1901年春天，數學界面臨著羅素悖論的挑戰，眾多的數學家感覺到數學的基礎正在他們腳下動搖。羅素悖論不僅對數學領域產生了深遠的影響，而且引起了一場認識上的混亂，時間長達10來年。羅素為此付出了卓絕的努力，並且他很大一部分精力都花在應付眾多同行的批評上了。
羅素通常被認為是邏輯主義運動的奠基者，擁有很多擁護者，同時也引起了很多異議。邏輯主義者想說明：所有的純粹數學都是從純粹的邏輯前提得出來的，並只運用可以用邏輯術語定義的概念。
邏輯主義似乎在做兩方面的努力。首先，宣稱所有的數學都可以用邏輯術語來詮釋。因此，數學術語和符號就組成了一個邏輯術語和符號的有效子集。其次，宣稱所有的數學證明都可以用邏輯證明來重新表達。也就是說，數學定理可以組成邏輯定理的合理子集。
通過強調純粹數學是由邏輯的步驟組成的，羅素說：「純粹數學完全是由斷言組成的，大意是如果某某命題在某種情況下為真，那麼另一個某某命題在那種情況下也為真。」
羅素的觀點招致了批評。後來羅素寫道：「在一開始，這個論題是不受歡迎的，因為在傳統上，邏輯是與哲學和亞里斯多德聯繫在一起的，所以數學家們認為這跟他們不相干，那些認為自己是邏輯學家的人也極不願意被要求掌握一門新的有相當難度的數學技術。」
在眾多的批評人中，有一位德高望重的法國數學家朱爾斯·亨利·龐加萊。克羅內剋死後，龐加萊成為康託爾超限數學的主要反對者，而羅素的邏輯大廈主要就建立在康託爾集合論的基礎上，龐加萊對羅素的態度就可想而知了，彼此間是毫不留情。
羅素
伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素，1872年5月18日生於威爾斯的特雷克。不幸的羅素：2歲，失去母親；4歲，失去父親；6歲，失去祖父；因此主要由祖母帶大。羅素一直在家接受家庭教師的教育，直到18歲。
儘管祖母的品行好，但成年後，羅素感到很壓抑。如他所說：「在我到14歲後，我祖母的知識局限讓我很難受，她的清教徒道德規範也開始顯得有些過分。」事實上，終其一生，羅素經常發現自己陷入理智與情感的衝突之中。
十幾歲的羅素表現出了優異的智力，羅素在《自傳》中寫道：
在11歲時，我的哥哥做我的導師，開始教我歐幾裡得幾何。在我的一生中，這是一樁重大事件，像初戀一樣讓我激動狂喜。我從來沒想到，世界上還有這麼美好的東西。在學完第五命題後，哥哥告訴我通常人們認為它很難，但我發現根本就不難。第一次我突然明白我也許有些聰明。從那一刻起，直到38歲與懷特海合作完成《數學原理》，數學是我主要的興趣，也是我主要的快樂源泉。然而像其他所有的快樂一樣，它不是純粹的。有人告訴我歐幾裡得幾何裡的內容都是依據於證明，但我失望地發現它是從公理出發的。在開始的時候，如果哥哥不能給我講清楚這樣做的理由，我就拒絕接受它們。但他說：「如果你不接受它們，我們沒法續學習了。」我希望繼續學下去，於是我暫時不情願地接受了它們。當時對那些數學前提的疑惑一直伴隨著我，決定了我後來所從事研究的方向。
1890年，羅素進入劍橋大學三一學院學習數學和哲學。兩年後，被邀加入一個人數不多、人員經過精心挑選的「使徒社"，社團經常在大學裡組織聚會。對羅素有著重要影響的A·N·懷特海也是社團成員之一。羅素自認為在社團的活動是一生中在劍橋最大的快樂，甚至遠比他的成就給他的快樂多。
關於自己的早期發展，羅素寫道：
