人類一思考，上帝就發笑。
【1】第一次數學危機
公元前五世紀，古希臘的著名數學家與哲學家畢達哥拉斯，創立了一個政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。這一學派的哲學基石，是由畢達哥拉斯提出的著名口號：萬物皆數。這裡所說的數，是指整數，而「一切數均可表示成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。他們甚至認為，數字是宇宙建立的基石, 而且他們也相信任何事物從宇宙到音樂, 從形上學到道德觀念，歸根到底都是數字比例的問題。
在我國，著名的畢達哥拉斯定理被稱為「勾股定理」。這是源於西漢時期的數學著作 《周髀算經》中記錄的這樣一段對話：「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。」翻譯成現代文就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3和4時，徑隅（就是弦）則為5，其通俗的表達是：「勾三股四弦五」。與中國人的直覺發現不同，畢達哥拉斯用真正的數學方法，證明了「直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和」這一數學定理。
然而，富有戲劇性的是，恰恰是畢達哥拉斯發現的這一定理，卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的「掘墓人」。畢達哥拉斯定理提出後，學派中的一位鐵桿成員希帕索斯思考了這樣一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示。希帕索斯的這一發現，導致了數學史上第一個無理數√2的誕生。
小小一個√2的出現，卻在當時的數學界和哲學家掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。這一結論的悖論性表現在它與常識的衝突上：任何量，在任何精確度的範圍內，都可以表示成有理數。這在當時的希臘是人們普遍接受的信仰，哪怕是在今天，也是為我們的直覺經驗所確信的。然而，這一符合常識的論斷，卻被小小的一個√2給打敗了。
相傳，天真的希帕索斯在發現這一秘密後，曾經向老師畢達哥拉斯匯報，而老師要求他嚴守這一秘密。有一天，實在忍不住的希帕索斯，無意中向別人談到了他的發現，結果直接被人拋入了大海殺害。
無理數的發現，在當時直接導致了人們認識上的危機，史稱「第一次數學危機」。
【2】第二次數學危機
第二次數學危機的發端，出現在大約公元前450年，芝諾注意到由於對無限性的理解問題而產生的矛盾，提出了關於時空的有限與無限的四個著名的悖論，即「兩分法」悖論、「阿基裡斯追不上烏龜」、「飛矢不動」、「操場或遊行隊伍」。
芝諾悖論揭示的矛盾是深刻而複雜的。前兩個悖論詰難了關於時間和空間無限可分，因而運動是連續的觀點，後兩個悖論詰難了時間和空間不能無限可分，因而運動是間斷的觀點。芝諾悖論的提出有更深刻的背景，不一定是專門針對數學的，但是它們在數學王國中卻掀起了一場軒然大波。
經過許多人多年的努力，終於在17世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科。牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者，他們的功績主要在於：把各種有關問題的解法統一成微分法和積分法；有明確的計算步驟；微分法和積分法互為逆運算。由於運算的完整性和應用的廣泛性，微積分成為當時解決問題的重要工具。
在微積分大範圍應用的同時，關於微積分基礎的問題也越來越嚴重。關鍵問題就是無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，造成了第二次數學危機。
無窮小量究竟是不是零？兩種答案都會導致矛盾。牛頓對它曾作過三種不同解釋：1669年說它是一種常量；1671年又說它是一個趨於零的變量；1676年它被「兩個正在消逝的量的最終比」所代替。但是，他始終無法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。
英國大主教貝克萊於1734年寫文章，攻擊流數（導數）「是消失了的量的鬼魂……能消化得了二階、三階流數的人，是不會因吞食了神學論點就嘔吐的。」他說，用忽略高階無窮小而消除了原有的錯誤，「是依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學卻是正確的結果」。
【3】羅素悖論
十九世紀下半葉，康託爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的讚譽。數學家們發現，從自然數與康託爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高採烈地宣稱：「……藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」
可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定的集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義，S就屬於S。無論如何都是矛盾的。
羅素悖論還有一個通俗的版本，叫做理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：「我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉！」有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，那麼他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於「不給自己刮臉的人」，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於「給自己刮臉的人」，他就不該給自己刮臉。
【4】哥德爾不完備性定理
