一條直線與另外兩條直線相交，在一側構成兩個同側內角之和小於兩直角，那麼這兩條直線無限延長時，就在同側內角和小於兩直角的那一側相交。最早將《幾何原本》翻譯介紹到中國的是明朝末年的徐光啟，為中國文明的發展做出了重大貢獻，他曾自豪的宣稱：「竊百年之後，必人人習之。」有人認為漢譯「幾何」一次，不如譯為「宇宙基本元素的數量關係」更符合《幾何原本》希臘文的原意，這都是不根之談，「幾何」之譯堪稱神來之筆，尤契合中國固有之文化和心理認同。兩千多年來人類對《幾何原本》一直奉若神明，學習它、應用它、崇拜它。但人們唯獨對《幾何原本》中的第五公設心存疑慮和異議，說這一公設看起來像一條命題，它的陳述性語言就佔了一大半，它完全應該從公設中剔除出去，它最多算是一條定理。因此，歷代都有很多數學家圍繞這第五公設作文章，或者想用更為自明的命題來代替第五公設，或者想從其他的四個公設中推導出第五公設，但耗力無數，都以失敗而告終。以至於有一位叫鮑耶·法爾卡什的數學家苦口婆心地諄諄告誡他的兒子：「你千萬不要碰第五公設問題，我知道這將帶來什麼後果。我曾經經歷過這一無底的黑暗，它熄滅了我一生的所有的光明和樂趣。我懇求你放棄第五公設的研究，我想我已經為真理做出了犧牲。我已為除去幾何學的瑕疵並使其更加純淨而奉獻了我的一生，我已經做了大量的工作，我的成果遠遠超過他人，然而我仍沒有達到令人滿意的結果。我回頭來看，深感不安，可憐自己也可憐所有的人。」當人們對《幾何原本》第五公設百思不解、百證不明之際，有些人被迫也這樣思考：可能不只是我們的邏輯和知識系統出了問題，或許本來我們生活的宇宙就有異於歐式幾何之處。大數學家高斯首先意識到了非歐幾何思想，但他礙於自己的權威身份和一貫謹慎的性格，一直不肯公開發表自己有關非歐幾何的見解，只是偶爾在私人書信裡談及，有時還鼓勵同行能發表一些非歐幾何的言論。羅巴切夫斯基是對非歐幾何誕生作出重大貢獻的學者，他在他的著作《新幾何原本》中說：「大家知道，直至今天為止，幾何學中的平行線理論還是不完全的。從歐幾裡得時代以來，兩千年來的徒勞無益的努力，促使我們懷疑在概念本身之中並非包括那樣的真實情況，它是大家想要證明的，也是可以像別的物理規律一樣單用實驗來檢驗的。最後，我肯定了我的推測的真實性，而且認為困難的問題可以完全解決了。」羅巴切夫斯基的平行公理代替了歐幾裡得平行公理，即在一個平面上，過已知直線外一點至少有兩條直線與該直線不相交。由此可演繹出一系列全無矛盾的結論，並且可以得出三角形的內角和小於兩直角。真正把非歐式幾何推向頂峰並使之體系完美的，是高斯的學生法國數學家黎曼。黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點（交點），黎曼幾何不承認平行線的存在。直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當改進的球面。非歐幾何為人類大大拓寬了空間視野，為後來的愛因斯坦的廣義相對論提供了思想基礎和數學支撐。話說到這裡，我們會更加感激歐幾裡得和《幾何原本》，在其歷經兩千多年而即將衰暮之際，卻蝶化出活力無限的新生命，放射出耀眼的新光芒！

在兩千多年的數學發展史上曾出現過三次數學危機。我們說清楚這三次數學危機，雖然不能替代整個數學發展史，但卻可以看出人類整個數學文明發展的規律和特徵。我們先來說無理數和第一次數學危機。所謂數學，當然就是指有關「數」的學問。故有人說「整數是全部數學的基礎」，也有人說「上帝創造了自然數，其餘都是人的工作」，還有人說「自然數為穩固的數學結構提供了基礎，數學的一切研究從此開始。」一部數學發展史，也是不斷深化對數認識的歷史：先知道了自然數，又知道了零和負數，又區分了整數和分數，又知道了有理數和無理數，最後又掌握了實數和負數。當然，每一個新的數的形態的認識和掌握，都是頗費周折的，有時甚至是驚心動魄的。無理數的發現就鬧出了很大的動靜。據說畢達哥拉斯的學生希帕蘇斯，有一次在根據他老師的勾股定理而研究正方形時，他突然發現正方面對角線的長不是整數與分數。而這嚴重不符合畢達哥拉斯學派的教條，畢派認為「萬物皆數」無非是整數和分數，不存在任何例外的情況。有一次全體同學在愛琴海上泛舟集合時，希帕蘇斯貿然說出了他的新發現。聽到這個可怕的消息，老師和同學們個個都目瞪口呆，並當即決定禁止將此發現說出去，洩密者死。後來希帕蘇斯掩抑不住發現真理的內心激動，還是把他的新發現透露出去了，他為此付出了生命的代價，被同學們抬著投入大海，葬身魚腹。