在上劍橋之前，我就已經對哲學感興趣了，但除了密爾的書，我沒有讀別的。為假設數學是對的找到一些理由，是我最大的期望。密爾的《邏輯》在這個學科上的主張給我的印象是很不完全的……除了一堆錯誤，我的數學導師從未向我說明假定微積分正確的理由……在第四學年，我讀了大部分偉大哲字家的著作，也讀了很多數學哲學上的著作。詹姆斯·沃德一直都給我這個學科最新的書看。每次我把它們還給他時，我都說它們寫得很憎糕。我清楚地記得他的失望和他為了讓我滿意而去找書所付出的艱辛努力。之後，我已經成為劍橋的一名教員了，我從他那裡得到兩本薄書，兩本書他都沒讀過，也不認為有什麼價值。它們是格奧爾格·康託爾的《集合論》和弗雷格的《概念文字》。最終，這兩本書給了我想要的依據。
很快，羅素對康託爾入了迷。在19世紀的最後幾年，羅素每天走到嶽父母在格羅斯菲那路的家去，在那裡花時間讀格奧爾格·康託爾，並把要點抄到一個筆記本裡。
羅素在校的時候，劍橋進行了一場意義深遠的變革。管理層開始認為學術研絕不僅是課後打發時間的業餘愛好，更應該是教師工作的重要組成部分。原創性的研究成果可以贏得豐厚的獎學金，在1895年，羅素因為關於幾何基礎的一篇論文獲得獎學金，並發表於1897年。
在這次成功之後，羅素開始匯集各種觀點，以對數學的基礎做一番綜合的整理，並開始思考：在少數幾個基本邏輯概念的基礎上創建數學是可能的。
邏輯主義
羅素不認為，數理邏輯甚至邏輯主義是突然從自己的腦子裡蹦出來的。其他數學家對數理邏輯和數學的基礎的審視，引導了羅素。
19世紀70年代末，德國邏輯學家、數學家、哲學家戈特洛布·弗雷格已發現大部分數學都可以由很少量的邏輯陳述推導出來，1884年，發表《算術基礎》，書中對算法公理化作了早期嘗試。可惜在很大程度上這本書被忽視了。
弗雷格相信，邏輯和數學的結合在理論上是可能的，於是他開始設計用來作為源頭和基礎的命題。到1902年，他已經將自己的成果匯總起來，並發表了《算術基礎》的第一卷。弗雷格正出版第二卷的時候，對他早期的《算術基本定律》印象極深的羅素意識到，自己的悖論在弗雷格的公理體系中產生了矛盾。羅素寫信告知弗雷格的，弗雷格極為震驚。
對弗雷格來說，由於《算術基礎》的第二卷已經印好了，很難對其再做出任何修改。因此，他加了一個附錄作聲明，聲明開頭是這樣寫的：
工作剛剛完成，其賴以維繫的根基就垮掉了，對於一位科學家來說，沒有比這更鬱悶的遭遇了。當我的書接近出版的尾聲時，伯特蘭·羅素先生的一封信就把我置於這樣的境地。
歷史記載表明：在這以後，弗雷格變得非常沮喪，甚至有了陰影，儘管主要是出於個人甚至是政治原因。直到晚年他才再次做一些為人稱道的工作，儘管不是這個領域了。1923年，弗雷格得出這樣的結論：嘗試把數學建立在邏輯的基礎上是誤入歧途。
具有諷刺意味的是，當1901年提出羅素悖論時，羅素已開始致力於邏輯主義上的《數學原理》。雖然弗雷格放棄了從邏輯中建立數學的努力，但羅素決定繼續下去，並發表了他的成果。弗雷格的第二卷雖然也發表了，但己是在10年之後，而第三卷一直都沒完成。
在《數學原理》的前言中，羅素承認：「弗雷格教授的成果，大部分都先於我，當他的現有成果開始出版時，其中的大部分我都不懂。我已經見過他的《算術基礎》，但是由於他的符號系統太難，我沒有領會它的重要性，也不懂它的內容。在這麼晚的時候，對他的成果做出適當回應的唯一辦法就是給它加上一個附錄。」換句話說，羅素認為弗雷格的路線是正確的，只是羅素悖論使弗雷格無法繼續工作了，而這個艱巨的任務就留給了羅素。同時，羅素還說：「儘管他（弗雷格）做出了劃時代的發現，但在1903年我注意到他之前，他一直完全得不到賞識。」