羅素在經過對悖論的研究後發現，這些悖論的產生是語言的自我封閉性造成的，也就是在自我指涉或自我相關中落入了一個「惡性循環」的怪圈。消解這些悖論的最好辦法就是將「當事人」排除在外，劃入另外一個類中。就好比說，足球隊是這個足球隊中所有足球運動員的集合，但這個足球隊不能包括在這個集合中，足球隊只能是足球協會這個更大集合中的一個成員，這樣分得一清二楚，問題便迎刃而解。
於是，數學界提出了雄心勃勃的「希爾伯特計劃」。這一計劃的大概內容是這樣的：所有數學經過統一的形式化、並且按照一套嚴格的規則使用後，這個公理系統我們必須證明：1、它的完備性：數學裡所有的真命題都可以被證明；2、它的相容性：不可能推導出矛盾；3、它的保守性：如果某個關於「實際物」的結論用到了「假想物」（如不可數集合）來證明，那麼不用「假想物」的話我們依然可以證明同樣的結論；4、它的確定性：應該有一個算法，來確定每一個形式化的命題是真命題還是假命題。
為了避免複雜化，希爾伯特的計劃很簡單，也似乎不太困難，先在基礎的算術系統進行這樣的形式化，然後再將其推廣到更廣闊的數學系統中，最後實現整個計劃。算術系統並不是一個很複雜的系統，可以說是非常基礎的，我們上學的時候做算術，對自然數做加法、乘法和數學歸納法，都會用到了這個系統。它早在1889年就被皮亞諾歸結成一個有5條公理的系統，只是最後一條數學歸納法公理比較複雜。希爾伯特認為，通過這個簡單的系統，他的計劃是可以解決的。
希爾伯特計劃大約在1922年問世後，吸引了許多數學家為實現這一計劃去努力工作，一些簡單的問題先後被證明，這些成績的取得更增強了希爾伯特及其追隨者的信心。「我們必須知道，我們必將知道。」就是希爾伯特在1930年退休演講時發出的豪言壯語。然而，就在一年後，他的一個追隨者、年青的數學家哥德爾便將他的夢想擊得粉碎——哥德爾本來是想從正面證明希爾伯特問題，沒想到卻得到了相反的結論，這個結論就是著名的可以與愛因斯坦相對論比肩的哥德爾不完備性定理。
哥德爾的不完備性定理共有兩條，僅第一條定理的數學運算就用了兩百多頁。為了使大家儘量能理解，本人使用通俗的表述，第一條定理：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，「無矛盾」和「完備」是不能同時滿足的；第二條定理是第一條定理的推論：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，它就不能用於證明它本身的無矛盾性。打一個比方，一個人是無法自己證明自己清白的。
這裡提到的公理，就是不證自明的基本事實，是人類經過長期反覆的實踐檢驗，不需要再加以證明的命題。比如說，兩個點連成的直線距離最短，這是不言而喻的道理。傳統的數學就是從公理等概念出發，通過演繹推理，證明和發現以前不知道的客觀事實和它們的相互關係，並將其歸納為定理、定律，形成系統化的數學體系。
很顯然，公理是建立數學大廈的前提和基礎，而算術的加減乘除又是數學最基本的演算方法。希爾伯特將他的計劃立足於這些基礎之上，無疑是告訴人們，只有數學基礎牢固了，數學的宏偉大廈才能經受各種的風吹雨打。
但哥德爾的不完備性定理粉碎了希爾伯特的夢想，對此感到驚訝的不僅是希爾伯特本人，還有許多數學家都難以接受，在接下來的一段時間裡，一些數學家試圖證明其他數學系統的相容性和完備性，或者採取退而求其次的方法，比如使用不在算術系統內的超限歸納法，但都只能證明個別的數學系統是完備的，而越來越多的數學問題被證明是不可判定的。至此，有人不得不感嘆：數學也是不完美的，我們永遠不能發現一個萬能的公理系統能夠證明一切數學真理，而不能證明任何謬誤。
上千年來，很多哲學家、數學家都堅信，人類通過數理邏輯這一完備的工具，最終能夠揭示物質世界最隱秘的奧秘，但哥德爾的不完全性定理卻告訴我們：真與可證是兩個概念。可證的一定是真的，但真的不一定可證；如果我們假定數學不會自相矛盾的話，我們就必須承認數學是不完備的。一言以概之，悖論的陰影將永遠伴隨著我們。
或許有人會說，不就是數理邏輯問題嗎，跟人類其他的知識能有什麼相干。然而，任何思想認識，如果不能通過邏輯將其系統化，都不能稱之為理論，只要這類知識或認識是一種基於邏輯之上的理論體系，就無法逃避不完備性定理這個魔鬼。
【5】量子力學測不準原理
接觸過量子力學的人都知道，量子力學中有一個怪異的現象，那就是測不準原理，是由海森堡首先提出的。
這項原則陳述了這樣一個事實：精確確定一個粒子，例如原子周圍的電子的位置和動量是有限制 。這個不確定性來自兩個因素，首先測量某東西的行為將會不可避免地擾亂那個事物，從而改變它的狀態；其次，因為量子世界不是具體的，但基於概率，精確確定一個粒子狀態存在更深刻更根本的限制 。
海森堡測不準原理是通過一些實驗來論證的。設想用一個γ射線顯微鏡來觀察一個電子的坐標，因為γ射線顯微鏡的分辨本領受到波長λ的限制，所用光的波長λ越短，顯微鏡的解析度越高，從而測定電子坐標不確定的程度就越小。但另一方面，光照射到電子，可以看成是光量子和電子的碰撞，波長λ越短，光量子的動量就越大，所以有但普朗克的量子假設，人們不能用任意小量的光：人們至少要用一個光量子。這量子會擾動粒子，並以一種不能預見的方式改變粒子的速度。
所以，簡單來說，就是如果要想測定一個量子的精確位置的話，那麼就需要用波長儘量短的波，這樣的話，對這個量子的擾動也會越大，對它的速度測量也會越不精確；如果想要精確測量一個量子的速度，那就要用波長較長的波，那就不能精確測定它的位置 。
海森堡寫道：「在位置被測定的一瞬，即當光子正被電子偏轉時，電子的動量發生一個不連續的變化，因此，在確知電子位置的瞬間，關於它的動量我們就只能知道相應於其不連續變化的大小的程度。於是，位置測定得越準確，動量的測定就越不準確，反之亦然。」
海森堡還通過對確定原子磁矩的斯特恩-蓋拉赫實驗的分析證明，原子穿過偏轉所費的時間△T越長，能量測量中的不確定性△E就越小。再加上德布羅意關係λ=h/p，海森伯得到△E△T≥h/4π，並且作出結論：「能量的準確測定如何，只有靠相應的對時間的測不準量才能得到。」
無數是數學危機，還是羅素悖論、哥德爾不完備性、測不準原理，似乎都在彰顯一件事情：人類是永遠無法獲得對自然的最準確和終極認識；或許可以這麼說，離開了上帝，人類是永遠無法自證的。（圖片來源於網絡）