《易簡·微哲學》:「羅素悖論」李永樂老師你搞錯了!

2021-01-14 易簡Official

最近，人大附中的高中數學老師李永樂發布了自己關於數學和物理的一些基礎科普視頻，並且在網絡大紅。在一期關於《第三次數學危機》的節目中，李老師講到了數理邏輯領域的《羅素悖論》並將羅素悖論跟大數學家康託爾的集合論聯繫在一起。其實羅素悖論根本不是針對康託爾，而是弗雷格，李永樂老師你搞錯了！



誰是弗雷格呢？ 弗雷格全名弗裡德裡希·路德維希·戈特洛布·弗雷格，是德國數學家、數理邏輯學家、哲學家。弗雷格於1869年進入耶拿大學學習，後來轉到哥廷根大學，最終取得數學哲學博士學位。在1875年他又回到了耶拿大學任講師，四年之後（1879）為助理教授，此後熬了17年，直到1896年才成為教授。弗雷格有生之年在德國學術圈可以說是不溫不火，只有一名註冊學生，但是這個學生很著名。他就是邏輯經驗主義的代表人物卡爾納普。弗雷格眾生致力於為數學建立嚴格的數理邏輯基礎，他的《算數基礎:數概念的邏輯數學研究》（Grundlage der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl.）嘗試從邏輯出發嚴格定義自然數 （0、1、n＋1），從而為代數學建立邏輯基礎。



而他的另外一部著作《算數的基本規律》則直接跟我們探討的「羅素悖論」相關。這要從弗雷格對自然數0的集合論定義說起。弗雷格將自然數0定義為所有不包含自身的集合（類）組成的集合（類）。


設這個集合為A， 則A∈{x∉x}. 那麼，問題是：「不包含自身的集合所組成的集合，包不包含自身」，也就是A∈A？還是A∉A？


如果這個集合包含自身（A∈A），那麼，因為A是不包含自身的集合組成的集合，即 A∈{x∉x}， 那麼A應該不包含自身，也就是說A∉A;

如果這個集合不包含自身 （A∉A） , 那麼，按照定義A是不包含自身的集合組成集合，即 A∈{x∉x}，那麼A應該包含自身，也就是說A∈A.

至此，著名的羅素悖論就出現了。設A∈A，則A∉A；設A∉A，則A∈A。當不包含自身的集合組成的集合包含自身，則它不包含自身；當不包含自身的集合組成的集合不包含自身，則它包含自身。


羅素在1901年就自己發現了這個悖論，並且為找不到解決方案而感到苦惱。而弗雷格恰好是在1902年出版他的《算數的基本規律》的第二版，羅素就在1902年的6月16日寫信給弗雷格，闡述了這一悖論。弗雷格讀後簡直五雷轟頂，但因為已經要交付出版，沒有充足時間思考這個悖論的解，只能不無遺憾地寫到：「一個科學家的工作完成之日，也是這一建築物的基礎倒塌之時，沒有什麼比這更糟糕了，當本書即將付梓之時，羅素先生的一封信把我置於這樣的境地。」


其實弗雷格是數理邏輯學家、或者說數學哲學家，他不是康託爾這種純粹意義上的數學家。康託爾患抑鬱症，主要是因為研究成果不被當時的學術圈認可，並且長期遭受利奧波德·克羅內克等職業數學家的攻擊批評，跟羅素悖論沒有什麼關係。其實這個羅素悖論，根本構不成現代數學的第三次危機。真正構成對邏輯主義數學哲學的致命威脅的是愛因斯坦的好朋友、著名數理邏輯學家哥德爾提出的「形式不完備性定理」。


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