為數學的原理創建一個更全面的處理方法是羅素的目標，他開始更堅定地相信：純粹數學能夠建立在一小部分基本的邏輯概念上，它的命題也能從為數不多的基本邏輯原理推異出來。但對初稿，羅素並不滿意。
1900年，羅素參加巴黎召開的國際哲學大會。他後來寫道：
這次會議是我知識生命的一個轉折點，因為在這裡我遇到了皮亞諾……在大會的討論中，我發現他一直都比其他任何人更精確，在他參與的辯論中，他總是能獲勝。過了一段時間，我明白這應該是由於他精通數理邏輯。因此，我讓他把他所有的研究成果都送給我。大會一結束，我就隱退到芬赫斯特，安靜地琢磨他和他的弟子寫的每一個字。對我來說，很明顯他的符號為邏輯分析提供了一個工具，這正是我尋求多年的。
羅素很快就領會了皮亞諾的想法和內涵豐富的符號系統，並開始在此基礎上重寫他的書。
邏輯主義的面世
1903年面世的《數學原理》第一卷受到了歡迎，提出了很多支持邏輯與數學間有密切關聯的觀點。第二卷將寫入這些觀點所需要的證明，但它一直沒有完成。結果是它演變成了鴻篇巨製的三卷本《數學原理》。而且這套書，是分階段在與好友兼同事阿爾弗萊德·諾斯·懷特海合作下完成的。
後來，羅素髮出一個挑戰：
如果還有人不承認邏輯和數學的一致性，我們可以挑戰他們，讓他們指出，在《數學原理》嚴密的定義和推導過程中，哪個地方沒有邏輯而只有數學？！
在寫作《數學原理》的同時，羅素並未停止解決悖論問題。他開始懷疑這些悖論構成了某種惡性循環，並尋求規避這個悖論的方法。開始，曾嘗試用一種稱作類型論的方法，該方法的基本觀點是區分個體、個體的範圍的範圍，依此類推。每一層次成為一個類型。他把這寫在《數學原理》的附錄裡。至此，這個被大家紛紛議論了很多年的觀念，第一次出現在了書面上。然而儘管它能解決羅素悖論，卻不能解釋康託爾的。
1905年，羅素嘗試使用新想法，摸索出三個不同的方法：
曲折論，在考慮定義清楚的類時，對命題函數的複雜程度加以限制；限量論，制定規則以防止某些類過大而引起矛盾；非類論，提議完全廢除類。這三個方法都成為後來研究的對象。羅素在名為《關於超窮數和超窮序型理論中的一些困難》的論文中提出這些方法。1905年12月14日，在倫敦數學學會上宣讀了這篇論文，並發表在《倫敦數學學會會報》上。論文中，羅素這樣開頭：「在某些邏輯推理的思考方法幫助下，我們可以相信三個理論中的每一個都是合理的。」
龐加萊
朱爾斯·亨利·龐加萊於1854年4月29日生於法國的南希。在專業化迅猛發展的時代，他是屈指可數的，涉獵廣泛的數學科學家之一：在世紀之交，他已經在包括數論、拓撲學、概率論和數學物理學等諸多領域有所建樹；還寫了一套關於天體力學的三卷本著作；在狹義相對論方面也做出了開創性的工作。
龐加萊在工作方法上有某些特別之處：
他特殊的工作時間，從上午10點到中午，從下午5點到7點。在晚上，他讀期刊。閱讀面廣泛，但不利用別人的成果來開展自己的研究思路。在自己的研究工作中，龐加萊直接從最基本的地方入手來得出觀點。到和羅素發生爭論時，龐加萊獲得了所有能夠獲得的獎章和獎金，還被選為最顯赫的科學和數學組織的成員。1887年，年僅32歲就被選為法國科學院的成員，他開始為更多讀者寫東西。非技術類書籍和文章總數接近100本（篇），幾乎都是在入選科學院後所寫。
