世界上第一個證明π是無理數的方法—高中生也能理解

2020-11-23 騰訊網

[遇見數學創作小組]作者: 爛柯野人, 參考自 Mathologer 視頻(跳轉連結 )

▌前言

我們都知道圓周率 是無理數，但極少有人知道怎麼證明它。事實上，很多專業的數學學者也不了解具體的證明方法。究其原因，一是沒必要、二是大多數證明過程都太專業且不直觀。例如附二中由 伊萬·尼文(Ivan Niven, 美國數學家) 給出的據稱是最短的證明，需要大學數學知識才能看懂。

本文給出一個高中生也能看懂的證明方法，由瑞典數學家約翰·海因裡希·蘭伯特在 1761 年給出。此方法利用三角函數的泰勒級數展開，巧妙的反覆運用倒數技巧得到了 的連分數表示，然後證明了這個連分數是一個無理數。據信，這個也世界上第一個證明 是無理數的方法。此方法簡潔易懂，即使從現在的觀點來看，其思路也非常具有啟發性。

▲ 約翰·海因裡希·蘭伯特(圖行二左三)

▌準備工作

1）無理數和反證法

無理數是指不能寫成分數的數。如果需要證明某個數是無理數，大多用反證法，即假設它可以表示成兩個整數的比，然後推導出矛盾，以此證明假設不成立。

例如，如何證明 是無理數？可以先設 是有理數，於是有

即

兩邊同取n次冪

得到

這個等式顯然不成立，因為其左邊是一個偶數而右邊是一個奇數，得到了矛盾的結果，因此 是有理數的假設不成立。附一中有幾個練習，請試試。

2）連分數

連分數(Continued fraction)也叫繁分數，是形如下圖的分數：

其中 、、，、、 為實數或複數。

連分數常用來逼近無理數，這也是最早研究連分數的動機，想將實數用「純粹的數學」表示出來。連分數的相關理論在數學中有著重要作用，它是數論及線性方程研究中的一個重要工具，與概率論、級數遞歸、函數逼近、工程技術和計算機科學等也有聯繫。