希帕蘇斯

人可以被淹沒在大海裡，但事實的真相不可能永久被雪藏。希帕蘇斯關於等腰直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約的新思想，很快傳遍了古希臘大地。原有的數學大廈地動山搖，數不再是只有整數和整數之比，所謂第一次數學危機爆發，人類必須奮起應對這個危機。不可通約的這些數，叫個什麼名字呢？人們心不甘情不願地蔑稱它為「無理數」。煩歸煩，對「無理數」還要認真對待和研究。很快人們在認識了後，又證明了 也都是無理數。隨著越來越多的無理數的發現，柏拉圖學派的西艾泰德斯對幾何代數中產生的無理數進行了分類，一類是在冪中可通約的無理數，另一類是在第二次冪中不可通約的無理數。有時危機就是轉機，「無理數」也成了一隻會下金蛋的鵝。第一次數學危機的爆發，從反面提醒人們有時直覺和經驗是靠不住的，必須要更加重視推理演繹和證明。從此希臘人開始從「自明的」定理出發，經過演繹推理，最終建立起完整的幾何學體系。特別是兩千多年來人類一直沒有停止對無理數的探索和追問，取得了很多意外的收穫。如16世紀的英國數學家哈裡奧特，他終生都在研究無理數，認為無理數是實實在在的數，不管能否用十進小數表示。左拉證明了e和e²是無理數，同時又給出了ex、lgx和arclgx一般是無理數的證明。1886年施圖爾在他的《一般算術教程》中得出一個有意義的結論：每一個無理數可以表達成不循環小數。這一結論反映了無理數的本質。康託爾在研究無理數時引進了一個新的數類—實數，實數包括有理數和無理數。實際上，無理數概念和體系的完善，一直到19世紀下半葉才最終由法國數學家戴德金完成。1872年，戴德金從連續性的要求出發，用有理數的「分割」來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而真正結束了無理數被認為「無理」的時代，也真正結束了持續兩千多年的數學史上的第一次大危機。

三、微積分和第二次數學危機

我們現在說微積分和第二次數學危機。微積分的發明不僅是數學史上的大事，也是整個人類文明發展史上的重大事件，它兼有自然科學和人文科學的雙重性質和內涵。對微積分的重大意義如何評價都不為過，這正如恩格斯所說：「在一切理論成就中，未必再有什麼像17世紀下半葉微積分的發現那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那正是在這裡。」微積分的產生看似因為近代工業發展和各種工程技術的需要，實際上主要是人類理性思維的成果；微積分雖然誕生在17世紀下半葉，但它的理論基礎極限思想卻已經有兩千年之久。中國古代的「一尺之棰,日取其半,萬世不竭」的說法，就是典型的極限思想。而魏晉時期的數學家劉徽，就不僅有明確的極限思想，還有用這種思想為指導的割圓術和求球體積的具體方法。劉徽在《九章算術注》中對其割圓術進行了解說，他從圓內接正6邊形開始，依次得正12 邊形，正24邊形......割得越細，正邊形的面積與圓的面積之差就越小，「割之彌細，所失彌少；割之又割以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」劉徽用這種辦法得到的圓周率，是3927/1250等於3.1416。劉徽對求球體積的設想是這樣的：在正方體內作兩個相互垂直的圓柱，並稱兩個圓柱的公共部分為「牟合方蓋」，「牟合方蓋」與其內切球球體體積之比為4：π。他還說：「觀立方之內,合蓋之外,雖衰殺有漸,而多少不掩。判合總結,方圓相纏,濃纖詭互,不可等正。欲陋形措意,懼失正理。敢不闕疑,以俟能言者。」雖堅信自己的判斷，又謙虛地留有餘地。阿基米德對窮竭法的發展應用和他的槓桿平衡理論，就和後來的微積分思想更是一脈相承。阿基米德在《論球和柱體》中指出，如果圓柱的底等於球的大圓，圓柱的高等於球的直徑，則球的表面積恰好等於圓柱的總面積的三分之二，圓柱的體積恰好等於球的體積的二分之三。而阿基米德在整個推導和積中，都處處體現著積分的思想。他的所謂在求體積中對槓桿原理的利用，實質上是含有由線組成平面圖形，由平面組成立體的思想。這種藉助「原子論」和極限思想，是從相反的角度來驗證求積的方法。阿基米德的平衡法也可以具體描述如下：把球的直徑放在X軸上，設N是它的北極，S是它的南極，且原點與北極重合。繞X軸旋轉矩形NSBA和三角形NSC，得到一個圓柱體和一個圓錐體，圓的旋轉得到球體。然後從這三個立體上切下與N的距離為X，厚為△X的豎立的薄片，這些薄片的體積近似為球體、柱體和椎體。取出球體和錐體的薄片，把它們的質心吊在點T，這兩個薄片繞N合成力矩，圓錐割出的薄片處於原來位置時繞N的矩形的四倍。把所有這樣割出的薄片繞N的力矩加在一起，由此求出球的體積。阿基米德非常鍾情於自己有關圓柱和球形的高論，他希望死後在他的墓碑上能刻上一個內切於圓柱的球的圖案。