在國內國外的聲譽日隆的龐加萊，經常被邀請為大眾就數學和科學發表演講或撰寫文章。作為一位不平凡的數學家和科學家，他有著異常廣泛的興趣、博覽群書並且都能掌握，而且還開始更多地關注自然和數學哲學的基本問題。
與克羅內克和他同時代的其他人一樣，對於在當時生根的新數學觀念，龐加萊有一些非常明確的想法，例如：
沒有必要去給整數下定義或者將它們的性質公理化；如果不能用有限的語句給一個對象作出清楚而完整的定義，我們就不能引入它；集合論是一個病例，並預測：「後人會認為集合論是一場我們設法痊癒的病。」龐加萊認為一些數學觀點比邏輯更基礎，不能用邏輯術語來表述。1904年，他寫道：「運用邏輯，我們證明；利用直覺，我們創造。」後來他聲明：「因此，如果沒有直覺的澆灌，邏輯還是荒漠一片。」
基於龐加萊所篤信的數學理念，不難理解他更傾向於研究應用數學。他說：「經驗是所有真理的唯一來源。」雖然這最終導致他去深刻思考科學知識的基礎，但對具體有形事物的傾向還是根深蒂固。因此，與視無窮為一個實在且可演算的概念的康託爾形成對比，龐加萊反對無窮集的主張。他主張：「實無窮是不存在的。無論多少事物已經存在，我們稱為無窮的東西只具有創造新事物的無限可能性。」莫裡斯·克萊因寫道：
（龐加萊）非常討厭嚴重依賴符號邏輯的方法，在他的《科學與方法》中，他甚至對這種行為作了諷刺。布拉利一福蒂在1897年的一篇文章中針對整數運用了一個這樣的方法，人們會發現文中用了令人暈眩的符號來定義1這個數，談到這時，龐加萊說，對於以前從來沒有聽說過1這個數的人來說，這是一個極好的定義，很合適讓人們了解它。
在另一篇龐加萊的早期文章中，有一個更偏激的聲明：
邏輯有時候製造怪物。半個世紀（以來)，我們已經看到，一些怪異的方程出現了，它們看起來竭力要跟有些實際用途的方程儘可能地不像……以前，發明一個新的方程是為了一些實際的目的；現在，它們發明出來，就是為了給我們前輩的推導找茬，除此之外，我們永遠也不會從中得到什麼。
因此，龐加萊註定會成為倚重集合論的邏輯主義的主要反對者。在法國有一段時間，羅素的邏輯主義主要反對者是法國數學家路易斯·庫蒂拉特，他在1904年和1906年發表了一些文章。羅素的文章發表在1906年的《倫敦數學學會會報》上。龐加萊找到了自己的靶子，該扣動扳機開火了。
龐加萊的攻勢
龐加萊決定對羅素的邏輯主義發起一個全面的批判。為了使哲學和各種科學能相互理解，法國期刊《形上學與倫理學雜誌》於1893年開始出版。龐加萊成為該雜誌的主要投稿人之一。在羅素的論文發表兩個月後，龐加萊以《數學與邏輯》為題在《形上學與倫理學雜誌》上刊發了反對文章。激烈的爭論就此拉開序幕。
龐加萊從回溯康託爾開始他的批判：
很多數學家跟隨（康託爾的）指引……在他們的眼中，為了用真正邏輯的方法教算術，我們應該從確定超窮基數的一般性質入手，然後從它們中間區分出一個非常小的類，即普通整數的類。由於這條便道，我們會在證明所有與這個小類相關的命題上取得成功，而無需運用任何與邏輯不相關的原理。
然而龐加萊主張：
這種方法顯然與任何健全的心理相悖；當然，人的智力也不是用這種方法在構建數學中取得進展的。因此我想，它的作者該不會夢想到在中學教學中引入這種方法吧。它符合邏輯嗎？或者這樣說更好，它是對的嗎？這讓我疑惑……
他接著說：
