小知識科普——羅素悖論

2021-01-14 二九呀



大家好,今天給大家介紹一個小知識——「羅素悖論」。

首先介紹一下羅素:伯特蘭·羅素(Bertrand Russell,1872年—1970年),二十世紀英國哲學家、數理邏輯學家、歷史學家,無神論者,也是上世紀西方最著名、影響最大的學者和和平主義社會活動家之一。

悖論是表面上同一命題或推理中隱含著兩個對立的結論,而這兩個結論都能自圓其說。悖論的抽象公式就是:如果事件A發生,則推導出非A,非A發生則推導出A。


通俗一點說,如果假設命題A正確,經過推論,則得出A不正確;如果假設命題A不正確,經過推論,則得出A正確。(嘻嘻,是不是很繞啊。)




羅素悖論是關於一個數學集合問題。


設集合S是由一切不屬於自身的集合所組成,即「S={x|x ∉ S}」。(∉是「不屬於的意思」) 那麼問題是:S包含於S是否成立?
大家注意,首先,若S包含於S,則不符合x∉S,則S不包含於S;其次,若S不包含於S,則符合x∉S,S包含於S。


羅素悖論還有一些更為通俗的描述,如理髮師悖論。(沒看懂的小可愛來分析一下理髮師悖論吧~)

某理髮師發誓:「必須只給所有不給自己理髮的人理髮。」(因為有個「只」,換言之,就是「不給所有自己理髮的人理髮」)現在的問題是:理髮師該不該給自己理髮?


首先,若理髮師給自己理髮,那他就是一個「給自己理髮的人」,依其誓言「他不給自己理髮」;其次,若「他不給自己理髮」,依其誓言,他就必須「給自己理髮」  。


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    羅素羅素悖論>:由羅素發現的一個集合論悖論,其基本思想是:對於任意一個集合A,A要麼是自身的元素,即A∈A;A要麼不是自身的元素,即AA。這個悖論:缺少時間線,時間是一直向前,永不停歇、停頓的,而且時間不能回走。過去的我與現在的我與將來的我,肯定是不一樣的。如果用數學表達:A≠B,B≠A。而數學的基礎(邏輯基礎)A=B,B=A。
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  • 1901年春天,羅素發現了「理髮師悖論」
    1901年春天,羅素發現了後來被所有研習邏輯學和數學的學生熟知的「理髮師悖論」。開始時,他試圖將數學建立在邏輯學基礎上,認為可以很快輕鬆地解決該悖論提出的難題。但是到了那年末,他開始意識到,某種基本的東西出了差錯。
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  • 羅素悖論:這就是為什麼數學不能擁有一個「所有事物」的集合
    本期「哲園搬運」(不叫「哲園新聞」,我們改叫「哲園搬運」更貼切,搬運國外哲學新聞和哲普文章)先來點燒腦的,以通俗易懂(不含邏輯學符號)的方式,介紹「羅素悖論」。隨後會儘快更新「哲園原創」系列!作者Andy Kiersz試圖展示,羅素悖論是由於「樸素集合論」(naive set theory)對「集合」的模糊的、過於開放的定義所導致的;「現代公理化集合論」(modern axiomatic set theory),通過設定諸種限制,比如摒除「自含集合」(self-containing sets),則可以有效避免羅素悖論。
  • 集合論的漏洞:全體自然數和羅素悖論,第三次數學危機延續至今
    康託爾和集合論微積分微積分問世後,數學界關注的焦點再次變成了無窮小量羅素悖論在研究康託爾的集合論時,數學家陸續發現它在「連續統假設」和「良序性定理」的證明上存在明顯漏洞,推翻了康託爾的證明。再之後,羅素提出了理髮師悖論:一個理髮師為全村人服務,自己不刮臉的人都來找他。
  • 理髮師悖論及其他
    (請關注本號:特修斯之船)小城裡的理髮師放出豪言:他只為,而且一定要為城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子。
  • 羅素的 「大罪」——《數學原理》
    Development of Quantum Theory) 一書中也引述了這句話, 且跟羅素一樣 「謙虛」, 表示以罪而論, 他那部也是小書。羅素悖論使本已接近完成的《數學的原理》的出版推遲了兩年左右, 但即便如此也未能解決羅素悖論。 這一點讓羅素深感沮喪, 在給一位朋友的信中稱《數學的原理》為 「一本愚蠢的書」 (a foolish book), 甚至表示一想到為這樣一本書花費了那麼多時間就感到羞愧。
  • 邏輯主義奠基者羅素,嘗試建立數學基礎,卻遭遇龐加萊的阻擊
    1901年春天,數學界面臨著羅素悖論的挑戰,眾多的數學家感覺到數學的基礎正在他們腳下動搖。羅素悖論不僅對數學領域產生了深遠的影響,而且引起了一場認識上的混亂,時間長達10來年。羅素為此付出了卓絕的努力,並且他很大一部分精力都花在應付眾多同行的批評上了。羅素通常被認為是邏輯主義運動的奠基者,擁有很多擁護者,同時也引起了很多異議。