所謂微積分，它是積分學和微分學的簡稱。積分學是要解決「求積問題」，包括求平面圖形的面積和曲面包圍的體積，當然還有靜學中計算物體重心和液體壓力；微分學則是要解決做曲線切線的問題，還有求函數的最大、最小值問題，這正如馬克思所說：「全部微分學本來產生於求任意一條曲線上任何一點的切線問題。」現在，舉世公認微積分是由牛頓和萊布尼茲共同發現的，雖然這兩位大哲之間還曾有過關於微積分發明的優先權之爭。我們這裡要特別指出的是，在牛頓和萊布尼茲之前，積分和微分的思想都已經發展比較成熟，很多科學家都走到了微積分發明的門檻，對微積分或是失之交臂，或是呼之未出。這些科學家主要是：克卜勒、卡瓦列利、費馬和巴羅。如卡瓦列利認為：線是由點構成的，就像鏈條由珠子穿成一樣；面是直線構成的，就像布由線織成的一樣；立體是由平面構成的，就像是書由每一頁積累而成的一樣。卡瓦列利把幾何圖形看成比它低一維的幾何元素所構成的，不可分之是對原圖度量的否定，在這個意義下可認為是「零」，但它又是構成原圖的基本單元，在這個意義下它又是「非零」。這都是微積分的思想。費馬在處理切線和函數的極大、極小值問題時，都是先取增量，而後讓增量趨向於0，而這正是微積分的實質所在。巴羅是牛頓的老師，他曾經將崇高的劍橋大學盧卡斯講座教授席位讓賢給自己的學生牛頓。巴羅不僅提出了微分三角形的概念，他求切線的方法非常接近近現代微分學中所採用的方法，他甚至把作曲線的切線與曲線的求積聯繫起來。這就意味著，巴羅已經把微分學和積分學的兩個基本問題以幾何對比形式聯繫了起來，他離微積分的發明實際上連一步之遙也沒有了。

牛頓

牛頓對微積分的重大貢獻。牛頓微積分的起源是運動學，牛頓在《流數簡論》中藉助運動學中描述的連續量及其變化率闡述他的流數理論。牛頓把曲線f（x，y)=0看作沿X軸與Y軸運動的點的軌跡，動點的坐標X、Y是時間的函數，X表示動點的水平速度分量；Y表示垂直速度的分量。他把X與Y隨時間變化的「流動速度」稱作「流數」，實際上就是X和Y對t的導數。牛頓還提出已知X、Y之間的關係f（x，y）=0,求流數X、Y之間的關係f（x，y）=0，求流數X、Y之間的關係；反過來也一樣，已知X與Y/X即切線斜率之間的關係，求X、Y之間的關係。牛頓的創造性在於，他首先確定所求面積對橫坐標的變化率，再通過「反微分」求出面積。這種做法實質上就是將面積計算看作是求切線的逆過程，從而確定了這兩種運算的互逆關係。牛頓把這種互逆關係作為一般規律和概念明確地表示出來，完成了微積分的最關鍵也是最後的一步。牛頓在《運用無窮多項方程的分析學》中，還給出了函數之和的積分等於各函數積分的和的法則，並給出了無窮級數進行這積分的步驟，考慮到級數收斂和發散的區別。牛頓還提出已知一條曲線下的面積為z，m為有理數。X變化，得到無窮小量「0」，成為「瞬」，oy是面積的「瞬」。牛頓把曲線下的面積看作無窮多個面積為無限小的面積之和，為了求某一個子區間的確定的面積既定積分，可先求出原函數，再將上下限分別代入原函數而取其差。牛頓建立起了比較系統的微積分思想體系，但他在描述和推導過程中，卻存在著概念不清和自相矛盾的地方。

萊布尼茨

萊布尼茲微積分的重大貢獻。萊布尼茲在得到正弦、餘弦、反正切等函數的無窮級表達式後，並將它用於超越函數研究。他還闡述了有關微分三角形設想，並通過積分變換，得到平面曲線的面積公式。萊布尼茲給出求一條曲線繞X軸旋轉一周所形成的旋轉體表面積公式和曲線長度公式，使用了不定積分符號∫，用∫ydx表示面積，還得到分部積分公式∫vdu= uv–vdu。1675-1676年萊布尼茲得到微積分基本定理，一般表示為,而這一思想牛頓在其1666年的手稿中已有表述，所以被後人稱為「牛頓—萊布尼茲公式」。1684年萊布尼茲發表了論文《一種求極大極小和切線的新方法》，文中敘述了微分的基本理論，指出無限分割求和是微分的逆運算，廣泛使用了dx、dy符號，還給出函數乘積的微分法則，以及求d（xn）的法則等。此外，文章還給出微分法在求切線、求最大最小值和求拐點等方面的應用。1686年萊布尼茲的文章中首次出現印刷體的積分符號「∫」，從此，他一直使用符號「∫」和dx、dy來表示積分和微分。大家知道，這些符號仍為我們今天所沿用。萊布尼茲在建立他的微積分體系時，也和牛頓一樣，常常採用略去無窮小的方法，存在著概念不清的隱患。

