√2的√2次方是無理數嗎?

 

周春荔先生在一篇文章中，談到了一個例題：

「證明存在兩個無理數x,y，使z=xy是有理數。

證法一：用反證法，

設對於任何兩個無理數x，y，來說，z=xy都是無理數，那麼

 

                          

就一定是無理數．進而

也就是無理數。

但是

是有理數，因此得出矛盾。這表明，存在有兩個無理數，使得z=xy是有理數。」

    這個證明本身沒有什麼問題，但它沒有給我們一個實際的構造方法，即，對一般情況的兩個無理數α，β，我們如何判斷αβ是不是無理數呢？

 

      實際上，比無理數更深一點的概念是代數數和超越數。

    定義：一代數數ξ乃適合方程

之根，此處，an,an-1,…,a1,a0是有理整數，若此式不可分解，且an≠0，則此ξ稱為n次的代數數．若an = 1，則此ξ稱為n次的代數整數．

非代數數的數稱為超越數。

超越數的判斷很困難，現在人們所知的超越數不多，比如常見的數e,π,Hermit第一個證明了e是超越數，Lindemann第一個證明了π是超越數。

至於其它的證明，雖然時有聲稱只用簡單方法就證出這個結論，但正確性未經同行檢驗。

比如下面的證明：

（見《中學數學雜誌》2010年第 7期）

兩個方面需要注意：

（1）超越數的理論更艱深。人們對無理數甚多了，可是對超越數的了解現在還極少，甚至還沒有入門；

（2）超越數的數的測度遠遠大於無理數，意思說，無理數是無窮的，可是它和超越數相比，就幾乎是0個；就如同自然數是無窮的，可是與無理數相比幾乎是0個一樣的。換句話說：「幾乎」所有數都是超越數！

     通過文首周先生的文章，我們知道了無理數的無理數次方有可能等於有理數，但我們只是知道有了這樣的數，但這個到底在哪兒？如何構造出來？卻不是那麼容易的。好在，有個 Gelfond-Schneider 定理，這個定理由AleksandrGelfond和Theodor Schneider在1934年獨立證明，它回答了希爾伯特第七問題。

     這個定理告訴我們，假設 α 和 β 都是代數數，如果 α 不等於 0 和 1 ，並且 β 不是有理數，那麼 α 的 β 次方一定是超越數。根據這一定理我們可以立即看出，根號 2 的根號 2 次方真的是一個無理數，實際情況應該是上述推理中的後者。

     那麼，是否存在一個無理數 a ，使得 a 的 a 次方是有理數呢？最近， Stan Dolan 證明了這樣一個結論：事實上，幾乎所有 (1, ∞) 裡的有理數都是某個無理數 a 的 a 次方。

    注意到當 x 大於 1 時，函數 f(x) = xx 是連續單調遞增的，因而對於所有 (1, ∞) 裡的有理數 r ，一定存在唯一的 a ，使得 aa = r 。不妨假設 a 是一個有理數，它的最簡分數形式是 n / m 。如果 m = 1 ，那麼我們會有平凡解 nn = r 。下面我們證明， m 是不可能大於 1 的，否則會產生矛盾。

    假設有理數 r 的最簡分數形式是 c / b ，於是我們有：

      (n/ m)n / m = c / b

    或者說：

      nn ·bm = mn · cm

    注意到， mn 是 nn ·bm 的約數。然而， m 和 n 是互質的， mn 與 nn 沒有公共因子，因而 mn 一定是 bm 的約數。同理， bm 是 mn ·cm 的約數，但由於 b 和 c 是互質的，因此 bm 一定是 mn 的約數。 mn 和 bm 怎麼可能互為對方的約數呢？只有一種可能，就是 mn 等於 bm 。

    既然 mn = bm ，說明 m 和 b 肯定有大於 1 的公因數。假設 p 是 m 和 b 的某個公共質因數。我們把 m 和 b 中的所有質因數 p 都提出來，將它們寫成 m = pi · k 和 b =pj · l ，其中 k 和 l 都不再含有質因數 p 。於是， mn = bm 就可以重新寫為：

      pi·n ·kn = pj·m · lm

    既然 mn 是等於 bm 的，它們一定含有相同數量的質因數 p ，因而 i·n = j·m ，可知 m 是 i·n 的約數。但是 m 和 n 是互質的，因此 m 一定是 i 的約數。最後，注意到 pi 是 m 的約數，從而也就是 i 的約數。於是矛盾產生了：由於 p ≥ 2 ，因此 pi 一定嚴格地大於 i ，不可能是它的約數。

    因此，對於所有大於 1 的有理數，除非它恰好等於某個整數 n 的 n 次方，否則它都將是某個無理數 a 的 a 次方。

    1900年，Hilbert提出了著名的23個數學大問題，其中第7個問題是：

    若α≠0，1，且是一代數數，β是一非有理數之代數數，問α的β次方是否是超越數。並舉出兩例：即能否證明

是超越數。

    關於此問題第一個作出重要貢獻的前蘇聯數學家Гельфонд,他在1929年證明了eπ是超越數。

後來，兩人前蘇聯數學家Куэьмин和Гельфонд再接再厲，將Гельфонд的方法推廣到實二次域，在1630年證明了2的√2次方是超越數。

至於說類似的形式，比如：πe， ππ，ee，是不是超越數，感興趣的讀者可以試一下證明。

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