根號2是無理數的三種證明方法

令人稱奇的簡單證明:五種方法證明根號2是無理數

令人稱奇的簡單證明：五種方法證明根號2是無理數古希臘曾有「萬物皆數」的思想，這種認為「大自然的一切皆為整數之比」的思想統治了古希臘數學相當長的一段時間

>√2在數學史上佔著重要的位置，他是人們從有理數到無理數的認識的轉折點。不過誰也無法阻止歷史前進的步伐，無理數最終還是被人們接受，成為數裡面不可或缺的一員。下面給出√2是無理數的幾種證明。方法1. 反證法: 假設√2=p/q, 這裡p,q 都是正整數，且他們之間不存在約數。等式兩邊平方可以得到2q*q = p*p。通過分析這個等式，可以知道等式兩邊都是偶數。因為偶數的平方是偶數，奇數的平方是奇數，所以p肯定是偶數。

怎麼證明根號2是無理數,我們來推導和計算,還有逼格極高的算法

面對未知，我們大多數人都選擇了默認接受，其實你不懂根號2，比如：根號2（√2）為什麼是無理數，我們有什麼辦法去計算它。當我冒出這個想法的時候，其實大部分人的反映都一樣1+1開根號就是啊，至於為什麼，就是規定唄，當然把根號作為一種符號確實如此，但是離結果還差了很遠。

證明sin1°和√2+√3+√5+√7是無理數

證明√2是無理數這個很多書上都有，很多人對反證法的認識也是從這個證明開始的，假設√2是有理數，即√2可以寫成分數，設，那麼它的平方也是有理數(√2+√3)²=5+2√6，化歸為一個根號而有理數+無理數=無理數，矛盾，假設不成立所以√2+√3是無理數（其他兩個根號相加減，類似證明）5.

同樣是無理數,為什麼圓周率π比根號2更受歡迎

無理數，即是無限不循環的小數，無理數的發現，直接導致了數學危機。人類一開始的數學家認為「萬物皆數」，就是所有的數字都能被表示出來，直到發現並證明了勾股定律，就有這樣一個問題，一個等腰直角三角形的腰長是1，那麼它的斜邊是多少？

美妙的證明:證明e是無理數最短,最簡單的一種方法

e是一個非常有用的自然常數，大多數人都知道e是無理數，關於它的證明也有很多方法，本篇我們來介紹一種非常簡單而且巧妙的方法首先我們來熟悉幾個常見的連分式，關於連分式的寫法前面的文章已經介紹的很多了，我們在此不做敘述如下是根號2的連分式，它的一大亮點就是左邊整數部分是：

經典證明:幾乎所有有理數都是無理數的無理數次方

無理數與有理數內在聯繫一個無理數的無理數次方是否有可能是一個有理數？這是一個非常經典的老問題了。答案是肯定的，證明方法非常巧妙：考慮根號 2 的根號 2 次方。如果這個數是有理數，問題就已經解決了。我們同樣會得到一個無理數的無理數次方是有理數的例子。

世界上第一個證明π是無理數的方法—高中生也能理解

事實上，很多專業的數學學者也不了解具體的證明方法。究其原因，一是沒必要、二是大多數證明過程都太專業且不直觀。例如附二中由伊萬·尼文(Ivan Niven, 美國數學家) 給出的據稱是最短的證明，需要大學數學知識才能看懂。本文給出一個高中生也能看懂的證明方法，由瑞典數學家約翰·海因裡希·蘭伯特在 1761 年給出。

√2的√2次方是無理數嗎?

這個證明本身沒有什麼問題，但它沒有給我們一個實際的構造方法，即，對一般情況的兩個無理數α，β，我們如何判斷αβ是不是無理數呢？超越數的判斷很困難，現在人們所知的超越數不多，比如常見的數e,π,Hermit第一個證明了e是超越數，Lindemann第一個證明了π是超越數。至於其它的證明，雖然時有聲稱只用簡單方法就證出這個結論，但正確性未經同行檢驗。比如下面的證明：

世界上第一個證明π是無理數的方法——高中生也能理解

此方法利用三角函數的泰勒級數展開，巧妙的反覆運用倒數技巧得到了tan x的連分數表示，然後證明了這個連分數是一個無理數。據信，這個也世界上第一個證明π是無理數的方法。此方法簡潔易懂，即使從現在的觀點來看，其思路也非常具有啟發性。

比根號2更「無理」的數

大家中學時就學過，根號 2 是一個無理數，它不能表示成兩個整數之比，是一個看上去毫無規律的無限不循環小數。

無理數引發的第一次的數學危機,兩千年後才平息!