不幸的是，他們得出了稱之為康託爾悖論的矛盾結果……這些矛盾沒有讓他們沮喪，他們努力去修正他們的規則，以便讓那些已經不言自明的矛盾消失。儘管如此，他們還是不能確定，新出現的矛盾是否也是不言自明的。該是對這些不實學問進行審判的時候了。我不奢望讓他們明白，因為他們已經在這種氛圍中呆得太久。另外，當他們的一個例證被駁倒後，我們肯定會看到它以一種無意義的變化形式復活了，它們中的一些已經從它們的骨灰中復活過好多次了。
然後，他說：
這樣，可以被理解為，說明一個定理，知道它是什麼意思既沒有必要，也沒有什麼優勢可言。幾何學家也許會被「邏輯鋼琴」所替代……或者如果你願意，可以想像一臺機器，一端輸入假定，另一端就會輸出定理，就像傳說中的芝加哥機器一樣，扔進活豬，出來的都變成火腿和香腸。除了這些機器，對於他們所要做的，數學家們不需要知道更多。因此，從假定推導到定理的邏輯正確性不應該是唯一讓我們投入的事。完美邏輯的規則是數學的全部嗎？這就好比說，下棋的全部美妙之處就在於移動棋子的規則。在所有能由邏輯提供的材料建立的構造中，我們必須做出選擇。真正的幾何學家會明智地作出這種選擇，因為有可靠的直覺或模糊的意識在指引著他。我知道，這種模糊的意識不會是更深奧和更隱秘的幾何，只憑它就可以賦予這棟在建造的大廈以價值。
還有龐加萊對於羅素嘗試解決「悖論」的諷刺：
依據曲折論，當「定義（命題函數）很簡單時，它們決定一個類；當它們複雜和含混時，它們不能決定一個類。」現在，誰來決定一個定義是否可以被認為簡單到能被接受？如果不對完全無能為力做一個忠實的坦白的話，這個問題就沒有答案。「那些讓我們認識到這些定義是否正確的規則將會極其複雜，不能用任何合理的原因來解釋它們。」……除了排除悖論以外，我還沒能找到任何其他的指導性原則。
龐加萊這樣結束這一個觀點：
因此，這個理論仍然很含混；於是，黑暗中出現了一線曙光一一「曲折」。羅素稱之為「曲折」的這個詞毫無疑問就是使艾皮米尼地斯狡辯顯得與眾不同的特之處。
龐加萊指的是艾皮米尼地斯的話「我在說謊」。這句話引出了一個悖論。
關於限量論，龐加萊爭辯說：
如果一個類範圍太廣，它將沒有理由存在下去。也許它可以是無限的，但它不應該大得過分了。但我們經常反覆遇到同樣的難題：在哪一個點上，它才開始變得過大？當然了，這個難題還沒有解決，但羅素就接著去討論第三個理論了。
接著，龐加萊矛頭轉向羅素的非類論。矛頭指向羅素在《會報》上發表的論文的結尾的一個附錄：「通過進一步的研究，我現在感覺到，對於這篇論文第一部分中敘述到的所有難題，非類論都能提供一個完整的解決辦法，這幾乎是沒有什麼疑問的。」
龐加萊不是很贊成這種說法，指責說：
在非類論中，不允許說「類」這個詞，這個詞必須用各種委婉的說法來代替。對於只談類和類的邏輯來說，這是多麼大的一個改變啊！重組整個邏輯變得很有必要。想像一下，在談論一個類問題的地方，整頁的邏輯會讓所有的命題看起來怎樣地壓抑啊？在一頁乏味的論述之中，將會只有零散的命題倖存下來。
龐加萊的其他指責：
在多產的問題上，看起來庫蒂拉特先生有些天真的幻想。照他的說法，邏輯給了創造以「支柱和翅膀」。接著，在下一頁中有「10年前，皮亞諾就出版了他的《匯編》」。有翅膀10年了，還沒有飛起來，怎麼會這樣呢？我對皮亞諾致以最高的敬意，他出產了很多傑作。但終歸是，他還沒有比大部分沒有翅膀的數學家走得更遠、更高、更快，也許他用他的雙腿行走會更好。相反，在邏輯中，我只看到了束縛創造的鐐銬。它對簡明沒有幫助一一而且差得很遠。如果在說明1是一個數時需要27個函數，那麼，要證明一個實定理的時候得需要多少個函數呢？
