從古希臘至今，數學家們追求的目標從來都包含著嚴格的基礎。在二十世紀以前，數學經歷了極大地兩次考驗。第一個是不可度量的發現，第二個就是微積分基礎的爭論。數學史上的第二次數學危機已經基本解決。
嚴格的來說，微積分理論是以實數理論為基礎的，而嚴格的微積分理論又是以集合論為基礎的。即使集合論的相容性尚未證明，但很多人認為解決它這只是時間長短的問題。1900年在巴黎舉行的數學家大會上龐加萊這樣說道：今天我們可以宣稱，完全的嚴格性已經完全達到了！
事實真的如此嗎？那時候絕大多數數學家具有和龐加萊一樣的看法。實際上一場暴風雨正悄然而至。在第二年羅素的一個明了的集合論悖論打破了人們上述的觀點。這個悖論用一個通俗化的問題來講:村子裡有個理髮師，他只給不給自己理髮的人理髮，那麼他給不給自己理髮？
羅素的悖論不僅否定了龐加萊的「完全的嚴格性已經達到」的觀點，而且直接動搖了集合論基礎。現在人們把集合論悖論的出現和因為它出現所引發的爭論稱為第三次數學危機。那麼這次危機的出現會帶來哪些影響。
集合論悖論對數學家的震動是極大地。因為集合論已經是現代數學理論的基礎，所以集合論悖論的威脅不只局限於集合論，它遍布了邏輯和整個數學。策梅羅在1908年把第一個公理化的體系提出來，這個體系也隨著時間被不斷改進著。這樣公理化的集合論目前比較成功的消除了第三次數學危機。
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