霍金為什麼說哥德爾定理是物理學的終結?

2021-01-08 物理科普

霍金生前被聘為英國劍橋大學的盧卡遜數學講座終身教授，這個教授職位有多崇高呢？看看歷史上曾經擔任過此教授職位的僅有的幾個人名你就知道了：牛頓、狄拉克（量子力學的創始人之一）。霍金的人生寫滿了傳奇，一件有趣的事是，他出生在伽利略的祭日，同時又去世於愛因斯坦的誕辰，而他在生前也對自己的出生日期充滿了敬畏之情。

霍金（1942.1.8—2018.3.14）

雖然霍金在物理學界的地位是比不上楊振寧的——大部分物理學家認為，楊振寧對於規範場論的貢獻足以使得他進入歷史物理學家排名的前十位——但是霍金的身殘志堅，對生命的嚮往，對真理的渴望，使得他在所有人的心目中，成為了人生勵志與探索真理的代言人。這種偉大的生命不屈的精神力量，已經使得霍金在中國的知名度遠遠超過了楊振寧。

霍金在去世之前做過一次演講，題為「哥德爾與物理學的終結」。他在演講中說道，「這和哥德爾不完備性定理非常相似……根據實證論科學哲學，一個物理理論乃是一個數學模型。因此如果有數學命題不能證明的話，那就有物理問題不能預測。……現在我很高興我們尋求知識的努力永遠都不會達到終點，我們始終都有獲得新發現的挑戰。」

霍金演講照

那麼什麼是哥德爾不完備性定理呢？霍金為什麼會說我們永遠不可能找到物理學的終極理論？哥德爾定理是怎樣終結物理學的？

哥德爾不完備性定理

哥德爾是20世紀最偉大的數學家、邏輯學家，他和愛因斯坦是非常要好的朋友。愛因斯坦說過一句非常有趣的話：我之所以每天堅持來普林斯頓的辦公室上班，就是因為來回途中可以和哥德爾一起步行。愛因斯坦還曾這樣評價哥德爾：我在物理學界得到的一切榮譽，哥德爾教授都應該在數學界得到。

哥德爾與愛因斯坦

哥德爾不完備性定理是純粹的邏輯數學中，關於形式系統不完備性的一個定理：在任何包含一階謂詞邏輯及初等算術的一致的公理系統中，總存在著一個命題，既不能被證明也不能被證偽。

一階謂詞邏輯通俗來講指的是邏輯學中最基本的一些邏輯關係，例如「與」、「或」、「推出」等，一致性指公理系統是自洽的、無矛盾的，而初等算術大家都知道是什麼。公理系統指的是，在數學中純粹從一些不證自明的公理出發建立起來的一個命題系統。

在哥德爾定理出現之前，數學家認為公理系統中的命題要麼是真命題，要麼是偽命題，而且真命題一定可以被證明——完全從幾條公理出發（或者對公理進行擴展），經過邏輯推理而進行證明。但哥德爾定理指出，包含一階謂詞邏輯和初等算術的一致性公理系統中，必定存在著至少一個命題，這個命題是一個真命題，但是不可能被證明，同樣不可能被證偽！

哥德爾定理

哥德爾研究的公理系統完全是形式化（符號化）的，但為了解釋得更清楚，我們用語言的形式來說明。哥德爾證明此定理的關鍵就是構造出來了這樣一個命題G：此命題不可被證明。

我們來研究一下，如果G被證明了，就表明G是個偽命題，因為它自己說它不可被證明；如果G不能被證明，就表明G被證明了，同樣因為它自己說它不可被證明。這種自指式的內在邏輯矛盾，決定了命題G是不能被證明也不能被證偽的。這就是哥德爾不完全定理。

有趣的理髮師悖論

為了說明哥德爾命題G的自指式矛盾，我們再來說說著名的理髮師悖論（羅素悖論的通俗版）。

左右為難的理髮師

一個理髮師說：我只給「不給自己理髮的人」理髮。那麼請問，他能否給自己理髮？這裡就包含著這種自指式的悖論，很明顯，他如果給自己理髮了，他就不屬於他的理髮對象：不給自己理髮的人，那麼他就不應該給自己理髮；如果他不給自己理髮，他就屬於他的理髮對象，他就可以給自己理髮。

接下來我們再回到哥德爾定理對物理學的限制上。

霍金通過哥德爾定理對物理學的論證

結合哥德爾定理，霍金逐漸改變了自己對物理學的看法。霍金之前認為物理學家會通過不懈的努力，最終會得到物理學的終極理論。這個終極理論可以描述宇宙中一切事物的演化，理論本身就會代表著宇宙所有的運行規則。

霍金又是怎樣改變他對終極理論的期望了呢？

物理理論是一個數學模型

霍金認為，我們現有的物理理論都是一個個的數學模型，本質上它們都是從一些基本的原理（公理）發展而來的，那麼在理論的框架中研究物理問題，就類似於在數學公理系統中證明數學問題一樣，始終會在理論的框架中存在著不能被解決的物理問題。這是對物理理論在邏輯上的一種限制，是不可避免的。哪怕我們得到了再怎麼完善的理論，都不可能突破這種哥德爾定理所給出的極限。

因此，霍金認為我們永遠無法得到一個完備的、可以解決一切物理問題的理論，物理學家將永遠前進在奮鬥的路上。

其它物理學家的看法

因為霍金的這場演講只是針對於普通大眾的一場科普演講，相關的內容他並沒有在正式的學術會議上提出，也沒有發表過相關的論文，因此大多數物理學家認為霍金的觀點只是一種針對物理學未來前景的猜測。當然，有物理學家支持，也有物理學家表示反對，認為將純粹邏輯學中的定理用在現實世界的物理理論上是不妥當的。

不論霍金的觀點對與錯，有意義的是他對未來物理學的發展提出了一種綱領，就像是二十世紀初希爾伯特對數學提出的問題大綱一樣，將會指引著未來物理學的發展。而至於哥德爾定理到底會不會終結物理學，哥德爾定理對物理學的限制到底有多大，這些問題在終極理論面前，或許是同樣重要的。

讀者朋友們有什麼看法呢？

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