微積分誕生之後，數學迎來了一次空前繁榮的時期，18世紀被稱為數學史上的英雄時代：人們崇拜數學，人們讚美微積分，人們學習微積分，人類靠微積分開拓並徵服了很多科學領域，把微積分廣泛應用於天文學、力學、熱學、計算、測量等各個領域，取得了累累碩果。但是，微積分思想體系本身固有的邏輯基礎不牢的癥結並沒有隨著這熱鬧的場面而消除，相反，隨著時日的推移，其先天不足更加暴露無遺，固有的邏輯矛盾變得更加尖銳。其實，微積分思想體系中隱藏著不大不小的邏輯矛盾，連它的發明者牛頓和萊布尼茲心裡也清楚，這兩位大哲也都分別進行過解釋和補救，只是都沒有從根本上解決問題。當時，有不少學者曾對牛頓、萊布尼茲的微積分提出質疑和批評，如荷蘭的物理學家紐汶蒂(B. Nieuwenty，1654-1718)就指責牛頓的流數術概念不清，說萊布尼茲的高階微分缺乏根據等。但這問題還都不夠嚴重。真正使微積遭遇打擊和難堪，引爆第二次數學危機的，是英國哲學家、神學家、牧師伯克萊（George Berkeley，1685-1753）。1734年，伯克萊重磅拋出《分析學家：致一位不信神的數學家》，矛盾主要指向牛頓也涉及萊布尼茲，在學術界和整個歐洲社會上，頓時掀起軒然大波。不管伯克萊出於什麼動機，但他的小冊子確是有理有據。伯克萊說：「流數方法是一把通用的鑰匙，當代數學家們時藉助於它來解開幾何學的，最終也是大自然的奧秘。這一方法使數學家們能夠在發現定理和解決問題方面大大超越古人。正因為如此，其發揮、應用便成為古今那些號稱深刻的幾何學家們主要的（如果不是唯一的）事業。然而這些方法究竟是否清楚，是否沒有矛盾，並且可以加以證明；或者相反，只是一種含糊的、令人反感的和不可靠的方法？我將以最公正的方式來提出這樣的質疑，以便讓你們，讓每一個正直的讀者作出自己的判斷。」伯克萊接著說：「一種推導任意次冪的流數的方法如下：設量X均勻地流動，欲求xn的流數，與x通過流動變為x+0的同時，冪xn變成（x+0）n，也就是說，使用無窮級數的方法有,而增量0與之比為。現在假設增量消失，它的最終之比將是。然而這種推理看起來是不合理和不能令人信服的。因為如果讓增量消失，亦即讓增量變為零，或者說沒有任何增量，那麼原來的關於增量存在的假設也就不能成立，而由這一假設引出的結果卻藉助於增量而得到的表達式必須保留，這種推理是站不住腳的。因為我們如果假設增量消失了，理所應當地就必須假設它們的比、他們的表達式以及由於假設其存而導出的一切東西都必須隨之消失。」他還挖苦道：「這些消逝的量是什麼呢？它們既不是有限，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們為消逝量的鬼魂嗎？」這就是著名的和讓人鬧心的「伯克萊悖論」，此論一出輿論為之大譁，連文學家伏爾泰也跟著湊熱鬧，起鬨道：「微積分是計算與度量一個其存在性是不可思議的事物的藝術。」數學又一次陷入了深深的危機之中。

有了危機，就要勇敢應戰危機。每一次危機也都是數學加快發展的時機，這次也不例外。微積分學說雖然有這樣或者那樣的毛病和漏洞，但絕大多數人都堅信它從整體上來說是正確和科學的，是有著極其重大的理論價值和應用價值的。所以，人們就從加固和完善的角度，進一步對微積分大廈做修繕之功。首先做修繕工作的是捷克數學家波爾查諾（B·Bolzano，1781-1848），他將嚴格的邏輯論證導入微積分中，在二項公式的證明中明確提出級數收斂的概念，對極限、變量等都有新的解釋。他強調：不是兩個0的商，也不是兩個消失的量之比，而是比例趨近的一個數。對微積分的主要概念重新進行論證，對走出第二次數學危機貢獻最大，恐怕要算是法國數學家柯西（A·L·canchy，1789-1857）了，他定義變量是：依次取許多互不相等的值的量；極限是：當一個變量逐次所取的值無限趨近一個定值，最終使變量的值和該值之差要多小就多小，這個定值就叫所有其他值的極限；無窮小量是：當一個變量的數值這樣地無限減小，使之收斂到極限0，稱這個變量為無窮小量；函數連續是：當變量的一個無窮小增量點產生函數自身的一個無窮小增量，則稱函數f（x）在給定限之間對於x保持連續。如果函數在含x處的任何區間上不連續，就說函數在x處不連續。柯西還為導數進行重新定義，並把導數概念和萊布尼茲的微分統一起來。柯西還嚴格地概括了「微積分基本定理」，不用直觀的面積概念而是用邏輯的思想證明了微分和積分的互逆關係。德國數學家外爾斯特拉斯（K·T·W·Weierestrass，1815-1897）在微積分大廈的修繕工程中，則扮演了收官的角色，他在柯西等人的基礎上繼續增磚添瓦，最終在歷經百年努力之後，人們渡過了第二次數學危機，微積分大廈以更完美的姿態巍然屹立。