連分數因大數學家歐拉而廣為人知，歐拉證明了形如下圖的、所有分子都是 、所有分母都是正整數的無限簡單連分數均是無理數。

實際上，上圖中的無限連分數等於 ，其分母是 無限循環。歐拉利用連分數的這一無理性質證明了自然底數 是無理數，並且得到了 的無限連分數形式：

從第二個 開始，其分母是 、、、、。蘭伯特是歐拉在柏林科學院的同事，熟悉歐拉對連分數的研究和成果，他因此冒出一個好主意：將 寫成連分數形式。

3）麥克勞林公式

麥克勞林公式是泰勒公式在 點的特殊形式。若 在 處n階連續可導，則下式成立：

其中 表示 階導數且 。

因為 在 處具有任意階導數，用麥克勞林公式在 處展開 ，得到：

同樣展開 得到：

▌證明過程

0）總體思路

第一步，蘭伯特得到了 的連分數表示：

第二步，蘭伯特證明了，當x是除0之外的有理數()時， 是無理數。所以 、 等都是無理數。

第三步，因為 ， 不是無理數，所以 不能寫為分數形式，即不是有理數，從而證明 是無理數。

1）第一步，得到 的連分數表示

將 和 的展開式代入

得到

從紅色分數線分子上提出一個 ，

由於

所以有

對紅分數線上的分子加上紅分數線的分母再減去紅分數線的分母，得到

調整下順序

去括號

計算紅框內的對應項，得到

式中，藍底色的兩部分相同，因為

所以有

對紅分數線上的分子統一提出 ，得到

再次使用倒數技巧得到

再反覆使用分子加減分母法，這次因為分母是 ，為消去紅分數線上的常數 ，給分子加 倍的分母再減去 倍的分母得到

整理得到

如此反覆計算下去，最終得到

可以通過對比 和連分數的圖形驗證這一結果。下圖是取連分數第一層時的圖形（藍色）與 的圖形（棕色）對比，兩個圖形在 點重合。

取連分數的第二層時，圖形更加接近，如上圖。

取越多的部分作圖，就越逼近 的圖形，證明這個連分數是正確的。

2）第二步，證明 為有理數時 是無理數

設 是有理數，則 可以寫為 ，其中 和 均為正整數，代入得到

化簡右邊連分數，給分子分母同乘 ，得到

這個無限連分數，除了第一個分子是 ，其它的分子都是 。分母則越來越大，也就是說，從某一處向後，分母會比分子大很多。現在來證明這個無限連分數是無理數。

根據 和 的不同，可能是 或 才比 大，這裡不防設 比 大 ，那麼從這一點向後，所有的分母都比分子至少大 。

由 得到

那麼下圖中藍色後面所有部分是大於0小於1的

同樣，如下圖，從 開始，之後的所有部分也是大於 小於 的。

如果上兩圖中的藍色部分或者綠色部分是無理數，那麼整個連分數就是無理數。現在來證明從5v開始的藍色無限連分數是無理數。令藍色部分等於 ，有 ，即 。

所以得到：

再考慮 向後的部分，整理上面的式子得到下式

由於 、、、 都是整數，所以 也是一個整數，令其等於 。

因為 向後的部分也是大於 小於 的，所以又得到：

所以現在有：

再考慮 向後的部分又得到：

因為這是一個無限連分數，所以反覆這樣做可以得到一個無限遞減數列：

由於數列中所有數都是正整數，而數列的大小是無限的，無論 有多大，始終都會在有限次遞減後小於 ，所以不存在這樣的一個遞減數列。

於是，之前從 開始的藍色部分無限連分數是有理數的假設是錯誤的。於是得到

無理數

3）第三步， 是無理數

因為

而 不是無理數，根據原命題與逆否命題具有相同的真假性（如果 ，那麼應該得到一個無理數而不是 ），得到 不是有理數，所以 不是有理數。

得證。

4）一張圖總結

▌附一，練習

1）文中提及

為什麼？為什麼我只能推導出下面的不等式？

2） 是無理數嗎？怎麼證明？

3） 是無理數嗎？怎麼證明？

4）怎麼推導出根號 等於下圖中的連分數？

5）文中推導 的連分數時，給分子加上了一個分母又減去一個分母。其中無論是分子還是分母，都是很大的無窮級數，它們應該不支持交換律和結合律，但蘭伯特為什麼能對分子進行去括號、交換計算順序等操作？

▌附二，最短證明(Ivan Niven的證明)