羅素的反擊
為確保龐加萊明白自己的觀點，羅素在龐加萊家鄉的《形上學與倫理學雜誌》上做出回應。在1906年9月這一期上，這樣開頭：
我相信，龐加萊先生發表在這份期刊上的文章《數學與邏輯》誤解了我關於邏輯的性質和目的……同時，它還提出了困擾超窮集合論悖論的一個解決辦法。龐加萊先生主張，這些悖論都起源於某種惡性循環，在這一點上，我同意他的說法。但他沒有意識到避免這種惡性循環的難度。我應該努力說明，如果要避開它，像我的「非類論」之類的東西似乎是必需的。的確，正是為了這個目的，我發明了這個理論。
接下來是大約20頁的解釋，當然少不了對龐加萊的指責的回覆。
一個特別有趣的例子是他對龐加萊輕視皮亞諾的回覆。羅素回應說：
對於龐加先生對皮亞諾先生的評價，我必須滿懷謙恭地鬥膽提出與他不同的一點意見。現在，我要向龐加萊先生表明，這只是說明皮亞諾先生的工作沒有引起他的興趣的一種表述方法。皮亞諾先生已經鍛造出一個對某些研究來說具有巨大力量的工具。我們中的一些人對這些研究感興趣，從而對皮亞諾先生充滿敬意。我們認為，他正如我們中的這些人所敬重的那樣，比那些忽視他的「無翅膀」的數學家走得遠和快得多。
羅素回應龐加萊對非類論的評價：
如果龐加萊先生能夠拋棄對邏輯與數學任何其他門類都截然不同的信念，他也會意識到：在倡議不把類當作獨立的實體上，我不是在倡議做出一個改變，以使它對於「重組所有邏輯」將是必須的；我也不希望禁止人們「說『類』這個詞」，就像哥白尼希望禁止人們說日出一樣。
羅素認為，龐加萊的問題是他不了解自己在做什麼：
也許，一個類比會讓大家明白，這個改變根本就不是那麼大。現在廣為接受的無窮小量微積分學，既不運用無窮小，也不以它為前提。但是這在多大的程度上改變了無窮小量微積分的面貌？幾乎沒有。某些證明被重寫，某些困擾18世紀數學家的悖論已經解決了；否則微積分的規則會幾乎沒有改變。
羅素總結道：
龐加萊先生告訴我們，「邏輯中更清楚的觀念」不是我們需要的，但他沒有向我們揭示他做出這個重要發現的過程，對我來說，我只能想，他對避免惡性循環的嘗試說明了那些輕視邏輯的人的命運。
爭端在繼續
在又一次的反擊中，龐加萊寫道：
不存在……實無窮。康託爾主義者已經忘了這個，並且他們已陷入矛盾中。的確，康託爾主義有用，但這是在運用到一個術語被精確定義的實際問題時……像康託爾主義者一樣，邏輯主義者也會忘了它，並遭遇同樣的困境。
後來他又說：
羅素察覺到了這種危險，並聽取了勸告。他想改變一切，而且很容易理解的是，他不光在準備引進新的原理，這些原理的應用在以前是禁止的；他還在準備禁止一些他以前認為合理的應用。他已燒毀的他又重拾起來，他喜愛過的他又打算燒毀，而這種傾向更嚴重。他不給大廈加上一個新翼，反而掏空它的根基。
羅素在一篇題目為《以類型論為基礎的數理邏輯》的新論文中做出了回應，發表在1908年的《美國數學雜誌》上。在文中，提出了一個新的類型論。1909年，龐加萊在《形上學與倫理學雜誌》上發表名為《無窮的邏輯》的文章做出回應：他給出了解決困擾邏輯悖論的方法，事後表明這是他在這上面最後的建議。