我們現在說集合論和第三次數學危機。集合是一個原始的概念，最初是從分析數學（主要是微積分）中產生的。集合後來成為全部數學的最基本概念之一，是整個數學大廈的基礎，數學的各個分支幾乎都和集合論有關係。集合論雖然是有眾多數學家共同創造的，但學術界一般認為康託爾（Georg Cantor,1845-1918）是集合論的集大成者。康託爾有關集合論的思想主要包括以下幾個方面：①無窮是有差異的，無窮的大小也是可以比較的。康託兒從數學上嚴格證明了「無窮」也是有差別的。並非所有的集合都是相同的，而且無窮的大小也是可以比較的。無窮集合的整體可以與自身的部分構成一一對應，這就打破了統治數學界兩千多年「整體大於部分」的教條。②可數集合和不可數集合的發現。康託爾發現全體有理數集合是可數的，而實數是不可數的，他還設想在正整數和實數兩個不同的無窮集合之外，是否還有更大的無窮。康託爾還考慮能否建立平面上的點和直線上的點之間一一對應，從直覺上來說，平面上的點明顯要比線上的點多得多。但康託爾經過嚴格的論證後說：「不僅平面和直線之間可以建立一一對應，而且一般的n維連續空間也可以建立一一對應。」這就等於是說，無論線段是一寸長、一尺長，還是和赤道一樣長，上面的點數都是相同的，而且平面、立方體上所有的點數與線段所有的點數也是相等的。③超限數理論。康託爾引進了作為自然數字的獨立和系統擴充的超窮數，給出了超限基數和超限序數的定義、符號和運算。他處理了數學史上最棘手的對象——無窮集合，揭開了籠罩在無窮上的神秘面紗。他指出：一個集合，它的元素按不確定的順序排列，依此順序，存在該集合的第一個元素，而且對每一個元素，都存在一個不確定的後繼，這樣的集合稱為良序集。例如自然數集合1，2，…， n+1…為一個良序集，1是其第一個元素；n+1是n的後繼。康託爾用w表示自然數這個良序集的自然順序；而把w寫在緊跟自然數序列之後，且稱w也是一個「數」，或稱w為第一個「超窮序數」，它比所有自然數都大，是自然數序列永遠達不到的極限。

康託爾

康託爾的集合理論具有劃時代的歷史意義，它不僅使我們的數學學科建立在更加牢固的邏輯和公理系統之上，而且在代數、幾何、分析、概率論、數理邏輯等學科都有廣泛的應用，所以大數學家希爾伯特深情地說：「康託爾的集合論為我們創立了數學上最廣泛、最重要的一個部門，一個沒有人能把我們趕出去的天堂。」龐加萊甚至在1900年巴黎召開的國際數學大會宣稱：「現在我們說，數學完全的嚴格性已經達到了」。