相關焦點

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    [遇見數學創作小組]作者: 爛柯野人, 參考自 Mathologer 視頻前言本文給出一個高中生也能看懂的證明方法，由瑞典數學家約翰·海因裡希·蘭伯特在1761年給出。此方法利用三角函數的泰勒級數展開，巧妙的反覆運用倒數技巧得到了tan x的連分數表示，然後證明了這個連分數是一個無理數。據信，這個也世界上第一個證明π是無理數的方法。此方法簡潔易懂，即使從現在的觀點來看，其思路也非常具有啟發性。
  • π真的是一個無理數嗎?
    自從小學接觸圓以來，π就成為我們數學學習中一個重要的數字。我們都知道，圓的周長和直徑的比是π，也知道圓的面積也與π有關。但與此同時，π又是一個有些神秘的數字，它無法用一個分數表達出來，且尾數無窮無盡。漸漸地，隨著我們對數學更深入的學習，我們知道了π和e與根號2一樣，是無理數大家庭中的一員。然而我們應該如何嚴謹地證明π是無理數呢？
  • 如何證明圓周率為無理數?
    但直到兩百多年前，圓周率是無理數才被德國數學家蘭伯特所證明。所謂的無理數是指無法用分數表示的數，只能寫作無限不循環的小數。當年，蘭伯特發現，tan(x)可用如下的連分式展開表示：然後，他證明了倘若x是非零的有理數，那麼，上述表達式肯定就是一個無理數。
  • 你們要的證明來了——證明歐拉數e是無理數
    之前寫過一篇文章證明了圓周率π是無理數，有小夥伴問我能不能證明自然數e也是無理數。今天，在這篇文章中，我將描述兩個簡單的證明歐拉數e≈2.71828是無理數。第一個證明是由法國數學家和物理學家約瑟夫·傅立葉提出的。第二個證據是法國數學家查爾斯·埃爾米特提出的。
  • 根號2是無理數的幾種證明方法
    ，他是人們從有理數到無理數的認識的轉折點。因為古希臘曾有「萬物皆數」的思想，這種認為「大自然的一切皆為整數之比」的思想統治了古希臘數學相當長的一段時間，許多幾何命題都是根據這一點來證明的。當時的很多數學證明都隱性地承認了「所有數都可以表示為整數之比」，「萬物皆數」的思想是古希臘數學發展的奠基。據說，第一個發現這個現象的人叫做希帕索斯，但是他這個發現觸犯的畢達哥拉斯學派的權威， 最後被淹死在大海之中。
  • π是一個無理數,那麼圓的周長或直徑也應該是無理數,是這樣嗎?
    ，這點早已得到證明，懷疑π在很多很多位數開始循環的人可以歇歇了！關於π（其他無理數也是一樣），很多人經常有一個誤解，因為π是無理數（無限不循環小說），很多人會認為π是一個不固定的數或不準確的數！　　其實並不是這樣的，π與自然數一樣，都是固定的準確的數，有些人可能會說，既然π是一個固定的數，為何寫不出來呢？
  • √2的√2次方是無理數嗎?
    這個證明本身沒有什麼問題，但它沒有給我們一個實際的構造方法，即，對一般情況的兩個無理數α，β，我們如何判斷αβ是不是無理數呢？超越數的判斷很困難，現在人們所知的超越數不多，比如常見的數e,π,Hermit第一個證明了e是超越數，Lindemann第一個證明了π是超越數。至於其它的證明，雖然時有聲稱只用簡單方法就證出這個結論，但正確性未經同行檢驗。比如下面的證明：
  • 無理數是高維空間的數字嗎?
    無理數可能是高維世界的數字。在高維世界裡，無理數是非常簡單的，它之所以無限不循環，只是低緯世界的一個錯覺。
  • 無理數引發的第一次的數學危機,兩千年後才平息!
    尤得塞斯為了避開畢氏學派，可以說是想盡方法遮遮掩掩，唯恐與畢老師針鋒相對。起初他使用量的概念來描述無理數，能代表生活中諸如線段、角、面積、體積、時間等等這些能作連續變化的東西。其次，尤得塞斯定義量的比及比例，這種比例是兩個比的一個等式。然而同樣地，也不使用數字來表示這種比，比和比例的觀念是緊密地與幾何（可以想像為直線的長度）連在一起。
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  • 美妙的證明:證明e是無理數最短,最簡單的一種方法
    e是一個非常有用的自然常數，大多數人都知道e是無理數，關於它的證明也有很多方法，本篇我們來介紹一種非常簡單而且巧妙的方法首先我們來熟悉幾個常見的連分式，關於連分式的寫法前面的文章已經介紹的很多了，我們在此不做敘述如下是根號2的連分式，它的一大亮點就是左邊整數部分是：
  • 「π日」說π:這麼複雜的一個數,是什麼來歷?
    比如，π是無理數——你只能不斷地靠近、卻永遠無法達到「真實」。算π算了好幾千年，卻發現「無理」竟然是深刻本性，π的神秘或許因此又多了一分。而且，它不僅僅是無理數（根號2也是無理數），還是「超越數」——它並不能表達為任何一個有理代數方程的根，跟整個有理數的世界都是割裂的，獨立高冷到一定境界。
  • 數學上有哪些巧妙的證明過程?
    雖然通過分別推導出左右兩邊的計算公式就能證明該等式，但通過如下的圖形很直觀地就能證明上式：把自然數立方和的圖形平鋪看來，其中的正方體數量剛好是就是自然數之和的平方，所以就能證明上述等式成立。（2）勾股定理這個公式為勾股定理，我國在商朝時就已經發現了直角三角形的一個特例——勾三股四玄五，後來的中外數學家通過各種方法來證明這個公式。
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