如果問a是一個什麼數？很多學生能夠很快答出這是一個任意的實數：可以是正的實數，也可以是負的實數，還可以是零,總之，字母a代表的是一個不確定的實數；如果從幾何的角度來理解數a，可以藉助數軸，理解為數軸上任意一個點所對應的數，或這個數對應的是數軸上的任意一個點.
以a為底的b的對數是一個什麼樣的數呢？也就是是一個什麼樣的數呢？
實際上，是這個數的數學符號，很多時候學生只是把它讀做以a為底的b的對數，但這個數是一個什麼樣的數，卻並不清楚.學生能夠很熟練地說出：底的對數為1，1的對數為0，但這不是理解後的結果，而是記憶的結論.
實際上，以a為底的b的對數是這樣的數：a的多少次冪等於b的數.以a為底的a的對數就是a的多少次冪等於a，當然，a的1次冪等於a，所以這個數就可以表達為,也就是底的對數等於1；同樣，由於a的0次冪等於1,所以，，也就是1的對數等於零.因此，是一個a的多少次冪等於b的一個數.不能說會念一遍「以a為底的b的對數」就以為明白了這是一個什麼數，學數學沒有那麼簡單.
根號2是一個什麼樣的數呢？不少學生是說不清楚的：有的說是2的開方，這是從運算的角度來理解的，但即使這樣說也是不準確的，因為2的開方是根號2或負根號2；有的說是無理數，是無限不循環小數，但根號3，根號5等也是無理數，根號2與這些無理數又有什麼區別呢？如果學生說是2的算術平方根，作為教師要讓學生能夠理解算術平方根這個數學名詞背後的含義是什麼，不能讓這個名詞替代數學的思維.你可以有意「為難」一下學生，讓學生不用算術平方根這個詞，看看他們還能不能解釋什麼是根號2呢？
實際上，從算術平方根的概念不難得出：根號2是平方等於2的一個正數；根號a是一個平方等於a的一個非負數.如果用數學的語言表達，就是：
根號4是一個什麼樣的正數呢？按照上面的分析不難得出：根號4是平方等於4的一個正數.但是從數的乘方運算我們知道：2的平方等於4，所以這個正數就是2，也就是根號4等於2,這句話也可以表達為:根號下2的平方等於2；同樣，根號下a的平方是一個什麼樣的一個非負數呢？這是一個平方等於a方的一個非負數，由於a的絕對值的平方就是一個平方等於a方的非負數，所以，根號下a的平方就是a的絕對值.即：
對數學符號理解與否取決於學生數學的思維能力.教學中，教師要能夠用最基本的語言來表達對一個數學概念或對一個數學符號的理解，不要過早的用一個名詞替代數學符號背後的數學本質.如果那樣，就是放棄了應有的數學思維過程，不利於培養學生的數學思維能力.
類似的問題在高中函數學習中也是普遍存在的.如對於函數y=f(x)是奇函數的含義，不少學生的理解都是結論化的：要麼是數學的符號語言f(-x)=-f(x);要麼是奇函數的圖象關於坐標原點對稱.這樣的理解是沒有邏輯關係的、結論化的，這樣的數學概念的學習無視數學符號背後的數學思維，無視函數圖象背後的代數含義.換句話說，函數的思維方法並沒有成為學生理解函數問題的思維方式.
把結論化的數學知識背後的邏輯關係闡述清楚就是在教學生數學的思維方法.如對奇函數概念的學習，就是要讓學生能夠通過自己的理解，思考，把表達奇函數的數學符號語言與其圖象的幾何特徵之間的邏輯關係，也就是奇函數的代數特徵搞清楚，才能說他（她）把奇函數這個數學概念真正學會、搞懂了.
從8年級的二次根式到高中的對數概念及奇函數，偶函數等，儘管知識本身不同，但培養學生數學思維能力的目標是一致的.教師要明確：教會學生不是一件簡單的事情，需要教師的智慧，要捨得花時間讓學生不僅能夠理解表達數學本質的數學符號語言與幾何特徵，而且還能用數學的符號語言與幾何特徵來表達數學的本質.