但是，好景不長，真理無止境。人們很快發現集合論存在著理論缺陷，紛紛提出各式各樣的質疑和改造方案。其實康託爾自己也有所覺察，他預感集合論在邏輯上會要出事的，他還告訴他的朋友以後不要再講一切集合組成的集合。1902年，羅素把一個針對集合論的笑話理髮師的故事，改造成了一個所謂「羅素悖論」，使集合論中固有的邏輯矛盾凸顯出來，引發了第三次數學危機。理髮師的故事是這樣的：「有一位很牛的鄉村理髮師，宣稱他不會給村子裡任何自己刮臉得的人刮臉，但給所有不給自己刮臉的人刮臉。人們問：理髮師先生，您自己刮臉嗎？如果理髮師回答自己刮臉，那麼違背了他宣稱的約定的前半部分；如果理髮師回答不自己刮臉，那麼按照約定的後半部分，他必須給自己刮臉。理髮師陷入矛盾之中而不能自圓其說。羅素仿理髮師的故事製造的悖論是：事實上有的集合，例如26個英語字母集合=∣a, b, c,…,x, y, z∣雖然有但有的集合，例如集合α是以10個以上元素的集合為元素組成的集合，則∣1，2，3，4，…，10，11∣，∣1，2，3，4，…，10，11，12∣，…∣1，2，3，4，…，10，11，…，n,n+1∣…皆有10個以上的元素，這些集合皆β的元素，可見β的元素個數也超過10個，故寫B∈α。可見康託爾意義下的集合，會發生集合不是自己的元素，又會發生集合是自己元素的現象。羅素構建了如下的集合B=|A|A∉ A|，其中A與B是集合的代號。羅素問道：B∈B嗎？怎麼回答呢？若B∈B，按B的定義，B∉B，矛盾；若B∉B，按B的定義，B∈B，矛盾。其中矛盾不可避免。羅素的悖論在學術界引起了恐慌和麻煩。羅素將他的發現寫信給數理邏輯學家弗雷格（G·Frege，1848-1925），弗雷格正好完成他的關於算術基礎的皇皇巨著。據說弗雷格接信後十分糾結，在其著作的末尾處頹喪地寫到：「一個科學家遇到的最不愉快DE 事莫過於，當他工作完成時，基礎卻崩塌了。當拙著的印刷即將完成時，羅素先生的信就使我陷入了這樣的境地。」

羅素悖論

基礎不牢就要加固，發現漏洞就要堵補。人們既要紮緊籬笆，又要把圈進羊群內的狼清理出。特別從20世紀到50年代左右，一大批數學家投入到加固數學基礎建設，消除數學論證中的邏輯矛盾現象，最終走出集合悖論，使數學學科建立在更加牢固的基礎之上。人們為此互相詰難，百家爭鳴，提出各式各樣的解決方案，並在數學家陣營分化出三個有代表性的派別：其一是以羅素（Russell）和懷特海（Whitehead）為代表的邏輯派，認為數學可以從邏輯推導出來，數學就是邏輯，主張把數學奠基在邏輯之上。邏輯主義者認為：數學概念都可以藉助邏輯概念由定義給出；數學定理都可以由邏輯公理用邏輯規則推出；一切數學思維最終都是邏輯思維。其二是布勞威爾（Brouwer）為代表的直覺主義學派，認為數學家主要依靠直觀和構造性的證明，主張數學的基礎只能建立在構造性的程序之上。他們強調從「存在必須被構造」的原則出發，數學家應該建立在自然數理論基礎之上。直覺主義認為數學獨立於邏輯和語言，數學的基礎在於一種經驗的原理直覺，甚至數學學科不適合使用「排中律」，因為排中律等經典邏輯規律是從有窮集抽象出來的一般規律。其三是希爾伯特（Hilbert）為代表的形式主義學派，他們強調數學是研究推理或形式推理的，數學實際上就是一個形式系統，即一個符號形式的系統，數學就是一種純粹的符號遊戲。符號就是數學的本質，它們並不代表理想和客觀的物理對象，對於這種符號遊戲的唯一要求是從形式前提推導不出矛盾就可以了。時至今日，一個多世紀已經過去了，我們說集合論存在的矛盾和問題都已圓滿地解決。但在對第三次數學危機的應戰和補救中，在曠日持久地爭辯和探討中，無疑又一次極大地推進了數學的發展和繁榮！

五、餘論：費馬、歐拉與李善蘭

數學是高智商活動，數學工作是聰明人幹的活。人類數學文化的發展，主要是靠一些天才和精英推動著。我們現在就介紹三位有代表性的數學家，使讀者在冷冰冰的數學公式之外感受一下人的體溫。