根號2到底是什麼？但是希帕索斯可不是一個只知道提出質疑的書呆子，他發現苗頭不對，於是，迅速選擇跑路。隨著數學理論的完善，擁有現代數學常識的人們可以用一種非常簡單的方式來證明根號2不是有理數，思路也相當簡單明了。

數學史的大事件——關於根號2的故事

畢達哥拉斯首先發現並證明了「直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方」，證明了這個定理後，他們學派內外都非常高興，宰了100牛大肆慶賀，這個定理在歐洲叫「畢達哥拉斯定理」或「百牛定理」，我國叫勾股定理。可是，他的觀點日後使他狼狽不堪，幾乎無地自容。畢達哥拉斯的一個學生叫希帕索斯，他勤奮好學，善於觀察分析和思考。

無理數與數學危機

近代數學極限概念和計算方法的引入不僅解決了主體性的微積分理論的可能性問題，也解決了伴隨性的無理數概念的現實性問題，無窮小量和無窮大量的概念和計算方法既適用於主體性的微積分理論，也適用於解釋伴隨性的無理數的「數論」問題。

根號a是一個什麼樣的數?

根號2是一個什麼樣的數呢？不少學生是說不清楚的：有的說是2的開方，這是從運算的角度來理解的，但即使這樣說也是不準確的，因為2的開方是根號2或負根號2；有的說是無理數，是無限不循環小數，但根號3，根號5等也是無理數，根號2與這些無理數又有什麼區別呢？

精美的幾何證明:根號2不是有理數

證明是數學的基礎。這就是我們知道我們使用的每個規則和定理成立的原因。如果沒有邏輯上嚴格的證明，數學將是一堆虛假的假設。證明有各種方法和規則。有些是長期的和艱苦的，很少能被人發現，而另一些人則站在這樣的基本邏輯上，一點點推動數學的發展數論和分析的一個經典證明是證明無理數的存在，最常見的是平方根2是無理數。有很多方法可以證明這個結果，這是一個極其聰明但又直截了當的非理性證據。利用幾何學的基本知識，我們可以從邏輯上證明平方根2是不合理的。

π真的是一個無理數嗎?

漸漸地，隨著我們對數學更深入的學習，我們知道了π和e與根號2一樣，是無理數大家庭中的一員。然而我們應該如何嚴謹地證明π是無理數呢？乍一想，我們似乎從來沒有思考過π是無理數這個問題。其實π是一個無理數的證明並沒有想像中那樣簡單，很多的證明都需要用到高等數學的知識。

如何證明圓周率為無理數?

但直到兩百多年前，圓周率是無理數才被德國數學家蘭伯特所證明。所謂的無理數是指無法用分數表示的數，只能寫作無限不循環的小數。當年，蘭伯特發現，tan(x)可用如下的連分式展開表示：然後，他證明了倘若x是非零的有理數，那麼，上述表達式肯定就是一個無理數。

你們要的證明來了——證明歐拉數e是無理數

之前寫過一篇文章證明了圓周率π是無理數，有小夥伴問我能不能證明自然數e也是無理數。今天，在這篇文章中，我將描述兩個簡單的證明歐拉數e≈2.71828是無理數。第一個證明是由法國數學家和物理學家約瑟夫·傅立葉提出的。第二個證據是法國數學家查爾斯·埃爾米特提出的。

開根號算法的證明——逆運算

求一個整數的平方根，即開根號的計算方法如下圖所示：由於我們知道開根號是平方的逆運算，所以我們在探討開根號算法時需要從平方的角度考慮