來源：武外英中 周慄
編輯：Gemini
同學們在平常遇到的計算裡最頭疼的就是根號吧。一般情況下同學們可能看見根號就趕緊拿出計算器。今天我想給大家分享下自己的心得，讓大家不再「畏懼」根號，讓同學們計算根號時不再需要計算器，甚至不再需要草稿紙。下面的內容分為兩大塊：如何算根號和如何巧算根號。
如何手動開方？
先告訴大家如何開平方根，我們拿7487267841這個數來舉例子，我們先把這個數劃分好位數，每兩位劃分一次，變成74,87,26,78,41，這一共有5段，就代表結果是5位數。我們從左往右算，第一位的計算方法是找一個平方不超過第一段數（74）的最大數（8），於是，
，再將得到的平方與原數作差，
然後接下來各位數計算的方法是將已得到的結果乘以2，然後再找一個最大的數，使得這個數加上剛剛的乘積再乘以本身不超過之前的差，再作差，
，
(80000*2+6000)*6000=996000000;1087267841-996000000=91267841;
,
(86000*2+500)*500=86950000;91267841-86950000=5017841;
;
(86500*2+20)*20=3460400;5017841-3460400=1557441;
;
(86520*2+9)*9=1557441;1557441-1557441=0;
於是我們得到了結果，
你可能會感到有些驚訝，這是為什麼，為什麼可以這麼算根號？其實事實很簡單，就是牛頓二項式定理：
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+(a*2+b)*b,
其中，a是計算中已經得到了的結果：
的86000，
b是所需求出的下一位數：
中86500的5。
這樣對照看來，你是不是明白了？
這時候，有人問到，那可以用這個方法開三次方根嗎？四次呢？答案都是可以的，只不過會複雜許多。
，
當n=3時，(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3，所以如果想開三次方根，我們只要每次找一個最大數b（已得到的結果為a），使得3a^2b+3ab^2+b^3的數值小於之前所得到的差就可以了，不過這次要每三位劃分為一段，拿3796416舉例，
；
；
；
於是，。
以上我是用整數的多次方數來舉的例子。大家不妨試試任意數，然後按照保留多少位有效數字的條件來計算，保留幾位有效數字就意味著計算幾次。這個方法是始終有效的。
如何巧算根號？：誤差法。
如果你研究研究怎樣巧算，我相信你也會發現這個方法。在誤差法裡，我們適當的省去數據的位數或是略微修改數據來達到巧算的目的。毋庸置疑，這個方法可以大大提高計算速度。但是在使用的時候要注意精確度。注意這種方法在計算根號很有作用，但是在計算次方時誤差會被放大很多倍。
在本周的一節物理課上，老師出了下面這道題：
一個球從10米高的地方落到地面需要幾秒？（g=9.81m/s^2，忽略空氣阻力）
然後其他同學都紛紛掏出了計算器，我在盤算幾秒後發現這道題可以巧算，便隨即在草稿紙上寫下了1.43。我的同桌表示十分驚訝，問我是怎麼算出來的，我壞笑道：「關注我的微信公眾號你就知道了。」
事實上，這題用誤差法可以很快算出來，下面便是計算的過程：
，
其中，
由大家都熟知的，
我們就可以很快得到
對於1.01這個數，可以運用巧算，
1 4 1 4
+ 1 4 1 4
= 1 4 2 8 2 4=1.42824，
最後保留兩位小數得，t=1.43。
如果你按了計算器，你會看到這個結果：1.42784.。
你現在可能在想好神奇，怎麼一下就算出來的？也有可能在想，我還沒弄懂呢。。。那我就先解釋解釋吧。
計算這個題的核心就是：
讓我把它寫的更清楚一些，
最後一個括號裡的數據顯然是在1-0.0005和1+0.0002之間的，而根號二在1.4135和1.4145之間的，因此1.01*(1-0.0005)*1.4135<t<1.01*(1+0.0002)*1.4145，所以1.426<t<1.429，也就是三位有效數字下的t為1.43。現在大家應該明白了吧？你可能會說，這好複雜啊，還不如直接按計算器。但是如果你仔細梳理一遍，你會發現過程無比簡單：，其中的誤差分析只是腦袋裡估計的結果，並不需要像我之前一樣完整嚴謹的寫一遍。如果你多計算幾次，就可以發現誤差大致的範圍也就不用具體分析了。所以用誤差法計算這道題只是一秒鐘的功夫，連草稿紙都不需要！
下面我給大家設計了一道例題，請大家儘量不要用草稿紙與計算器：
一列過山車上共有22個座位，當坐滿人的過山車和空過山車都以平均速度前進的時候，它們的動能差是111.8kJ，如果人們的平均質量是60kJ，那麼過山車的平均速度是多少？（結果保留整數）