    我們先說費馬。皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat，1601-1665）法國人，他父親是個皮貨商，費馬因其母親和妻子都是穿袍貴族，自己也躋身於貴族行列。根據父親的意願和當時的擇業時尚，費馬學習法律並最終成為一個律師和公職人員。費馬在擔任議員和律師期間，雖然沒有表現出出眾的才能和政績，但因他為人忠厚老實、公正無私，所以他仕途還算順利，最後也當上了議會首席發言人，併兼任過天主教聯盟主席等職。數學對費馬來說只是業餘愛好，他生前從未發表過一篇數學作品，他的著作都是死後其兒子根據文章、信件和讀書筆記整理發表的。費馬之所以被世人稱為「業餘數學家之王」，是因為費馬對數學的造詣和對數學的貢獻，不遜色於有史以來任何一位卓越數學家。費馬獨立於笛卡爾發現了解析幾何的基本原理，用代數的方法對古希臘關於軌跡的一些失傳的證明作了補充，對圓錐曲線論進行了總結和整理，對曲線做了新的研究。費馬是微積分理論的先驅，他創造了求切線、求極大值、求極小值和定積分方法，其思想直接影響牛頓和萊布尼茲，甚至拉格朗日、拉普拉斯等人都曾稱「費馬才是微積分的真正發明者」。費馬還為概率論的創建作出了貢獻，提出了概率論的基本原則——數學期望的概念，並以賭博為例進行了推導和分析。費馬對數學貢獻最大的是在數論方面，如他提出「全部大於2的素數可分為4n+1和4n+3兩種形式」；再如「沒有一個形如4n+3的素數，能表示為兩個平方數之和」；還如「邊長為有理數的直角三角形的面積不可能是一個平方數。」費馬還發現了一對充滿故事和神秘色彩的親和數，即17296和18416。當然，使費馬享譽千秋的是他的費馬大定理。大約在1637年，費馬在閱讀丟番圖（Diophantus）《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫到：「將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次冪的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已經發現了一種美妙的證法，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。」這段話用數學的語言表達就是：當整數n＞2時，關於x、y、i的方程xn+yn=in沒有正整數解。這就是所謂的費馬大定理，也稱費馬最後的定理。費馬大猜想面世後，一浪接一浪的求證、破解熱潮持續了350多年，形成了一道斑彩壯麗和扣人心弦的歷史畫卷。說求證破解費馬大定理的歷史，從某種程度上就是一部近現代數學發展史也不過分。在這三個多世紀的求證破解隊伍裡，有數以千計的職業數學家，有數以萬計的數學業餘愛好者，甚至連歐拉、柯西和高斯這樣的數學天才，也加入到這個隊伍裡。費馬大定理看似簡單，但要想證明它卻十分困難，以致200多年過去了仍未有突破性成果。故1908年沃爾夫斯凱爾懸賞10萬馬克，獎給在2007年之前能最終證明費馬大定理的人。沃爾夫斯凱爾年輕時曾因情困一時想不開決意在午夜自殺，但在自殺前讀到某位數學家證明費馬大定理的錯誤時讓他情不自禁地計算到天明，設定自殺的時間已過，他仍然沉浸在計算和證明之中，費馬大定理讓他重生並後來成為大富豪。沃爾夫斯凱爾的懸賞，確實極大地刺激了廣大數學家和數學愛好者的求證積極性，從此每年都有數以千計的人宣稱自己證明了費馬大定理。當然這全部都是錯誤的。在求證期間，還出現了著名的英德爾猜想和古山-志村猜想，這些猜想本身都極具數學價值。費馬大定理最終於1995年，由英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）最終證明。懷爾斯對費馬大定理的成功證明震動全世界，被學術界譽為20世紀最輝煌的數學成就。費馬大定理也是一隻會下金蛋的鵝，在長期的對費馬大定理求證過程中，不僅極大的促進了數論和代數、幾何的發展，甚至很多新的數學分支都在這個過程中產生。行文至此，我不禁遐想，如果當年費馬老先生所讀的書的空白處再寬餘些，他輕而易舉地把奇妙的證明寫上去，就沒有了他身後這300多年為證明費馬大定理的熱鬧和接力賽，整個數學史也會黯然失色。歷史就是這樣，有時偶然和細節往往左右著發展的方向。

我們現在說一下歐拉。萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）是瑞士人，他與阿基米德、牛頓和高斯並稱為數學四傑。歐拉是最勤奮和高產的數學家，他的研究和探索遍布數學中微積分、數論、代數、分析等各個領域，甚至還有部分物理學、天文學和航海學的成果。《歐拉全集》共75卷，包括850多篇論文和30多本學術著作。有人以歐拉的有關微積分的三部學術著作調侃說，18與19世紀的微積分學不是直接選用這三部著作（指歐拉的《無窮小分析引論》《微分學》《積分學》），就是用那些抄襲這部書的著作，或者是「抄襲這三部書的書」的書。在數學史上稱十八世紀為「歐拉時代」。我們翻開數學教科書，數不清的歐拉公式和定理，形成一道獨此僅有的亮麗風景線：如歐拉九點共圓定理、歐拉示性數、歐拉變換、歐拉傅立葉公式、歐拉多角曲線、歐拉齊性函數、歐拉乘積、費馬-歐拉定理等等，在這眾多的歐拉公式中，以歐拉恆等式最為著名。歐拉恆等式也稱為歐拉公式，即eiπ+1=0，被學術界稱為整個數學中最卓越、最漂亮、最簡潔的公式。這個公式確實讓人著迷和遐想，它把數學裡最重要的幾個數字和符號聯繫在一起，使兩個最著名的超越性質相伴而行，熔實數與虛數於一爐，簡直就是一首絕妙的詩篇。歐拉還創立和首先使用了很多應用廣泛的數學符號，如函數符號「f(x)」、圓周率「π」、自然對數的底數「e」、-1的平方根即虛數「i」、求和「∑」等等。歐拉是一個非常淡定、執著和頑強的人，他曾是13個孩子的父親，他的很多研究成果，都是在抱著小孩子聽著大孩子的吵鬧聲中而完成的。據史料說，歐拉往往在答應去就餐，而到實際坐在餐桌吃飯的這一小段時間裡，就可以寫就一篇小論文。歐拉28歲時不幸右眼失明，在不到60歲時左眼也由衰退而最終失明。在歐拉雙目失明的最後十幾年生涯裡，他仍憑著記憶和心算，堅持數學研究，又創作了400多篇論文。歐拉還是一個高風亮節、淡泊名利、樂於助人的好人，大家都稱他為「善良的偉人」，他一生中與歐洲三百多名學者保持通信，將自己的研究成果毫無保留地告訴他們，他對誰都有求必應。他對大學生拉格朗日的賞識和一再推薦，就成為一段佳話。拉普拉斯曾向世界呼籲：「閱讀歐拉吧，閱讀歐拉吧，他是我們大家的老師！」

