5分鐘看懂「哥德爾不完備定理」,原來這個定理如此有趣

相信不少朋友聽過一個定理叫「哥德爾不完備定理」，但是稍微查查這個定理相關資料發現講解得非常抽取，有沒有簡單易懂的講述方式呢，當然有，本人就是來給大家用通俗易懂的語言講解各種深奧理論而寫作的。

首先這個定理雖然保護「不完備」三個字，但是你千萬別理解說哥德爾這個人，創造出來的定理是不完備的，恰恰相反，定理本身肯定必須完備，只不過定理的內容是說「某某東西不完完備而已」。所以了解這點之後我們就要進一步講解這個定理。

首先問大家一個問題，什麼是自然數？其實稍微有點數學基礎的朋友就知道，1、2、3、4等數都是自然數，所以哥德爾的這個定理其實主要是在自然數這個範圍內描述。所以一旦你所接觸的數學中很多定理不是涉及自然數的，那麼自然就不能用哥德爾的這個定理來描述。

所以你已經知道這個定理的作用範圍就是「自然數」，了解範圍後你需要知道什麼叫「不完備」？，其實不完備並不是我們直覺字面意思所理解的，不完備在數學上有專門的定義。當你說某一個數學系統不完備，言下之意就是說這個數學體系裡面有一些定理，不能在這個數學體系本身範圍內被證明，只能跑到超出這個數學體系的其它體系下才能被證明。

可能這樣說有點抽象，舉個例子，假設有一個大家族有A、B、C、D、E這5個定理，那麼這5個定理共同構成了一個數學體系。那麼當我說這個體系不完備，我的意思是說這個體系內的定理中，有部分定理是不能用其它定理來證明的。所以一旦這個體系不完備，那麼這5個定理中，可能D這個定理就不能被另外四個定理證明，但是A、B、C、E都能在這個大家族內被證明。所以這樣說大家就明白了吧。

你可能已經對這個定理有個模糊的理解了，我們進一步講解，當一個數學體系（比如自然數體系）內有很多定理，但是這個自然數體系本身是不完備的。也就是說某一些定理在自然數體系內既不能被證明，又不能被證偽。但是數學家卻對這個現象很不滿意，因為數學本身講求嚴謹和邏輯，一個體系不完備對於數學家來說是「如鯁在喉」，但是無論數學家如何努力，自然數體系就是不完備，當然我們也可以讓他變得完備，策略就是放棄「自洽性」。

好了這裡又出現一個新概念「自洽性」，什麼是「自洽性」？自洽就是不矛盾。所以如果你想讓自然數系統變得完備，可以的，那你得放棄自洽性，讓一些定理之間相互矛盾，這樣一來你的體系變完備了，但是自洽性又被破壞了。

所以哥德爾不完備定理，精髓就是自然數系統內「自洽性」和「完備性」不可兼得，只能放棄一個，保全另一個，有點魚和熊掌不可兼得的意思。

但是事情到了這裡還沒完，因為我們目前數學上面還有很多猜想未被證明，比如黎曼猜想，哥德巴赫猜想等等，人類奮鬥了這麼多年，還是沒有證明出來。在哥德爾不完備定理出現之前，人類遇到某猜想不能證明，第一反應就是：雖然現在不能證明，不代表以後不能證明，未來某時刻，肯定有某位數學家能夠證明。但是當哥德爾不完備定理出現後，這個想法似乎被打破了，這似乎再暗示我們，有一些數學猜想，可能就是因為人們過渡去追求「自洽性」，把「自洽性保全了」，但是「完備性」卻破壞了，所以出現了類似於「黎曼猜想」。這似乎再暗示：有一些數學猜想就是既不能被證明，又不能被證偽的，現在是這樣，以後也是這樣，不會有某位數學家能夠改變這一點。

所以小小的數學，其實裡面玄機非常多，我們知道很多定理，比如勾股定理，描述三角形用。但是你應該很少見過一個定理本身說：某某其它定理不能被證明。數學也是非常奇妙的一門學科，人類智慧的結晶，一點不為過。