只考慮能用有限語句定義的對象；永遠不要忘了，每一個關於無窮的命題肯定是一個關於有限的、轉化了的、有所刪改的陳述；避免不肯定的定義和分類。對於有限與無窮的區別，龐加萊在他1909年的文章中說：
羅素先生將會毫無疑問地告訴我，它們沒有心理學上的區分，只有邏輯和認識論上的區分。我不得不被迫做出回應：沒有獨立於心理學的邏輯和認識論。這段信念的表白大概會結束這場討論，既然它將展示我們觀點上無法調和的分歧。
然而羅素並不會善罷甘休。1910年5月，他再次在《形上學與倫理學雜誌》上發表名為《邏輯類型的理論》。此時《數學原理》第一卷即將面世，在其緒論中，與這篇最新的文章一樣，提出了他在邏輯論上最新的想法。
在文章中，他再次討論起幾個主題，包括對「要避免的悖論都起源於某種惡性循環」的贊同；還加上了一些關於類的最新的權威性研究；對他早期的研究做了拓展。在這篇文章的後面，再次解釋了他的類型論。在更後面他寫道：
龐加萊先生的文章《無窮的邏輯》中有一點需要做點解釋。他斷言：『除非我們假定序數論已經成立，否則類型論依然是不能理解的』。這個斷言對於我來說，似乎存在著某種混亂。
這種針鋒相對的交流還會繼續下去嗎？也許會，但命運不允許。不久後，龐加萊因前列腺疾病，在手術後出現了併發症，於1912年7月12日去世了。
失落的羅素
龐加萊的反對，對羅素及其在邏輯主義上的觀點有什麼影響？1938年，在他1903年的《數學原理》的再版中，可以找到一個畫面。羅素決定「這本書現在所具有的興趣是歷史上的，它存在於這樣一個事實中：它代表了在它這個科目發展中的某個階段。因此，我沒有改變任何東西，但在這篇前言中，我應該盡力說明白：在哪些方面，我堅持它表達的觀點；在另外哪些方面，對於我來說，後續的研究似乎表明它們是錯的。」
總而言之，他告訴我們：「下文關於數學和邏輯是同一的基本論題，我從來沒有看到有任何理由要去修改它。」然而似乎有些一直讓人困惑的東西，包括邏輯本身的定義，「因此，定義邏輯或數學決不簡單，除非運用一些給定的前提」。
他也提到了龐加萊。即使在1938年，羅素仍然執著於療救因龐加萊著名的評論所造成的傷痛：
我還是回到悖論的問題和類型理論。亨利·龐加萊認為數理邏輯對發現沒有幫助，因而鑽研它是白費工夫，並且他還對悖論的出現感到欣喜，然而，以前被所有邏輯學家接受的前提會引出悖論，數理邏輯所要做的就是讓這些悖論變得明顯，不管數學有多麼無辜。這些悖論不一定都是新近出現的，有一些可以回溯到古希臘時代。
但羅素不至於蠢到認為這些年邏輯主義理論一點變化都沒有。他在前言承認：
在數理邏輯中，還是有很多有爭議的問題，它們……我不打算去解決它們。我只一次提到過關於這些悖論的問題，但在我看來，自從我寫《數學原理》以來，已經有了非常明確的進步……對我來說，在這中間的34年，我們所需要的哲學上的變化似乎部分歸功於數理邏輯在技術上的進步。
正如克萊因指出的：
儘管在《數學原理》的第一卷中，羅素和懷特海毫不猶豫地引進無窮公理和選擇公理，但他們在後來確實放棄了這種做法。他們不僅承認邏輯的基本定律不是絕對的真理，而且承認這兩個公理不是邏輯的公理。在《數學原理》的第二版中，這兩個公理沒有出現在書開頭的列表中，在需要它們證明某些定理時，對它們的應用也作了特別說明。
事實上，在羅素1938年《數學原理》的前言中，他已經沒有了早年的樂觀，不再對自己的觀點抱有終極成功的自信了。這要部分地歸因於1931年哥德爾對一致性與完備性不相容的證明。這多少與當年的弗雷格有點相似。