李善蘭

我們最後介紹一位中國的數學家李善蘭。李善蘭，原名李心蘭，字競芳，號秋紉，別號壬叔，出生於1811年，逝世於1882年，浙江海寧人。中國古代雖然也產生過一些數學家，如劉徽,祖衝之父子、僧一行、秦九韶、楊輝、李治和朱世傑等，但相對於當時其他領域裡的文化精英來說，那真是不成比例，寥若晨星。因為中國古代官方在相當長的一個時期內，並不太重視數學，數學也不是士人的進身之階，數學只屬於方技小道。這種狀況，到李善蘭所處的時代並沒有根本的改觀，而且再加上兵荒馬亂和民不聊生，所以在這種情況下能潛心數學實屬難得。李善蘭之不走科舉仕途，並不是因為他國學基礎不好，從他15歲時寫的詩來看，他還是很有文學天賦的，其詩云：「膝下依依十五秋，光陰瞬息去難留。嗟餘馬齒徒加長，爆竹驚心歲已周」，只是李善蘭更醉心於數學，且認為數學等實用學科可以服務於國計民生。據說李善蘭在九歲時，就迷戀上了《九章算術》，十四歲時就讀懂了《幾何原本》。他運用勾股定理，測量其家附近東山的高度；他在新婚之夜，竟為了鑽研數學和觀察天象，而不入洞房。李善蘭對數學事業的貢獻，一是他眾多獨創性的研究成果，二是翻譯編輯了很多西方數學書籍，三是培養造就了一批數學人才。李善蘭的數學研究成果和專著很多，如《方圓禪幽》《弧矢啟秘》《對數探源》《垛積類比》《四元解》《麟德求解》《橢圓正求解》《橢圓新術》《火器真訣》《對數尖錐變法解》《級數回術》《天算或問》等，其主要的成就是尖錐術、垛積術和素數論。他創立的「尖錐」概念，實際上是一種處理代數問題的幾何模型；對「尖錐曲線」的描述，實際上相當於給出了直線、拋物線和立方拋物線等方程。他創造的「尖錐求積術」，相當於冪函數的定積分公式和逐項積分法則。他用「分離元數法」獨立地得出了二項平方法的冪級數展開式；結合尖錐求積術，得到了π的無窮級數表達式。李善蘭從研究中國傳統的垛積問題入手，獲得了一些相當於現代組合數學中的成果。著名的「李善蘭恆等式」，從20世紀30年代已越來越受到國際學術界的重視。此外，李善蘭還證明了「費馬小定理」，且指出其逆定理不真。李善蘭翻譯的西方數學和自然科學的著作很多，有些是自己獨立完成的，有些是和別人合做的，計有《談天》《重學》《代數學》《代微機拾級》《奈端數理》（即牛頓的《自然哲學的數學原理》），他還請求曾國藩給予幫助，將自己翻譯的《幾何原本》後七卷，與徐光啟已經譯過的前六卷合在一起刊印，從此中國有了全譯本的《幾何原本》。李善蘭對外籍中的概念和術語總是字斟句酌，以力求信美，如對「函數」一詞的翻譯，真可謂神來之筆，讓人拍案叫絕！1868年李善蘭被薦任北京同文館天文算學總教習，一直到他去世為止的十多年時間裡，主要從事數學教育工作，他審定了《同文館算學課藝》《同文館珠算金躊針》等教材，培養了一大批數學人才，是中國近代數學教育的奠基人。他的同事美國人丁韙良（W.A.P.Marein）感慨地說：「是皆李壬叔先生教授之力也。嗚呼！合中西之各術，紹古聖之心傳，使算學復興於世者，非壬叔吾誰與歸?」

近一百多年數學又有長足的發展，如概率論、數理邏輯、數理統計、博弈論、分形幾何和混沌論等，都得到了完善提高和應用。特別是半個多世紀以來的計算機的產生和發展，這個比數學媽媽長得還高還大的孩子，既促進和影響著數學的發展，又深深地影響和改變著人類的生活，且都是利害參半。我不知道今後會否發生第四次數學危機，如果有，那將是「吾恐季孫之憂,不在顓臾,而在蕭牆之內也」，就不僅是數學的危機，而是需要全人類來共同面對！

摘自劉長允《人類的智慧和生活》，商務印書館2020年5月第1版，第200-225頁。