英國數學家、物理學家哈密爾頓（1805-1865）在《代數作為純時間的科學》中給出了一個無理數的處理方法。
1869年，法國數學家梅雷（1835-1911）在有理數的基礎上給出了無理數的定義。
但無理數的嚴格定義是由維爾斯特拉斯、戴德金（1831-1916，高斯的最後一名學生）、巴赫曼、斯託爾茨、康託爾、波萊爾共同工作最後完成的。我們下面給出著名的「戴德金分割」定義無理數：
一個分割把有理數分成兩類，是的第一類中的每個數小於第二類中的每個數；每一個這樣的不「相應」於一個有理數的分割定義了一個無理數。
相信每個初次看到這條理論的人都會如墜迷霧般的困惑，數學教師的職責之一就是解釋讓人聽懂、明白。
假定某一規則把一切實數分成兩類：A與B，A中的每個元素稱為「上類」都大於B中的每個元素稱為「下類」；那麼這樣的分割可能出現三種互斥的結果：
下類B中能找到個最大數；
上類A中能找到個最小數；
B中無最大和A中無最小。
如果3成立，那麼「分割點」（這個點只是假想的，你根本不能給出它到底是什麼數！）就是無理數。
戴德金分割是首見於他1872年發表的「連續性與無理數」一文後來於1888年收錄在他的名著《數是什麼？數應該是什麼？》，那麼「為什麼要用這樣晦澀而又神秘的方式定義無理數呢？」原因是要避免邏輯悖論，但是避免了一個悖論時往往又會產生新的悖論，戴德金分割中的「類」就是這個新的悖論：「無窮類」！
在人類數學史中一代代數學家前赴後繼的對某一問題進行持續研究而取得關鍵性突破是「常態性發展模式」；但是在「常態」的連續曲線中總會有一些「天才」製造出「前無古人的思想火花」，這些奇蹟在人類的思想之火的光明中迸發出耀眼的璀璨光芒。
康託爾的集合論就是這些最為耀眼「火花」之一。康託爾發明集合論的起初目的就是想辦法比較「無窮∞」的大小。
「無窮還能比較大小？！誰能告訴我無窮多個自然數和無窮多個實數到底誰多？」
「天才」康託爾會「於無聲處響驚雷」式的宣布「能！」只要建立集合的對應關係就能比較兩個無窮集合種元素的多少。關於集合論將在後文《數學是完善的真理嗎？——第三次數學危機》詳細介紹，這裡我們只是告訴讀者結論：在實數域中無理數比有理數多多啦！打個比方，如果我們隨機在實數軸中選取一點，那麼這一點是有理數的可能性是0！是無理數的概率是100%！「在無窮這個大鍋裡有理數是米，無理數是湯」（陳仁正）。
康託爾的集合論給無理數（實數）的研究帶來了嶄新的方法和工具，代數數論和數理邏輯走入了理論研究的領域。
數域能任意擴充嗎？
無理數的引入自然地將人類的數域擴展到了實數，人類對「數」和「數域」的認識在不斷擴展。從整數——有理數——無理數——實數（有理數和無理數；代數數和超越數）——複數——四元數（哈密爾頓數）——八元數（凱萊數），數域的新成員不斷地增加，數的維度也同時在擴充，似乎只要人們願意，還可以不斷擴充「數」的概念，「那麼有沒有更高維度的數呢？」——「沒有！」看看下表就明白了。