高中數學比起初中數學來，中間有一個巨大的斷裂層，學生剛開始接觸便會感到吃力。首先接觸的是集合，這是學生們見識數學奧秘的開始。集合的概念並不難，就是把一堆元素放在一起，變成一個整體。高中階段教授的集合還比較簡單，其實集合已經滲透到了大多數數學分支中。
集合一個幾何圖形，也能視為「集合」，是由平面內所有的點形成的「點集」。一個集合加上特定的拓撲結構便能形成拓撲空間，研究它便是研究拓撲學。類似的例子數不勝數，集合思想是數學發展史上的裡程碑。
集合論思想
和微積分一樣，集合思想在古希臘時期就有數學家在使用了，不過他們是無意識的，只覺得把這些元素放到一起方便研究。也沒有人會想到，可以在這上面建立一門新的數學分支。亞里斯多德在研究數字的時候，提出自然數是潛在無窮的，不管多大都不是它的盡頭，因為永遠有個數字比它大1。
亞里斯多德支持潛在無窮當時的數學界，主流觀點便是亞里斯多德提出的「潛在無窮」，否定了「實在無窮」。兩者的差異和衝突便是第三次數學危機的導火線，說白了，兩者的分歧就是無窮大數的存在性問題。潛在無窮認為數字沒有限制，它永遠是向前延伸的。實在無窮則認為存在全體自然數，無窮大數也是整體裡的一部分。
這和微積分有點相似啊！那潛在無窮和實在無窮的問題該怎麼解決？
康託爾和集合論
微積分微積分問世後，數學界關注的焦點再次變成了無窮小量。這時候的數學家陷入了兩難的境地：
一方面認為無窮集合應該是不存在的，因為它沒辦法準確描述出來。另一方面又覺得部分應該屬於整體，那無窮大數便是全體自然數的一部分。這豈不是自相矛盾？
就連高斯也站出來了，說無窮理論還沒有完整建立，在數學中還是減少使用為好。
波爾查曼、黎曼、海涅等數學家都投入了研究無窮問題的工作中，距離集合論問世只差一層窗戶紙了。
康託爾1873年，康託爾發表了論文，集合論正式建立。主要思想是認可了實在無窮，存在全體自然數。康託爾用了6篇論文來論證集合論思想，還引入了超窮數理論和可數集。
數學家們把他的6篇論文翻了好幾遍，然後就分成了兩個派別，以克羅內克為代表的大部分數學家認為集合論是「神秘主義」，康託爾對無窮的研究是病態的，支持康託爾的數學家並不多。
羅素悖論
在研究康託爾的集合論時，數學家陸續發現它在「連續統假設」和「良序性定理」的證明上存在明顯漏洞，推翻了康託爾的證明。再之後，羅素提出了理髮師悖論：一個理髮師為全村人服務，自己不刮臉的人都來找他。
羅素那問題來了，他自己的臉怎麼辦？他要是不刮，那便應該服務自己。他要是颳了，就違背了他的原則。看似不起眼，把理髮師換成一個集合，把客人換成元素，這就動搖了集合論的根基，全體自然數真的存在嗎？
第三次數學危機就這樣來了，集合論和康託爾陷入了風暴中心。康託爾在建立集合論時對無窮理論並沒有給出明確限制，所以不少基礎性的理論都有缺陷。為了拯救集合論，拯救數理邏輯，數學家們從集合論的現有成果出發，將其公理化，給出了嚴格限制和定義。
羅素悖論的通俗表述為何他們又支持集合論呢？原因在於無窮集合，它涉及到的數學分支太多了，不解決的話數學大廈就沒辦法建立起來。全新的公理體系，意味著集合論也升華了。不過換一個公理體系，集合論便要作出調整，從這方面來看，第三次數學危機至今都沒有被完美解決。